Coordinadas polares

Cálculo integral. Eje polar. Gráficas. Ecuación rectangular. Pendiente. Recta tangente

  • Enviado por: Luxd
  • Idioma: castellano
  • País: Colombia Colombia
  • 9 páginas

publicidad
cursos destacados
Trigonometría Plana
Trigonometría Plana
Curso de Trigonometría Plana que trata los conceptos básicos: sistema de medición de...
Ver más información

Ejercicios resueltos de Aritmética
Ejercicios resueltos de Aritmética
Serie de ejercicios resueltos de Artimética Básica.

Este curso va ligado al curso actual de...
Ver más información


COORDENADAS POLARES

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE ENVIGADO

FACULTAD DE INGENIERÍAS

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

ÁREA DE CALCULO INTEGRAL

ENVIGADO, OCTUBRE 28

2004

INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares.

Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo.

COORDENADAS POLARES

Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r,0), como sigue.

r =distancia dirigida de 0a P

'Coordinadas polares'
=ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento 0P

'Coordinadas polares'

Acontinuacion se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un reticulo de circunferencias concentricas y rectas radiales que pasan por el polo.

'Coordinadas polares'

En coordinas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, ) y (r,2+)representan un mismo punto. A si mismo como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, ) y (-r,+) representan un mismo punto. En general, el punto (r, ) se puede expresar como:

(r, ) = (r, +2n)

o como:

(r, ) = (-r,+(2n+1))

siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0,'Coordinadas polares'
),donde 'Coordinadas polares'
es cualquier ángulo.

CAMBIO DE COORDENADAS

Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r'Coordinadas polares'
=x'Coordinadas polares'
+ y'Coordinadas polares'
. Ademas para r >0, la definición de las funciones trigonometricas implica que:

tg'Coordinadas polares'
= 'Coordinadas polares'
, cos'Coordinadas polares'
= 'Coordinadas polares'
y sen 'Coordinadas polares'
='Coordinadas polares'

'Coordinadas polares'

El lector puede comprobar que si r<0,se verifican las mismas relaciones.

Cambio de coordenadas

Las coordenadas polares (r,'Coordinadas polares'
) de un punto estan relacionados con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:

  • x = r cos'Coordinadas polares'
    2. tg'Coordinadas polares'
    ='Coordinadas polares'

  • y = r sen 'Coordinadas polares'
    r'Coordinadas polares'
    =x'Coordinadas polares'
    + y'Coordinadas polares'

    Ejemplo1 Cambio de coordenadas polares a rectangulares.

    • Para el punto c = (2,'Coordinadas polares'
      ),

    x = r cos'Coordinadas polares'
    =2 cos'Coordinadas polares'
    =-2 e y = r sen 'Coordinadas polares'
    =2 sen 'Coordinadas polares'
    =0

    Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(-2,0).

    • Para el punto (r,'Coordinadas polares'
      ) = ('Coordinadas polares'
      ,'Coordinadas polares'
      ),

    X='Coordinadas polares'
    cos 'Coordinadas polares'
    = 'Coordinadas polares'
    e 'Coordinadas polares'
    sen 'Coordinadas polares'
    ='Coordinadas polares'

    Por tanto, las coordenadas (x, y)='Coordinadas polares'
    ,'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'

    Ejemplo 2 Cambio de coordenadas rectangulares a polares

    • Para el punto del segmento cuadrante (x. y)=(-1,1)

    tg'Coordinadas polares'
    ='Coordinadas polares'
    = -1 'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    Dado que 'Coordinadas polares'
    se ha escogido en el mismo cuadrante que (x, y), debemos tomar un valor de r positivo.

    r = 'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    ='Coordinadas polares'

    = 'Coordinadas polares'

    Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es (r,'Coordinadas polares'
    )='Coordinadas polares'

    • Como el punto (x, y)= (0,2) esta en el eje y positivo, elegimos 'Coordinadas polares'
      = 'Coordinadas polares'
      y r=2, de modo que un conjunto de coordenadas polares es (r,'Coordinadas polares'
      )=2,'Coordinadas polares'
      ).

    'Coordinadas polares'

    GRAFICAS EN POLARES

    Una forma de representar la grafica de una ecuación en polares consiste en pasar de coordenadas rectangulares y después dibujar la grafica de la ecuación rectangular.

    • Ejemplo 3 REPRESEN TACION GRAFICA DE ECUACIONES POLARES

    Describir la grafica de una de las siguientes ecuaciones en polares. Verificar cada descripción pasando a una ecuación rectangular.

    a) r = 2 b) 'Coordinadas polares'
    = 'Coordinadas polares'
    c) r = sec'Coordinadas polares'

    Solución

    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

  • La grafica de la ecuación polar r=2 esta formada por todos lo puntos que distan 2 unidades del polo. En otras palabras, la grafica es una circunferencia de radio 2 centrada en el origen, podemos confirmarlo usando la relación r'Coordinadas polares'
    = x'Coordinadas polares'
    + y'Coordinadas polares'
    para obtener la ecuación rectangular.


  • x'Coordinadas polares'
    + y'Coordinadas polares'
    = 2'Coordinadas polares'
    Ecuación rectangular.

  • La grafica de la ecuación polar 'Coordinadas polares'
    = 'Coordinadas polares'
    contiene todos los puntos de la

  • semirrecta radial que forma un ángulo de 'Coordinadas polares'
    con el semieje x positivo. Podemos confirmarlo usando la relación tg = 'Coordinadas polares'
    para obtener la ecuación rectangular

    y = 'Coordinadas polares'
    Ecuación rectangular.

  • La grafica de la ecuación polar r = sec'Coordinadas polares'
    no es evidente por simple inspección, por lo que podemos comenzar por pasarla a forma rectangular usando la relacion r cos 'Coordinadas polares'
    = x.

  • r = sec'Coordinadas polares'
    Ecuación polar

    r cos 'Coordinadas polares'
    = 1

    x = 1 Ecuación rectangular

    Deducimos que la grafica es una recta vertical.

    NOTA: Un método para representar a mano la grafica de r = 2 cos 3 'Coordinadas polares'
    consiste en confeccionar una tabla de valores.

    'Coordinadas polares'

    0

    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'

    r

    2

    0

    -2

    0

    2

    Extendiendo la tabla y marcando los

    puntos, se obtendrá la curva del ejemplo 4.

    • Ejemplo 4. REPRESENTACION DE UNA GRAFICA EN POLARES

    Representar la grafica de r = 2 cos 3 'Coordinadas polares'

    Solución: Comenzamos por escribir la ecuación en forma parametrica.

    X = 2 cos 3 'Coordinadas polares'
    cos 'Coordinadas polares'
    e y = 2 cos 3 'Coordinadas polares'
    sen 'Coordinadas polares'

    Para dibujar la curva se puede se puede hacer variar 'Coordinadas polares'
    de 0 a 'Coordinadas polares'
    , si se intenta reproducir esta grafica encontrara que, al hacer variar de 0 a 2 lo que ocurre realmente es que la curva se recorre dos veces.

    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    0 'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    PENDIENTE Y RECTAS TANGENTES

    Para determinar la pendiente de una recta tangente a una grafica en polares, consideremos una funcion derivable r = f ('Coordinadas polares'
    ) . Para pasar a polares, utilizamos las ecuaciones

    X = r cos 'Coordinadas polares'
    = f ('Coordinadas polares'
    ) cos 'Coordinadas polares'
    e y = r sen 'Coordinadas polares'
    = f ('Coordinadas polares'
    ) sen 'Coordinadas polares'

    Teorema :

    Si f es una derivable de 'Coordinadas polares'
    , la pendiente de la recta tangente a la grafica de r =f ('Coordinadas polares'
    ) en el punto r='Coordinadas polares'
    es.

    'Coordinadas polares'

    Siempre que 'Coordinadas polares'
    en ( r,'Coordinadas polares'
    ).

    Apartir de este teorema podemos hacer las siguientes observaciones.

    1. Las soluciones de 'Coordinadas polares'
    =0 conducen a tangentes horizontales siempre que 'Coordinadas polares'

    2. las soluciones de 'Coordinadas polares'
    conducen a tangentes verticales, siempre 'Coordinadas polares'

    si 'Coordinadas polares'
    y 'Coordinadas polares'
    , no se puede extraer ninguna conclusión sobre las rectas tangentes.

    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'

    • Ejemplo 5. Rectas tangentes horizontales

    Hallar las tangentes horizontales y verticales de r =sen'Coordinadas polares'
    ,0'Coordinadas polares'


    Solucion: primero escribimos la ecuación en forma parametrica

    X = r cos 'Coordinadas polares'
    =sen 'Coordinadas polares'
    cos'Coordinadas polares'
    e y = r sen 'Coordinadas polares'
    = sen'Coordinadas polares'
    sen 'Coordinadas polares'
    = sen'Coordinadas polares'
    'Coordinadas polares'

    Luego derivamos x e y con respecto a 'Coordinadas polares'
    e igualamos a 0 cada derivada.

    'Coordinadas polares'

    'Coordinadas polares'

    Por tanto la siguiente grafica posee tangentes verticales en 'Coordinadas polares'
    ) y

    ('Coordinadas polares'
    ), y tangentes horizontales en (0,0) y (1,'Coordinadas polares'
    ).

    Tangentes horizontales y verticales de r = sen .

    Vídeos relacionados