Circunferencia

Matemáticas. Geometría. Geometría plana. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. Centro. Radio. Cuerda. Secante. Diámetro. Tangente. Arco. Flecha. Cálculo matemático. Ángulos. Teoremas. Planteameinto de ejercicios. Resolución de ejercicios

  • Enviado por: Jackson Garcia
  • Idioma: castellano
  • País: Perú Perú
  • 11 páginas

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'Circunferencia'
CIRCUNFERENCIA

  • Definición. Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

  • Elementos:


    • Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

    'Circunferencia'

    • Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.

    • Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio.

    • Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

    La máxima cuerda es el diámetro.

    • Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

    • Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos

    • Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.


    • Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.

  • Propiedades Asociadas a los Elementos


    • El radio es perpendicular a la tangente.

    • Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

    • A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes.

    • Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.

    • Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.

    • Tangentes comunes exteriores

    'Circunferencia'


    • Tangente comunes interiores

  • Definición importante y teoremas

    • Circunferencia Inscrita:

    Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta circunferencia tambien se llama inradio.

    • La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC.

    • El triángulo es circunscrito a la circunferencia.

    • r se llama inradio.

    • Cuadrilátero Circunscrito

    Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha circunferencia.

    • El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia.

    • La circunferencia es inscrita en el cuadrilatero ABCD

    • Teorema de Poncelet

    En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.

    • Teorema de Pitot

    En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

    'Circunferencia'


    • Teorema de Steiner

    En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

  • Ángulos en la Circunferencia

    • Angulo central

    El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

    • Ángulo inscrito

    Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

    • Ángulo seminscrito

    El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.

    • Ángulo exinscrito

    Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito.

    • Ángulo interior

    El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.

    • Ángulo exterior

    Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

    EJERCICIOS

  • Los lados de un triángulo ABC miden AB =12, BC= 13, AC=15, la circunferencia inscrita es tangente a AB en D, a BC en E y a AC en F. calcular (AD)(BD)(CF)

  • Solución:

  • En un cuadrilátero ABCD circunscrito en una circunferencia se cumple que AB=3+a, BC= 6+a CD= 10 calcular AD

  • Solucion:

    'Circunferencia'

  • Encontrar AD, si FC = 5, CD = 13, AE = 10

  • 'Circunferencia'

    Solución:

    'Circunferencia'

  • Encontrar x en :

  • 'Circunferencia'

    Solución:

    'Circunferencia'

  • En el paralelogramo ABCD calcular x

  • 'Circunferencia'

    Solución:

  • En el cuadrante de centro O calcular “X”

  • 'Circunferencia'

    Solución:

    Como AO y OB son radios entonces AO=OB

    Entonces trazo OC que también es radio:

    'Circunferencia'

  • Calcular x en:

  • 'Circunferencia'

    Solución:

    Calculando todos los datos de la figura se tiene:

    'Circunferencia'

  • El perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es 40, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es 3. encontrar la longitud de la base mayor.

  • Solución:

    'Circunferencia'

  • Calcular BE en :

  • 'Circunferencia'

    Solución: Encontramos datos en la figura:

    'Circunferencia'

      • Aplico T. de Pitot en el trapecio ABED:

    12 + ED = x + x + m

    ED = 2x + m ………….(1)

      • Aplico El T. de poncelet en el triángulo ECD

    12 + m = ED + 2(2) …….(2)

    ED = m+8

      • Igualo (1) y (2)

    ED = ED

    2x + m = m + 8

    x = 10

  • Encontrar x en:

  • 'Circunferencia'

    Solución: Encontrando datos en la figuara:

    'Circunferencia'

    Del triangulo ABC se tienes que 50+X = 80

    X = 30

  • Calcular X en:

  • 'Circunferencia'

    Solución:

    'Circunferencia'

  • El lado AD del cuadrado ABCD es el diámetro de la semicircunferencia calcular x

  • 'Circunferencia'

    Solución: extraemos datos de la figura

    'Circunferencia'

    Calculo EC por T. de Pitágoras:

    EC2 = BE2 + BC2

    EC = 15

    Aplico T. Poncelet en el triángulo BEC:_

    BE + BC = EC +2x

    9 +12 = 15 +2x

    x = 3

    BIBLIOGRAFIA

    • MATEMATICA 4, Manuel Coveñas Naquiche

    Editorial Bruño

    AD= P-BC

    BE= P-AC P=(12+13+15)/2 = 20

    CF= P-AB

    Entonces:

    AD= 20-13= 7

    BE= 20-15= 5

    CF= 20-12= 8

    Entonces:

    (AD)(BD)(CF) =7x5x8 = 280

    Aplico teorema pitot:

    AB+CD = BC+AD

    3+a+10 = 6+a+x

    x = 7

    AD = 10+8

    En el triángulo OCB:

    50 + x + x = 180

    2x = 130

    x = 64

    De la figura:

    50 + 2x = 180

    x = 65

    Según datos:

    • a+b+c+x=40

    • (x-b)/2=3

    x-b = 6

    b = x - 6

    • Por T. de Pitot

    a+b = b+x ……. Reemplazo en perímetro

    a+b+c+x = 40

    x= 13

    Los arcos DE=FG

    El angulo FEG = 65

    Del triángulo se tiene:

    X +65 = 90

    X=25

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