CONDUCCION BIDIMENSIONAL BAJO CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO.

ANALISIS:

A fin de apreciar como se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1" T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación

"(T- T1)/( T1- T2)

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación (2T/x2)+ (2T/y2)=0, la ecuación diferencial transformada es:

(2/x2)+ (2/y2)=0

Y

T2, =0

W

T1, =0 T1, =0

0

X

• T1, =0

Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son

(0,Y) = 0 y (X,0) = 0

(L,Y) = 0 y (X,W) = 0

Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de  esta restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma

(X,Y) = X(x)*Y(y)

Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos

-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)

Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante de separación -hasta ahora desconocida- como 2, tenemos

d2X/dx2 + 2X = 0

d2Y/dy2 + 2Y = 0

y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de 2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de 2 = 0, seria fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera que se establecen.

Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,

X = C1cosx + C2senx

Y = C3e-y + C4e-y

En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es

 = (C1cosx + C2senx)( C3e-y + C4e-y)

Al aplicar la condición que  (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. además el requerimiento que  (x,0) = 0, obtenemos

C2senx(C3 +C4) = 0

Que solo satisface si C3 = - C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento (L,Y) = 0, obtenemos

C2 C4 senL(ey -e-y) = 0

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que  tome valores discretos para los que senL = 0. estos valores deben entonces, ser de la forma

 = (n/L) n = 1,2,3,…

donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como

 = C2 C4 sen (nx/L) (eny/L -e ny/L)

Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos

(x,y) = Cnsen(nx/L)senh(ny/L)

donde también hemos utilizado el hecho de que (eny/L -e ny/L) = 2 senh(ny/L). En la forma anterior obtuvimos realmente un número infinito de soluciones que satisfacen la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera. Sin embargo, como el problema es lineal, se obtiene una solución más general a partir de una superposición de la forma

(x,y) = n Cnsen(nx/L)senh(ny/L)

Para determinar Cn aplicamos ahora la condición de frontera restante, que es de la forma

(x,W) =  Cnsen(nx/L)senh(nW/L)

Aunque la ultima ecuación parecería ser una relación extremadamente complicada para evaluar Cn , se dispone un método estándar. Este implica escribir una expansión en serie infinita análoga en términos de funciones ortogonales. Un conjunto infinito de soluciones g1(x), g2(x),…, gn(x),… se dice que es ortogonal en el dominio a"x"b si

"ab gm(x) gn(x) dx = 0 m " n

Muchas funciones exhiben ortogonalidad, incluidas las funciones trigonometricas sen(nx/L) y cos(nx/L) para 0"x"L. Su utilidad en el problema actual radica en el hecho de que cualquier función f(x) se expresa en términos de una serie infinita de funciones ortogonales

f(x) =  An gn (x)

La forma de los coeficientes An en esta serie se determina multiplicando cada lado de la ecuación por gn (x) e integrando entre los límites a y b.

"ab f(x) gn(x) dx = "ab gn(x)  An gn (x) dx

Es evidente que todos excepto uno de los términos en el lado derecho de la ecuación deben ser cero, lo que nos deja con

"ab f(x) gn(x) dx = An "ab g²n(x) dx

De aquí

An = ("ab f(x) gn(x) dx)/ ("ab g²n(x) dx)

Las propiedades de las funciones ortogonales sirven para resolver la ecuación para Cn a través de una serie infinita análoga para la forma apropiada de f(x). De la ecuación primera se desprende que debemos elegir f(x) = 1 y la función ortogonal gn(x) = sen(nx/L). Al sustituir en la última ecuación obtenemos

An = ("0L sen(nx/L)dx)/ ("0L sen²(nx/L)dx) = (2(-1)n+1 +1)/(n)

Por lo tanto obtenemos la ecuación

1=  (2(-1)n+1 +1)/(n) sen(nx/L)

Que es simplemente la expansión de la unidad en una serie de Fourier. Al comparar la primera ecuación con esta última obtenemos

Cn = (2(-1)n+1 +1)/n senh(nW/L) n = 1,2,3,…

 = 1

W

0.75

0.50

 = 0 0.25  = 0

0.1

0  = 0

0 L

Al sustituir la primera ecuación con esta última, obtenemos entonces la solución final:

(x,y) = (2/)  [((-1)n+1 +1)/n] sen(nx/L)[( senh(ny/L))/ senh(nW/L)]

Esta ecuación es una serie convergente, de la que el valor de  se calcula para cualquier x y y. Los resultados representativos se muestran en forma de isotermas para un esquema de la placa rectangular. La temperatura T, que corresponde a un valor de , se puede obtener de la ecuación "(T- T1)/( T1- T2).

METODO GRAFICO

El método grafico se emplea para problemas bidimensionales que incluyen fronteras adiabáticas e isotérmicas. El planteamiento demanda algo de paciencia y talento artístico y ha sido reemplazado a gran medida por las soluciones de computadora que se basan en procedimientos numéricos. A pesar de sus limitaciones, el método permite obtener una primera estimación de la distribución de temperaturas y desarrollar una valoración física de la naturaleza del campo de temperaturas y del flujo del calor en un sistema.

METODOLOGIA DE LA CONSTRUCCION DE UNA GRAFICA DE FLUJO

• Identificación de todas las líneas de simetría relevantes

• Las líneas de simetría son adiabáticas en el sentido de que no haya transferencia de calor

• Advierta que las isotermas siempre deben ser perpendiculares a las adiabáticas

• Las líneas de calor y las isotermas se intersequen en ángulos rectos y que todos los lados de cada cuadrado sean de aproximadamente la misma longitud.

x = (ab+cd)/2 " y " (ac+bd)/2

Conducción bidimensional en un canal cuadrado de longitud l (a) Planos de simetría

(b) Grafica de flujo (c) Cuadrado curvilíneo fijo.

DETERMINACION DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR

La rapidez a la que se conduce la energía a través de un banda, que es la región entre adiabáticas contiguas, se designa como q1. Si la grafica de flujo se construye de forma apropiada, el valor de q1 será el mismo para todas las bandas y la transferencia de calor se expresa como

q =  q1 = M q1

donde M es el número de bandas asociado con la grafica. A partir del cuadrado curvilíneo de la figura y aplicando ley de Fourier, q1 se expresa como

q1 " kAi (Tj/x) " k(y*l)(Tj/x)

Donde Tj es la diferencia de temperaturas entre isotermas sucesivas, Ai es el área de transferencia de calor por conducción para la banda y l es la longitud del canal normal a la pagina. Sin embargo, si la grafica de flujo esta construida de forma apropiada, el incremento de temperatura es el mismo para todas las isotermas contiguas, y la diferencia global de temperaturas entre las fronteras, T1-2 , se expresa como

T1-2 =  Tj = N Tj

Donde N es el número total de incrementos de temperatura. Al combinar las ecuaciones y reconocer que x " y para cuadrados curvilíneos, obtenemos

q " (Ml)/N(k T1-2 ).

FACTOR DE FORMA DE CONDUCCION

La última ecuación es útil para definir el factor de forma, S, de un sistema bidimensional. Es decir, la transferencia de calor puede expresarse como

q = Sk T1-2

donde para una grafica de flujo

S = (Ml)/N

Una resistencia de conducción bidimensional se expresa como

Rt,cond(2D) = 1/(Sk)

Se han obtenido factores de forma para numerosos sistemas bidimensionales, y los resultados se resumen en la siguiente tabla para algunas configuraciones comunes. En cada caso, se supone que la conducción bidimensional ocurre entre las fronteras que se mantienen a temperaturas uniformes, con T1-2 " T1 - T2