Coordenadas cilíndricas y esféricas

Geometría. Volúmenes y Cilindros. Sistema de Coordenadas cartesianas rectangulares, esféricas, cilíndricas

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  • Definir las coordenadas cilíndricas.

  • Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones.

  • Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas.

  • L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, , z), donde r y  son las coordenadas polares de la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.

    'Coordenadas cilíndricas y esféricas'

  • Escribir las formulas para transformar las coordenadas rectangulares a cilíndricas y de cilíndricas a rectangulares y hacer un ejemplo de cada uno.

  • x = rCos , y = rSen , z = z.

    r2 = x2 + y2, tan  = x/y, z = z.

    Ejemplo 1.

    Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas para la superficie cuya ecuación se ha expresado en coordenadas cilíndricas, e identifique la superficie: r = 6Sen.

    r = 6Sen. (r)

    r2 = 6rSen.

    x2 + y2 = 6y.

    x2 + (y - 3)2 = 9.

    Es un cilindro circular recto, cuya sección transversal en el plano xy es la circunferencia con centro (0, 3) y radio 3.

    Ejemplo 2.

    Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para la superficie cuya ecuación se ha dado en coordenadas cartesianas, e identifique la superficie: x2 - y2 = z.

    x2 - y2 = z.

    r2Cos2 - r2Sen2 = z.

    Cos2 - Sen2 = Cos2.

    r2Cos2 = z.

    La grafica es un paraboloide elíptico.

  • Mencionar y explicar los casos de coordenadas cilíndricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y hacer un ejemplo de cada caso.

  • Definir el sistema de coordenadas esféricas.

  • Se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

  • Representar gráficamente las coordenadas esféricas.

  • La representación en coordenadas esféricas de un punto P es (, , ), donde

     = |OP|,  es la medida en radianes del ángulo polar de la proyección de P en el plano polar y  es la medida en radianes no negativa del ángulo menor medido desde la parte positiva del eje z a la recta OP.

    'Coordenadas cilíndricas y esféricas'

  • Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a esféricas, de cilíndricas a esféricas, esféricas a cilíndricas y de esféricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.

    • Rectangulares a esféricas

    , ,

    • Cilíndricas a esféricas

    , ,

    • Esféricas a cilíndricas

    , ,

    • Esféricas a rectangulares

    Ejemplo 1. (Rectangulares a esféricas)

    Una ecuación cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuación se hace directamente sustituyendo.

    3x + 2y + 6z = 0

    3 Sen  Cos  + 2 Sen  Sen  + 6 Cos  = 0.

    Ejemplo 2. (Esféricas a rectangulares)

    Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de la superficie siguiente, cuya ecuación se ha expresado en coordenadas esféricas, e identifique la superficie:  Cos  = 4.

    z = 4.

    La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.

    Ejemplo 3. (Esféricas a cilíndricas)

    Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas cilíndricas.

    ,

    Ejemplo 4. (Esféricas a rectangulares)

    Convertir las coordenadas esféricas del punto en coordenadas rectangulares.

    ,

  • Mencionar y explicar los casos de coordenadas esféricas, representarlo gráficamente cada uno de ellos y hacer un ejemplo de cada caso.

  • 'Coordenadas cilíndricas y esféricas'

    UNIVERSIDAD DON BOSCO

    FACULTAD DE INGENIERIA

    ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS

    ASIGNATURA: MATEMATICA III

    TEMA:

    “COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS”.

    DOCENTE:

    ING. RUDY TORRES.

    INTEGRANTES:

    KARLA JAEL GUILLEN PEÑA GP050074

    FAUSTO EMMANUEL GOMEZ MAJANO GM050013

    GRUPO: 1.

    FECHA DE ENTREGA:

    20-ABRIL-2006.

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