Combinatoria

Permutaciones ordinarias y con repetición. Variaciones. Selección. Orden. Repetición

  • Enviado por: Deborah Vega Delgado
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 18 páginas
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Permutaciones (ordinarias)

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente de muchas maneras:

'Combinatoria'

Cada ordenación decimos que es una permutación de estos 5 elementos. 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Para formar un grupo se toman todos los elementos, no hay que seleccionar unos pocos.

Orden:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo

 Número.-

El número de permutaciones de 5 elementos se denota por P5 y equivale a:

P5 = 5.4.3.2.1 = 120

Número factorial.-

El producto anterior 5.4.3.2.1 se escribe abreviadamente 5! y se lee "factorial de 5".

 

Justificación

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar:

a _ _ _ _
b _ _ _ _
c _ _ _ _
d _ _ _ _
e _ _ _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría:

a b _ _ _
a c _ _ _
a d _ _ _
a e _ _ _

De forma que si por cada elección del 1º tengo 4 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x4 = 20 posibilidades.

Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 3 nuevas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguientes posibilidades:

b e a _ _
b e c _ _
b e d _ _

Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades.

Análogamente, para los cuatro primeros elementos tengo 5x4x3x2 = 120 posibilidades.

Y para los cinco, 5x4x3x2x1 = 120 colocaciones posibles.

Permutaciones con repetición

Introducción

Concepto.-

Si tengo 3 objetos {a, b, c} , los puedo colocar ordenadamente de manera que la 'a' aparezca 2 veces, la 'b' otras 2 veces y la 'c' 1 sola vez, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

'Combinatoria'

Cada uno de estos grupos decimos que es una permutación con repetición de estos 3 elementos.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Para formar un grupo se toman todos los elementos, no hay que seleccionar unos pocos.

Orden:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Hay repetición de los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de permutaciones con repetición de 3 elementos que se repiten 2 veces, 2 veces y 1 vez, teniendo por tanto cada grupo 5 elementos, se denota por P52,2,1 y equivale a:

P52,2,1 =

 

5!

 

 

 

 

2! 2! 1!

 

=

 

30

 

Justificación

Si los 5 objetos que aparecen en las permutaciones fueran todos distintos, pongamos {a1, a2, b1, b2, c}, en lugar de estar repetidos algunos, evidentemente estaríamos en el caso de las permutaciones ordinarias y el número de grupos sería P5 = 120.

Si en uno de estos grupos cambiáramos el orden de las 'a' entre sí tendríamos una permutación distinta, pero si suprimiéramos los subíndices, entonces sería la misma. Lo mismo podríamos decir de las 'b'. Pero las distintas ordenaciones que se pueden hacer con las dos 'a' y las dos 'b' son 2! . 2! = 4, así que por cada 4 permutaciones ordinarias tenemos una permutación por repetición. Luego el número de estas últimas debe ser 120 / 4 = 30.

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , ..., an } , los puedo colocar ordenadamente de manera que se repitan r1 veces el primero, r2 veces el segundo, ..., y rn veces el n-simo, formando grupos ordenados que reciben el nombre de permutaciones con repetición.

Número.-

El número de permutaciones con repetición de estos n elementos distintos, teniendo cada grupo k elementos a causa de las repeticiones (siendo k = r1 + r2 + ...+ rn ), se denota por Pkr1,r2...rn y equivale a:

Pkr1,r2...rn =

 

n!

 

 

r1! r2! ... rn!

Variaciones (ordinarias)

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos de muchas maneras:

'Combinatoria'

Cada grupo ordenado decimos que es una variación de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por V53 y equivale a:

V53 = 5.4.3 = 60

Expresión mediante factoriales.-

V53 = 5.4.3 =

 

5.4.3.2.1

 

 

 

 

2.1

 

=

 

5!

2!

 

 

Justificación

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar:

a _ _
b _ _
c _ _
d _ _
e _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría:

a b _
a c _
a d _
a e _

De forma que si por cada elección del 1º tengo 4 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x4 = 20 posibilidades.

Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 3 nuevas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguientes posibilidades:

b e a
b e c
b e d

Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades.

 

 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar grupos ordenados de m de ellos de muchas maneras:

a1 , a2 , a3 , ..., am

a1 , a3 , ..., an , a2

a2 , am+1 , ..., a3 , a1

etc.

Decimos que estos grupos ordenados son variaciones de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Número.-

El número de variaciones de n elementos tomados de m en m se denota por Vnm , y equivale a:

Vnm = n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1)

 

Expresión mediante factoriales.-

Vnm =

 

n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1).(n-m). .... .2.1

 

 

 

 

(n-m). .... .2.1

 

=

 

n!

(n-m)!

Variaciones con repetición

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3 de ellos, pudiéndose repetir los objetos en un mismo grupo, de la manera siguiente:

'Combinatoria'

Cada grupo ordenado decimos que es una variación con repetición de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

Repetición:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Se pueden repetir los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por VR53 y equivale a:

VR53 = 5.5.5 = 53 = 125

 

 

Justificación

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar:

a _ _
b _ _
c _ _
d _ _
e _ _

Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo otras 5 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría:

a a_
a b _
a c _
a d _
a e _

De forma que si por cada elección del 1º tengo 5 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x5 = 25 posibilidades.

Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 5 nuevas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguientes posibilidades:

b e a
b e b
b e c
b e d
b e e

Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x5x5 = 125 posibilidades. 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar grupos ordenados de m de ellos, pudiéndose repetir, de muchas maneras:

a1 , a1 , a1 , ..., a1

a1 , a1 , ..., a1 , a2

a1 , a1 , ..., a1 , a3

etc.

Decimos que estos grupos ordenados son variaciones con repetición de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Mientras que con n objetos solamente se pueden formar variaciones ordinarias de órdenes 1, 2, 3, .... n; en cambio, se pueden formar variaciones con repetición de cualquier orden, por grande que sea.

Número.-

El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m se denota por VRnm , y equivale a:

VRnm = n.n. (m veces).... .n = nm

Combinaciones (ordinarias)

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos no ordenados (subconjuntos) seleccionando 3 de ellos de muchas maneras:

'Combinatoria'

Cada grupo decimos que es una combinación de estos 5 elementos de orden 3, o también, tomados de 3 en 3.

No se tiene en cuenta el orden: si cambiamos el orden de los elementos en un grupo, sigue siendo el mismo grupo.

 

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

No influye el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene el mismo grupo.

Repetición:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por C53 y equivale a:

C53 =

 

V53

P3

 

=

 

5.4.3

3.2.1

 

=

 

10

 

Expresión mediante factoriales.-

C53 =

 

V53

P3

 

=

 

5! / 2!

3!

 

=

 

5!

3! 2!

 

Justificación basada en las Variaciones y Permutaciones

En el apartado dedicado a la Variaciones, se ha estudiado que a partir de 5 objetos {a, b, c, d, e} tomando de 3 en 3 se pueden formar 60 variaciones (grupos ordenados). Dos variaciones pueden estar formadas con los mismos objetos pero en distinto orden, por ejemplo: " b e a " , " e b a " . Estos dos grupos son distintos considerados como variaciones, pero son el mismo considerados como combinaciones, o sea, es la misma combinación, puesto que el orden no se tiene en cuenta.

¿Cuántas variaciones hay con las mismas letras " b e a " y que sólo se diferencian entre sí en el orden en que están escritas? Es decir, ¿de cuántas maneras se pueden ordenar 3 letras?

P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Luego entonces por cada combinación salen 6 variaciones. Como en total hay 60 variaciones, entonces el número de combinaciones debe ser 60 / 6 = 10.

 

 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar subconjuntos (no ordenados) tomando m de ellos de muchas maneras:

a1 , a2 , a3 , ..., am

a1 , a2, a4, ..., am , am+1

a7, a13, am , ..., an-1 , an

etc.

Decimos que estos grupos o subconjuntos son combinaciones de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Número.-

El número de combinaciones de n elementos tomados de m en m se denota por Cnm , y equivale a:

Cnm =

 

Vnm

Pm

 

=

 

n.(n-1).(n-2). .... .(n-m+1)

m.(m-1). .... .2.1

 

Expresión mediante factoriales.-

Cnm =

 

Vnm

Pm

 

=

 

n! / (n-m)!

m!

 

=

 

n!

m! (n-m)!

 

Combinaciones con repetición

Introducción

Concepto.-

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos tomando 3 de ellos, pudiéndose repetir los elementos en un mismo grupo, como por ejemplo:

'Combinatoria'

Cada grupo decimos que es una combinación con repetición de estos 5 elementos de orden 3.

No se tiene en cuenta el orden: si cambiamos el orden de los elementos en un grupo, sigue siendo el mismo grupo.

Fíjate en estas tres cosas.-

Selección:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Para formar un grupo hay que seleccionar varios elementos (eventualmente todos).

Orden:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

No influye el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene el mismo grupo.

Repetición:

SI

Principio del formulario

Final del formulario

NO

Principio del formulario

Final del formulario

Se pueden repetir los elementos dentro de un mismo grupo

 

Número.-

El número de combinaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por CR53 y equivale a:

CR53 =

 

C73 =

 

V73

P3

 

=

 

7.6.5

3.2.1

 

=

 

35

 

Justificación basada en las Combinaciones ordinarias

Recurrimos a un artificio para hallar el número CR53 reduciéndolo al caso de las combinaciones ordinarias (véase "Elementos de Análisis Algebraico" de Rey Pastor).

Lo que se hace es establecer una correspondencia biunívoca entre las combinaciones con repetición, de orden 3, de 5 elementos {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }, y las combinaciones ordinarias de orden 3 de 7 elementos {c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7}. Obsérvese que 7 = 5 + 3 - 1.

Esta correspondencia se fundamenta en distinguir entre las diversas posiciones de un mismo elemento repetido, teniendo en cuenta su puesto en la combinación con repetición: incrementaremos el índice de cada elemento en tantas unidades como elementos le preceden en el grupo; es decir: el índice del 1º, 2º, 3º, ...., nº elemento, se aumenta en 0, 1, 2, 3, ..., n-1 unidades. Así, por ejemplo:

a1 a1 a1 ---------> c1 c2 c3
a1 a1 a2 --------> c1 c2 c4
a1 a1 a3 --------> c1 c2 c5
a1 a1 a4 --------> c1 c2 c6
a1 a1 a5 --------> c1 c2 c7
a1 a2 a2 ---------> c1 c3 c4
a1 a2 a3 --------> c1 c3 c5
a1 a2 a4 ---------> c1 c3 c6
a1 a2 a5 --------> c1 c3 c7
a1 a3 a3 --------> c1 c4 c5
a1 a3 a4 --------> c1 c4 c6
a1 a3 a5 ---------> c1 c4 c7
a1 a4 a4 --------> c1 c5 c6
a1 a4 a5 ---------> c1 c5 c7
a2 a2 a2 --------> c2 c3 c4
etc.

Se logra de este modo que los índices resulten todos distintos y crecientes, pues dos elementos consecutivos reciben índices que, por lo menos, difieren en 1.

Así a cada una de las combinaciones con repetición de los 5 elementos "a" se le asigna unívocamente una combinación ordinaria de los 7 elementos "c". Y viceversa, a cada combinación ordinaria de los 7 elementos "c" le corresponde unívocamente una combinación con repetición de los 5 elementos "a".

En consecuencia, el número de combinaciones de uno y otro tipo es el mismo:

CR53 = C73 = 35

 

 

En general

Concepto.-

Si tengo n objetos { a1 , a2 , a3 , ..., an }, puedo formar grupos (no ordenados) tomando m de ellos, pudiéndose repetir, de muchas maneras:

a1 , a1 , a2 , ..., am

a1 , an, an, ..., an , an

a7, a13, am , ..., am , an

etc.

Decimos que estos grupos son combinaciones con repetición de estos n elementos de orden m, o también, tomados de m en m.

Mientras que con n objetos solamente se pueden formar combinaciones ordinarias de órdenes 1, 2, 3, .... n; en cambio, se pueden formar combinaciones con repetición de cualquier orden, por grande que sea.

Número.-

El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m se denota por CRnm , y equivale a:

CRnm =

 

CR mn+m-1 =

 

V mn+m-1

Pm

 

=

 

(n+m-1).(n+m-2). .... .n

m.(m-1). .... .2.1

Principio del formulario

CALCULADORA PARA COMBINATORIA

Número total de elementos: n =

Permutaciones ordinarias

Permutaciones con repetición

¿Cuántas veces aparece cada uno de los n elementos? (separar con comas)

Variaciones ordinarias
Variaciones con repetición
Combinaciones ordinarias
Combinaciones con repetición

¿Cuántos elementos entran en cada grupo?
m =

Resultado: nº de grupos =

Para poder generar los grupos, tienes que escribir debajo los n elementos (separados por comas):

Final del formulario

OTRAS FÓRMULAS ÚTILES

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