Continuidad y derivabilidad

Análisis. Cálculo. Función continua y derivable en un punto. Derivadas

  • Enviado por: Carlos Hernandez
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 3 páginas

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  • Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función:

  • Continuidad y derivabilidad

    Sol: Cada rama de la función es continua y derivable en donde está definida por tratarse de funciones continuas y derivables en todo su dominio (exponencial y polinómica). Donde puede existir discontinuidad es en los puntos x=0 y x=1.

    Estudio de la continuidad en x=0.

    Continuidad y derivabilidad

    Continuidad y derivabilidad

    Continuidad y derivabilidad
    . Por tanto se cumple: Continuidad y derivabilidad
    y la función es continua en x=0.

    Continuidad en x=1.

    Continuidad y derivabilidad
    Continuidad y derivabilidad
    y la función también es continua en x=1. Consecuentemente la función es continua en todo R.

    Estudio de la derivabilidad en el punto x=0.

    Continuidad y derivabilidad

    Continuidad y derivabilidad
    Continuidad y derivabilidad
    No existe Continuidad y derivabilidad
    y por tanto f(x) no es derivable en x=0.

    Derivabilidad en x=1.

    Continuidad y derivabilidad
    No existe Continuidad y derivabilidad
    y por tanto f(x) no es derivable en x=1.

    Consecuentemente f(x) es derivable en : Continuidad y derivabilidad

    Continuidad y derivabilidad
    La gráfica de la función es la siguiente:

  • Calcula los valores de a y b para que la función siguiente sea derivable en todo R y calcula Continuidad y derivabilidad
    .

  • Continuidad y derivabilidad

    Sol: Cada rama de la función es continua y derivable en sus intervalos de definición por tratarse de funciones polinómicas. Por tanto tendremos que imponer las condiciones de continuidad y derivabilidad en x=1.

    Continuidad en x=1.

    Continuidad y derivabilidad
    (I) para que f(x) sea continua en x=1. Impongamos ahora la condición de derivabilidad en dicho punto.

    Continuidad y derivabilidad

    Continuidad y derivabilidad
    (II) para que f(x) sea derivable en x=1.

    Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (I) y (II) se obtienen los valores a=1 y b=2. Entonces :

    Continuidad y derivabilidad

  • Calcula la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de ecuación Continuidad y derivabilidad
    en el punto de abscisa 1.

  • Sol:

    Continuidad y derivabilidad

  • Calcula las derivadas de las siguientes funciones y simplifica si es posible:

  • a)Continuidad y derivabilidad
    Continuidad y derivabilidad

    b) Continuidad y derivabilidad
    Continuidad y derivabilidad
    Continuidad y derivabilidad

    También Continuidad y derivabilidad

  • Calcula el valor de los siguientes límites:

  • a) Continuidad y derivabilidad
    b) Continuidad y derivabilidad

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