Derivadas e integrales

Matemáticas. Cálculo numérico. Diferencial. Teorema del valor medio. Rolle. Cauchy. Definidas. Indefinidas

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Derivada

Aplicaciones de la Derivada:

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Ejemplo:

Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

'Derivadas e integrales'

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

'Derivadas e integrales'

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

'Derivadas e integrales'

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:

y´(0.01)= 0.004

 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).

Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

'Derivadas e integrales'
".

Ejemplo:

'Derivadas e integrales'

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)

 

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:

 

'Derivadas e integrales'

Aplicando el teorema:

 

'Derivadas e integrales'

 

Pues f(1)=ln 1=0

 

Y como para x distinto de cero:

 

'Derivadas e integrales'

Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:

 

'Derivadas e integrales'
Como queríamos probar.

 

Teorema de Rolle:

Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:

F'(c)= 0

Ejemplo:

f(x)=x3+ 4x2-7x-10

en el intervalo [-1, 2]

f'(x)=3x2+ 8x-7

f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0

 

f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0

Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:

 

'Derivadas e integrales'

Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.

Teorema de Cauchy

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:

 

'Derivadas e integrales'
"

Ejemplo del Teorema de Cauchy

f(x)= sen x

g(x)= 1+ cos x

 

en 'Derivadas e integrales'

f'(x)= cos x

g'(x)= 1- sen x

Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x='Derivadas e integrales'
pero dicho punto no pertenece al intervalo abierto 'Derivadas e integrales'
y como además:

 

'Derivadas e integrales'

Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:

'Derivadas e integrales'

 

 

Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.

Integrales

Integrales Indefinidas:

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

'Derivadas e integrales'

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

'Derivadas e integrales'

Donde C representa una constante llamada constante de integración.

Ejemplo:

'Derivadas e integrales'

Integrales definidas:

Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

Ejemplo:

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