Circuitos

Sistemas eléctricos. Elementos circuito. Resistencias. Reactancias. Generadores. Amortiguamiento

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INTRODUCCIÓN

El uso de circuitos es parte de la vida diaria pues aparatos cotidianos que hacen un poco más fácil nuestro entorno tiene como base un circuito eléctrico para su funcionamiento, ahora la información que se va a estudiar se basa en el circuito RCL para lo cual se necesitan ciertos conceptos básicos de electromagnetismo.

La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito produce un sistema de segundo orden, es decir uno caracterizado por la ecuación diferencial lineal que incluye una derivada de segundo orden o dos ecuaciones diferenciales lineales simultáneas de primer orden.

Se observará que la presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito conduce a una respuesta que toma diferentes formas funcionales para circuitos que tienen la misma configuración, pero distintos valores de los elementos. En primer lugar consideremos el sistema de primer orden sin fuentes, a la era esta respuesta se la llamo natural, viendo completamente determinada por el tipo de elementos pasivos de la red, la forma que estaban conectados y las condiciones iniciales establecidas para la energía almacenada.

La respuesta exponencial era invariablemente una función exponencial decreciente del tiempo, teniendo a un valor constante al hacerse infinito el tiempo.

GLOSARIO

Elementos de un Circuito.- Los elementos de un circuito son los componentes individuales de dos terminales que forman el circuito.

Red.- Una red es un grupo de elementos de un circuito interconectado9s, el termino red es frecuentemente usado como sinónimo de circuito.

Terminal.- Es un punto en el cual un elemento puede ser conectado a otros elementos.

Rama.- Una rama es un grupo de elementos y fuentes que pueden combinarse para formar un dispositivo con dos terminales.

Elementos Pasivo.- Un elemento que no es una fuente es llamado elemento pasivo, una rama con elementos pasivos se llama rama pasiva.

Elemento Activo.- Un elemento activo es una fuente de corriente o de potencial. Una rama activa es una rama que tiene una o más elementos activos.

Nodo o Unión.- La conexión de dos o más ramas en un punto común forma un nodo o unión.

Malla.- Cualquier circuito cerrado de ramas es una malla, con la condición que no pase dos veces por el mismo nodo.

ELEMENTOS EN UN CIRCUITO

Definimos corriente eléctrica existente en un determinado volumen como la variación de la carga existente en el interior del volumen en la unidad de tiempo y su unidad es el Amperio.

i(t) = dq/dt

Definimos tensión eléctrica como la energía por unidad de carga creada en la separación de la carga y su unidad es el Voltio.

v(t) = dW/dq

Definimos Potencia eléctrica como la variación de la energía por unidad de tiempo y su unidad es el Watt.

P(t)=i(t)v(t)

ELEMENTOS PASIVOS

Aquellos que consumen o almacenan energía.

RESISTENCIAS

Aquellos elementos que consumen energía, transformándola en calor.

v(t)=i(t)R

--->

p(t)= Ri2(t)

Asociación de resistencias en serie:

Circuitos

La tensión en bornas de las resistencias son : V1= IR1 ;V2= IR2

V= V1+V2= IR1 + IR2= I(R1 + R2)

La resistencia equivalente a la asociación en serie es la suma de las resistencias

R = R1 + R2

Asociación de resistencia en paralelo:

Circuitos

La corriente que pasa por cada una de las resistencias es : I1= V/R1 ;I2= V/R2

Como la corriente total es la suma de las corrientes que pasan por cada una de las resistencias

I= I1+I2= V/R1 + V/R2 = V[1/R1 +1/R2 ]

La inversa de la resistencia equivalente a la asociación en paralelo es la suma de las inversas de las resistencias

1/R = 1/R1 +1/R2

REACTANCIAS

Aquellos elementos que almacenan energía.

Condensadores (capacitancias): Almacenan carga eléctrica. La carga eléctrica que almacenan es proporcional a la tensión entre sus bornes:

q(t) = C v(t).

---

E(t)=ðv(t)i(t)dt=ðv(t)dq/dtdt=ðv(t)dCv(t) =(1/2)Cv2(t)

Bobinas (inductancias): Almacenan energía magnética. El flujo magnético almacenado es proporcional a la corriente que circula por la bobina.

ð(t) = L i(t)

---

E(t)=ðv(t)i(t)dt=ði(t)dð/dtdt=ði(t)dLi(t) =(1/2)Li2(t)

ELEMENTOS ACTIVOS

Son elementos que aportan energía al resto de los elementos del circuito

GENERADORES DE TENSIÓN

Mantienen las características de la tensión entre sus bornes, independientemente de los elementos que componen el resto del circuito. Cuando esto no ocurre así se dice que se comporta como un generador real de tensión

GENERADORES DE CORRIENTE

Mantienen las características de la corriente entre sus bornes, independientemente de los elementos que componen el resto del circuito. Cuando esto no ocurre así se dice que se comporta como un generador real de corriente

Fuentes de corriente y de tensión

Los generadores son los elementos activos que aportan las señales que excitan a los circuitos en alterna y continua.

Ideales

Mantienen las características de las señales independientemente de la impedancia con que se los cargue.

Reales

Aunque se comportan como generadores reales en un amplio rango de cargas, en situaciones extremas (muy baja impedancia de carga para los generadores de tensión y muy alta impedancia para los generadores de corriente, tienen limitada la cantidad de energía que aportan a los circuitos

Dependientes
Se comportan como los generadores ideales, pero su valor depende de algún parámetro (tensión, corriente, etc.) de una rama del circuito.

Circuitos

CIRCUITO RC

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador.

Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en

el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia.

Circuitos

Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.

La segunda regla de Kirchoff dice: V = (IR) - (q/C)

Donde q/C es la diferencia de potencial en el condensador.

En un tiempo igual a cero, la corriente será: I = V/R cuando el condensador no se ha cargado.

Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será igual a: Q = CV

CARGA DE UN CONDENSADOR

Ya se conoce que las variables dependiendo del tiempo serán I y q. Y la corriente I se sustituye por dq/dt (variación de la carga dependiendo de la variación del tiempo):

(dq/dt)R = V - (q/C)

dq/dt = V/R - (q/(RC))

Esta es una ecuación

Diferencial. Se pueden dq/dt = (VC - q)/(RC)

Separar variable dq/(q - VC) = - dt/(RC)

Al integrar se tiene ln [ - (q - VC)/VC)] = -t/(RC)

Despejando q q dt = C V [(1 - e-t/RC )] = q (1- e-t/RC )

El voltaje será Circuitos
Circuitos
) = V Circuitos

DESCARGA DE UN CONDENSADOR

Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador:

q = Q e-t/RC

Donde Q es la carga máxima

La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo:

I = Q/(RC) e-t/RC

Se puede concluir entonces, que la corriente y la carga decaen de forma exponencial.

CIRCUITO RL

Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor.

Circuitos

Para un tiempo igual a cero, la corriente comenzará a crecer y el inductor producirá igualmente una fuerza electromotriz en sentido contrario, lo cual hará que la corriente no aumente. A esto se le conoce como fuerza contraelectromotriz.

Esta fem está dada por: V = -L (inductancia) dI/dt

Debido a que la corriente aumentará con el tiempo, el cambio será positivo (dI/dt) y la tensión será negativa al haber una caída de la misma en el inductor.

Según kirchhoff: V = (IR) + [L (dI / dt)]

IR = Caída de voltaje a través de la resistencia.

Esta es una ecuación diferencial y se puede hacer la sustitución:

x = (V/R) - I es decir; dx = -dI

Sustituyendo en la ecuación: x + [(L/R)(dx/dt)] = 0

dx/x = - (R/L) dt

Integrando: ln (x/xo) = -(R/L) t

Despejando x: x = xo e -Rt / L

Debido a que xo = V/R

El tiempo es cero

Y corriente cero V/R - I = V/R e -Rt / L

I = (V/R) (1 - e -Rt / L)

El tiempo del circuito está representado por  = L/R

I = (V/R) (1 - e - 1/)

Donde para un tiempo infinito, la corriente de la malla será I = V/R. Y se puede considerar entonces el cambio de la corriente en el tiempo como cero.

Para verificar la ecuación que implica a  y a I, se deriva una vez y se reemplaza en la inicial: dI/dt = V/L e - 1/

Se sustituye: V = (IR) + [L (dI / dt)]

V = [ (V/R) (1 - e - 1/)R + (L V/ L e - 1/)]

V - V e - 1/ = V - V e - 1/

OSCILACIONES EN UN CIRCUITO LC

Cuando un condensador se conecta a un inductor, tanto la corriente como la carga den el condensador oscila. Cuando existe una resistencia, hay una disipación de energía en el sistema porque una cuanta se convierte en calor en la resistencia, por lo tanto las oscilaciones son amortiguadas. Por el momento, se ignorará la resistencia.

Circuitos

En un tiempo igual a cero, la carga en el condensador es máxima y la energía almacenada en el campo eléctrico entre las placas es U = Q2máx/(2C). Después de un tiempo igual a cero, la corriente en el circuito comienza a aumentar y parte de la energía en el condensador se transfiere al inductor. Cuando la carga almacenada en el condensador es cero, la corriente es máxima y toda la energía está almacenada en el campo eléctrico del inductor. Este proceso se repite de forma inversa y así comienza a oscilar.

En un tiempo determinado, la energía total del sistema es igual a la suma de las dos energías (inductor y condensador): U = Uc + UL

U = [ Q2/(2C) ] + ( LI2/2 )

CIRCUITO RCL

CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES

La combinación particular de elementos ideales es un modelo adecuado para varias partes de comunicación, por ejemplo, representa una parte importante de algunos de los amplificadores electrónicos que se encuentran en cualquier receptor de radio, haciendo posible que una gran amplificación de tensión dentro de una gran banda estrecha de frecuencias de la señal y una amplificación casi cero fuera de la banda.

En consecuencia basta decir que la compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para estudios de redes de comunicación y diseño de filtros.

Si una bobina física se conecta en paralelo con un condensador y la bobina tiene asociada con ella a la resistencia óhmica no nula, puede mostrarse que la red resultante tiene un modelo de circuito equivalente, tal como se muestra en la figura.

Las perdidas de energía en la bobina física se tiene en cuenta mediante la presencia de la resistencia ideal, cuyo valor R depende de (pero, no es igual a) la resistencia óhmica de la bobina.

Se puede escribir la ecuación con el circuito de referencia :

t

v + 1 " v dt - i(t0) + C dv = 0

R L to dt

Obsérvese que el signo menos es consecuencia de la dirección que se a supuesto para i .

v = Aest permitiendo que A y s sean números complejos si es necesario.

Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0. Sumando las ecuaciones diferenciales y agrupando términos semejantes:

C d2 (v1 + v2) + 1 d(v1 + v2) + 1 (v1 + v2) = 0

dt2 R dt L

Se ve que la suma de las dos soluciones también es una solución, así tenemos la forma de la repuesta natural.

v = A1es1 t + A2es2t

En donde s1 y s2 son dos constantes arbitraria, ya que lo exponentes s1t y s2t deben ser adimensionales .

Las unidades de este tipo se llaman frecuencias, representemos 1/ " LC por 0 (omega).

0 = 1/ " LC

Llamaremos 1/ 2RC frecuencia neperina o coeficiente de amortiguamiento exponencial y lo representamos por  (alfa).

 = 1/ 2RC

esta última expresión descriptiva se utiliza porque  es una medida de la rapidez con que la repuesta natural decae o se amortigua hasta encontrar un valor final permanente (cero generalmente).Por último s, s1 y s2, reciben el nombre de frecuencias complejas, la repuesta natural del circuito RCL en paralelo es:

v(t) = A1es1 t + A2es2t

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUPERAMORTIGUADO

Es evidente que si LC > 4R2 C 2,  será mayor que 0 y 2 será mayor que 02. En este caso, el radical que nos interesa será real y tanto s1 como s2 serán reales . Además las siguientes desigualdades,

" 2 - 02 < 

(- -" 2 - 02 ) < (- + " 2 - 02 ) < 0

se puede aplicar para mostrar que tanto s1 como s2 son números reales negativos. Por tanto la respuesta v(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes acercándose los dos a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. En realidad como el valor absoluto de s2 es mayor que el de s1, el término que contiene a s2 tiene un decrecimiento más rápido y para valores grandes del tiempo, podemos escribir la expresión límite.

V(t) ! A1es1 t ! 0 cuando t ! "

AMORTIGUAMIENTO CRITICO

El caso superamortiguado está caracterizado por :

 > 0

o

LC > 4R2 C 2,

Y conduce a valores reales negativos para s1 y s2 y una respuesta expresada como la suma algébrica de dos exponenciales negativas. Ajustemos ahora los valores de los elementos de modo que  y 0 sean iguales, es éste caso muy especial que se denomina amortiguamiento crítico. Así pues el amortiguamiento se consigue cuando:

 = 0

o

LC = 4R2 C 2

o

L = 4R2 C

Para el amortiguamiento, la ecuación se escribiría de la siguiente manera :

v(t) = A1es1 t + A2es2t

debe observarse que la solución puede expresarse por la suma de dos términos, de los cuales una es la exponencial negativa ya conocida, pero el segundo es t veces una exponencial negativa.

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO

El coeficiente de amortiguamiento  disminuye mientras que 0 permanece constante, 2 se hace menor que 2 y el radicando que aparece en las expresiones de s1 y s2 se vuelve negativo. Utilizando números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta sinusoidal; esta respuesta se compone enteramente de cantidades reales, siendo necesarias las cantidades complejas solo para la deducción.

La ecuación se puede escribir como:

v(t) = e-t (A1ejwd t + A2 -jwd)

escribiendo de la otra forma se obtiene:

v = e-t (B1cosw dt + B2senwdt)

Si estamos considerando el caso subamortiguado, hemos dejado aun lado los números complejos. Esto es cierto, ya que como , d y t son cantidades reales, también v(t) a de ser una cantidad real y por tanto B1 y B2 son cantidades reales.

CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES

Queremos obtener la repuesta natural de un circuito modelo compuesto por una resistencia física concentrada por el circuito LC en serie o en uno RCL, o bien las perdidas óhmicas y las del núcleo ferromagnético de la bobina, o puede ser utilizada para representar todos estos y otros dispositivos que absorban energía . En caso especial el valor de la resistencia real puede incluso a ser exactamente igual que la resistencia medida para el alambre con el que se ha construido la bobina física. El circuito RCL es el dual del circuito RCL en paralelo.

Las condiciones iniciales para la tensión del condensador y la corriente de la bobina son equivalentes a las condicione iniciales para la corriente de la bobina y la tensión del condensador; la respuesta de la tensión se convierte en una repuesta de corriente.

Utilizando el lenguaje dual y obtener , de este modo , una descripción completa del circuito RCL en serie, la ecuación serie :

i(t) = A1es1 t + A2es2t

La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:

i(t) = A1es1 t + A2es2t

y el caso subamortiguadores puede escribirse como

i(t) = e-t (B1cosw dt + B2senwdt)

es evidente que si trabajamos en términos de lo parámetros , 0, y d , las formas matemáticas de las repuestas para situaciones duales son idénticas. Un incremento de  en cualquiera de los circuitos en serie o en paralelo, manteniendo 0 constante, conduce a una respuesta superamortiguada.

La única precaución que hay que tener es en el cálculo de , que es 1/2RC para el circuito en paralelo y R/2L para el circuito en serie; así pues aumenta  aumentando la resistencia en serie o disminuye la resistencia en paralelo.

RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RCL

Debemos considerar ahora aquellos circuitos RCL en los que se introducen fuentes de c- c que producen respuestas forzadas, las cuales no se desvanecen cuando el tiempo se hace infinito. La solución general se obtiene por el mismo procedimiento seguido para los circuitos RL y RC: la respuesta forzada se determina completamente, la respuesta natural se obtiene en una forma funcional adecuada que contiene el número apropiado de constantes arbitrarias, la repuesta completa se escribe como suma de las repuestas forzada y natural y por último se determina y aplican las condiciones iniciales a las respuesta completa para hallar los valores de las constantes.

En consecuencia, aunque básicamente la determinación de las condiciones para un circuito que contenga fuentes de c - c no es diferente para los circuitos. La repuesta completa de un sistema de segundo orden, consta de una repuesta forzada, que para una exitación de c - c es constante, vf (t) = vf

Y una repuesta natural: vn(t) = Aes1t + Bes 2t .

Por tanto,

v(f)= vf + Aes1t + Bes 2t

Supondremos ahora que ya ha sido determinadas s1, s2 y vf a partir del circuito, quedan por hallar A y B la última ecuación muestra la interdependencia funcional de A, B, v y t, y la sustitución del valor conocido de v para t = 0+, nos proporciona por tanto, una ecuación que relacione Ay B. Es necesario otra relación entre A y B y ésta se obtiene normalmente tomando la derivada de la repuesta e introduciendo en ella el valor conocido de dv/dt para t = 0+.

dv/dt = 0 + s1Aes1t + s2Bes 2t

Resta determinar los valores de v y dv/ dt para t = 0+, como ic = C dvc / dt, debemos reconocer la relación entre valor inicial de dv/dt y el valor inicial de la corriente de algún condensador.

El objetivo es hallar el valor de cada una de las corrientes y tensiones tanto t=0- como para t=0+; conociendo estas cantidades los valores la derivadas requeridas pueden calcular fácilmente.

La corriente constante que pasa por la bobina exige una tensión cero a través de ella, vL(0 -) = 0.

Y una tensión constante a través del condensador exige que pase por el una corriente

cero, iC(0 -) =0.

EJEMPLO

El circuito RCL es aplicado en diversas instalaciones compuestas por RC o RL.

La compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para estudios de redes de comunicación y diseño de filtros.

CONCLUSIONES

Se visualizó la configuración general para los circuitos RC, RL y RLC.

Se establecieron las ecuaciones para carga y descarga de un condensador en los circuitos RC.

Se mostró la ecuación general para la corriente en un circuito RL, así como el tiempo dado por la relación entre resistencia e inductancia.

Se entendieron las propiedades de los circuitos RLC.

Se expuso las ecuaciones generales para el análisis de circuitos RLC.

OBSERVACIONES

Un circuito tiene una función específica como se ha estudiado, pero una idea de mejoría puede ser el generalizar cada circuito y poder así, obtener funciones combinadas de todos los circuitos, es decir, que al generalizar cada circuito en sus diagramas no serían tan complejos y diversos, haciendo más fácil su utilización.

RECOMENDACIONES

El estudio de circuitos lleva en si un conceptos básicos se deben ser analizados para poder entender que es un circuito RCL

Se debe distinguir que es un elemento pasivo y uno activo, saber donde están ubicados en el circuito

Para un estudio de redes el RCL se convierte en un tema importante para su diseño y utilización

BIBLIOGRAFÍA

MANUAL DE INSTALACIONES ELÉCTRICAS, Gilberto Enríquez Harper, Editorial Limusa, México-1977

SERWAY. Física Tomo II Cuarta edición. Ed Mc Graw Hill.

ANALISIS DE CIRCUITOS DE IONGENIERIA, Willian Hayt - Jack E. Kemerly - Jairo Osuma Suárez, Libros McGraw Hill de México S.A.,166-186

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR

FÍSICA

CIRCUITO RCL

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