Correlaciones canónicas

Correlación canónico. Multivariante. Variables. Matrices

  • Enviado por: Igone Perez
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 6 páginas
publicidad
publicidad

CORRELACION CANONICA

  • Introducción

Las correlaciones canónicas constituyen una generalización de las correlaciones simples y múltiples. Las correlaciones simples estiman la relación existente entre dos variables, la variable independiente X y la dependiente Y. Las correlaciones múltiples estiman la relación entre un conjunto de variables independientes Correlaciones canónicas
y una sola variable dependiente Y. Las correlaciones canónicas estiman la correlación existente entre un conjunto de variables independientes Correlaciones canónicas
y otro conjunto de variables dependientes Correlaciones canónicas
.

Desde el punto de vista metodológico el uso de las correlaciones canónicas exige varias reflexiones: la primera acerca del número de variables que componen el grupo X y el grupo Y. Si son muchas, posiblemente en casa grupo puede suceder que haya altas incorrelaciones, lo cual es igual a decir que se están incluyendo 2 o más variables que miden lo mismo. Si son muy pocas, es posible que no se acierte a incluir aquellas variables que realmente tienen mayor fuerza explicativa,......Se puede tomar como norma orientativa que el número máximo de variables sean 5 o 6.

La segunda reflexión hace referencia a que el comportamiento ideal de las variables es aquel que presenta muy baja incorrelación dentro de cada grupo, tanto en el de las X como en el de las Y, y máxima entre los dos grupos. Esto implica una elección afinada de aquellas variables, por una parte, más relevantes y significativas tanto en el grupo de las X como en el grupo de las Y, a la vez que independientes entre sí dentro de cada grupo, es decir, aquellas que midan cuestiones distintas y aparentemente desconexas aunque naturalmente referidas al tema que se esté investigando.

Una vez realizado el primer cálculo de las correlaciones canónicas pueden eliminarse aquellas variables tanto del grupo de las X como del grupo de las Y que menos influencia explicativa presenten. Así se realiza un segundo calculo y se comprueban los resultados obtenidos que naturalmente serán distintos al primero. Si se sigue ensayando y comparando resultados se llega a conclusiones importantes no sólo sobre la más alta correlación canónica obtenida sino de aquellos conjuntos de variables que intervienen en tal correlación así como de aquellas otras variables que hayan sido eliminadas por su escasa aportación.

Las observaciones o datos de los grupos de variables pueden operarse de forma matricial

Correlaciones canónicas

De esta matriz puede construirse otra de covarianzas

Correlaciones canónicas

siendo Correlaciones canónicas
y Correlaciones canónicas
las matrices de covarianzas del primer y segundo grupo. Correlaciones canónicas
es la matriz de covarianzas de las P variables del primer grupo con las Q del segundo Correlaciones canónicas
.

Si la matriz original se considera formada por las puntuaciones típicas, la matriz de covarianzas pasa a ser matriz de correlaciones

Correlaciones canónicas

La relación entre los dos grupos de variables Correlaciones canónicas
e Correlaciones canónicas
se hallará encontrando dos variables compuestas de la forma Correlaciones canónicas
; Correlaciones canónicas
con la propiedad de que la correlación sea máxima.

Lo que hace es, pues, reemplazar la P+Q variables por dos nuevas variables, llamadas canónicas L y M.

  • Cálculo matemático y fórmulas del análisis canónico.

La condición imperante en el Análisis canónico es que la correlación entre las dos variables compuestas sea máxima o, lo que es lo mismo, que tal correlación con expresión Correlaciones canónicas
ó Correlaciones canónicas
sea máxima teniendo en cuenta, además, que al trabajar con matrices de correlaciones debe cumplir la normalización Correlaciones canónicas
y Correlaciones canónicas
.

Atendiendo a los multiplicadores de Lagrange, Correlaciones canónicas
y Correlaciones canónicas
;

Correlaciones canónicas

se llega derivando respecto a L y M que las correlaciones máximas buscadas Correlaciones canónicas
así como las variables canónicas L y M son las soluciones de la ecuación

Correlaciones canónicas

En esta expresión es reconocible a la derecha la matriz de correlaciones (varianza) del primer grupo de variables y a la izquierda la matriz de correlaciones entre el primer y el segundo grupo (varianza explicada por el segundo grupo).

En cualquier caso el determinante tendrá tantas soluciones para Correlaciones canónicas
cuanto sea el tamaño menor de P ó Q. Si por ejemplo P<Q, las P correlaciones canónicas tendrán los valores propios Correlaciones canónicas
etc. de la matriz

Correlaciones canónicas

A cada valor propio de Correlaciones canónicas
corresponde un vector propio en el que sus elementos (Correlaciones canónicas
) son los coeficientes (variables canónicas) de la combinación lineal de las variables X, tal que

Correlaciones canónicas

Debe recordarse que al utilizar matrices de correlaciones se cumple Correlaciones canónicas
y Correlaciones canónicas
.

Del mismo modo la combinación lineal correspondiente a las variable Y está simétricamente dado por el vector propio Correlaciones canónicas
asociado al valor Correlaciones canónicas
del sistema lineal

Correlaciones canónicas

En la práctica la diagonalización de la matriz

Correlaciones canónicas

ofrece los resultados de Correlaciones canónicas
y los vectores asociados factoriales Correlaciones canónicas

  • Las correlaciones canónicas Correlaciones canónicas

  • Las variables canónicas Correlaciones canónicas
    se calculan mediante

Correlaciones canónicas

siendo

Correlaciones canónicas

Una vez conocidas las variables canónicas Correlaciones canónicas
se pueden obtener las Correlaciones canónicas
mediante

Correlaciones canónicas

El conjunto de las correlaciones canónicas Correlaciones canónicas
puede que sea o no sea significativo. El modo de conocer esa significatividad se realiza mediante Correlaciones canónicas
de WILKS y su aproximación a la distribución Correlaciones canónicas
con P.Q grados de libertad.

Correlaciones canónicas

Si se dejan de considerar sucesivamente la primera, la segunda, etc. Correlación canónica podrá conocerse en qué momento las correlaciones ya no son significativas teniendo en cuenta que vchi-cuadrado tendrá (P-1)(Q-1) grados de libertad, (P-2)(Q-2) grados de libertad,... En el caso de que exista significatividad, es decir, de que haya relación entre el primero y el segundo grupo de variables, las variables canónicas indican la importancia de cada variable, su aportación al hecho de que exista esa correlación canónica determinada

  • Ejercicio

Sea el caso más sencillo P = 2 y Q =2 , donde

Correlaciones canónicas
= cociente intelectual

Correlaciones canónicas
= promedio anual de días de asistencia a clase

Correlaciones canónicas
= puntuación en escala de “Progresismo político”

Correlaciones canónicas
= puntuación en escala de “Modernismo”

N = 100

La matriz de correlaciones es la siguiente:

Correlaciones canónicas

Calculemos la expresión Correlaciones canónicas

Correlaciones canónicas

Correlaciones canónicas

Correlaciones canónicas

Al diagonalizar esta matriz resultan los siguientes autovalores y vectores propios:

Correlaciones canónicas
Correlaciones canónicas

En consecuencia, la primera correlacióm y las primeras variables canónicas normalizadas serán:

Correlaciones canónicas

De la misma forma la segunda correlación y las variables canónicas también normalizadas serán:

Correlaciones canónicas

Además se cumple que Correlaciones canónicas
y Correlaciones canónicas
.

La simplificación de las dos correlaciones canónicas es:

Correlaciones canónicas

Observamos que Correlaciones canónicas
con P.Q grados de libertad >18.465 al 99.9% de nivel de confianza. Luego la supuesta hipótesis nula de incorrelación entre Correlaciones canónicas
y Correlaciones canónicas
es rechazada.

Si deja de considerarse la primera correlación canónica tenemos:

Correlaciones canónicas

Observamos que Correlaciones canónicas
es no significativo con 1 grado de libertad. Luego sólo la primera correlación canónica es significativa.

Si se analizan los coeficientes (variables) canónicos asociados a la primera correlación canónica resulta que Correlaciones canónicas
= cociente intelectual (0.856) y Correlaciones canónicas
= puntuación en escala de “Modernismo” (0.737) son las variables que más aportación ofrecen a la correlación existente (Correlaciones canónicas
).

Análisis Multivariante de Datos

Correlación Canónica

Página 3 de 6