Circuitos

Electrónica. Diagramas de Bode. Respuesta frecuencial. Identificación vectorial. Desarrollo

  • Enviado por: Alberto Jorge
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 16 páginas

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INDICE


1- INTRODUCCIÓN 2

1.1- REPRESENTACIÓN VECTORIAL O FASORIAL DE UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL 2

1.2.- DIAGRAMAS DE BODE 4

2.- PRIMERA PARTE: IDENTIFICACION VECTORIAL. 8

2.1.- DESARROLLO PRÁCTICO 8

2.2.- DESARROLLO TEÓRICO 9

2.3.- COMPARACIÓN 10

3.- SEGUNDA PARTE: RESPUESTA FRECUENCIAL. 11

3.1.- REALIZACIÓN 11

3.2.- DIAGRAMAS DE BODE 13

3.3.- COMENTARIOS. 15

4.- BIBLIOGRAFÍA. 16


1. INTRODUCCIÓN

En esta práctica se ha montado un circuito RLC formado por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en serie y alimentados por una fuente de tensión sinusoidal, tal como muestra la figura:

Circuitos

C = 0,1 F

R = 1000 ± 10 % 

L = 4,3 mH

R1 = 3,4 

El primer objetivo de la práctica consiste en estudiar la respuesta generada por un circuito RLC ante la entrada de una función senoidal de tensión en régimen permanente, dibujando el diagrama vectorial del circuito. El segundo objetivo es analizar la respuesta frecuencial de uno de los elementos del circuito RLC anterior, construyendo el diagrama de Bode correspondiente al elemento; El elemento elegido ha sido la bobina o inducción. Por lo tanto comenzaremos explicando qué representan dichos diagramas y su funcionamiento.

  • REPRESENTACIÓN VECTORIAL O FASORIAL DE UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL

  • Se denomina versor a todo vector unitario que gira alrededor del origen de coordenadas, en sentido contrario a las agujas del reloj, a una velocidad de  radianes por segundo y cuya representación en el plano complejo es el de la figura 1.

    Circuitos

    Según la fórmula de Euler:

    ejt= cos t + j sen t

    donde:

    - cos t representa la proyección sobre el eje real del versor

    - sen t representa la proyección sobre el eje imaginario del versor.

    En general, consideramos un vector de módulo distinto a la unidad y con un argumento de valor ( t +  ), cuya parte real viene dada por la expresión:

    Ao cos(t + ) = Re (Ao e(t+) ) = Reø(Ao ej ) ejt ø

    siendo denominado como fasor el vector fijo: Ao ej

    AO = amplitud máxima de la onda de f.e.m.

     = ángulo de fase del vector o fasor de f.e.m.

     = velocidad angular o pulsación

    (ver figura 2)

    Circuitos

    Figura 2.

    En las representaciones gráficas no se dibujan los vectores como giratorios, reflejándose únicamente el desfase relativo entre ellos, puesto que todos giran de forma síncrona con la velocidad angular .

    La figura 3 muestra la representación vectorial o fasorial de tres f.e.m. desfasadas en el espacio y que vienen dadas por las expresiones:

    v1 = VO1 sen t

    v2 = VO2 sen (t+2)

    v3 = VO3 sen (t-3)

    Dichos desfases se ponen de manifiesto en el diagrama de Fresnel que aparece en la figura 4 también representada.

    Circuitos

    figura 3 figura 4

    En la práctica que nos ocupa hemos representado el diagrama vectorial de la tensión de entrada (Ve), tensión en bornas del condensador (Vc), de la resistencia (VR) y de la bobina (V1); así como sus ángulos de desfase correspondientes respecto a la tensión de entrada (c , r , y l respectivamente), todo ello calculado para una frecuencia fija de entrada de valor f.

  • DIAGRAMAS DE BODE

  • Cuando un sistema o circuito eléctrico es sometido a una variación de la frecuencia f, es interesante analizar cómo varía la respuesta de dicho circuito ( la impedancia Z(j) o la admitancia Y(j) del sistema ) cuando  varía desde 0 hasta ".

    Un análisis gráfico de esta respuesta frecuencial se puede hacer de diversas formas: diagrama de Nyquist, método de Evans, diagrama de Black, ... y mediante los diagramas de Bode.

    Las curvas o diagramas de Bode permiten, por tanto, evaluar gráficamente la variación del módulo y del ángulo de cualquier función de transferencia H(j) de un sistema en función de los distintos valores de j.

    Estos diagramas son dos:

  • Representa el módulo de la función de transferencia, es decir ø H(j) ø, en función de la frecuencia de entrada; o lo que es igual, la amplitud de la onda sinusiodal en función de dicha frecuencia (figura 5).

  • Representa el argumento de la función de transferencia frente a la frecuencia de entrada; siendo dicho argumento el desfase existente entre la tensión de salida en bornas del condensador y la tensión de entrada al circuito (ver figura 6).

  • En ambas figuras el eje de abscisas se representa en escala logarítmica y el eje de ordenadas en escala lineal.

    Vamos ahora a analizar cada uno de los conceptos que se representan en los ejes coordenados:

    • Desfase: es el lapsus de tiempo que se produce entre el paso de dos ondas sinusoidales distintas por un mismo punto, como ya vimos en el apartado anterior en el diagrama de Fresnel. En este caso las ondas serán las tensiones de entrada y de salida.

    • Amplitud: es el valor máximo de la onda sinusoidal. Se calcula mediante la expresión:

    A = 20 " log øH(j)ø

    donde H(j) es la función de transferencia del circuito considerado.

    La amplitud se expresa en decibelios (dB), siendo el belio la unidad de medida de la efectividad de los amplificadores de línea y se define como el logaritmo de la potencia de salida Pa (ya amplificada), dividida por la potencia original (sin el amplificador) de salida Ps:

    B = log (Pa / Ps) = 2 " log (Va / Vs)

    siendo Va y Vs las tensiones de salida amplificada y sin amplificar respectivamente.

    Como el belio resultó ser una unidad demasiado grande, se comenzó a hablar sobre la ganancia de potencia en décimas de belio, el decibelio (dB), así tenemos:

    dB = 20 " log (Va / Vs)

    • Frecuencia: se define como la inversa del período o bien como el cociente entre la pulsación o velocidad angular, , y 2.

    f = 1 / T =  / 2

    Cada vez que multiplicamos la frecuencia por 10, decimos que  ha aumentado una década, por tanto, para valores elevados de  el módulo del logaritmo tiene una pendiente de +20 dB/década o lo que es igual, una pendiente de +6 dB/octava.

    En la práctica que nos ocupa, para realizar los diagramas de Bode hemos supuesto una tensión fija de entrada de valor Ve y hemos ido aumentando de manera progresiva el valor de la frecuencia f, leyendo en el osciloscopio los distintos valores que iba tomando la tensión en bornas de la bobina o inducción a medida que aumentaba la frecuencia; dichos valores coinciden con la amplitud de la onda sinusoidal correspondiente a la tensión de la inducción (Vl).

    También comprobamos el desfase existente entre las ondas de tensión de entrada y de salida. Esta medida se efectúa de forma directa en segundos y es necesario pasarla a grados para su utilización en el diagrama de Bode.

    Todos estos datos se obtienen midiendo adecuadamente en el osciloscopio:

    Circuitos

  • PRIMERA PARTE: IDENTIFICACION VECTORIAL.

  • 2.1. DESARROLLO PRÁCTICO:

    Ya hemos explicado los tipos de diagrama, y pasamos a la ejecución de la primera parte de la práctica, consistente en construir el diagrama vectorial del circuito RLC dado. Lo que primero haremos será la parte práctica, midiendo en el laboratorio los valores de los potenciales y de los desfases de los distintos elementos mediante el osciloscopio, la tensión de entrada y el período sabiendo la frecuencia.

    Los datos obtenidos fueron los siguientes:

    FUENTE

    RESISTENCIA

    CONDENSADOR

    INDUCCION

    Ve = 10 v

    Vr = 10 v

    Vc = 2.2 v

    Vl = 2.2 v

    ðr = 0 ðs

    ðc = 32 ðs

    ðl = -28 ðs

    ðr = 0 º

    ðc = 97.62 º

    ðl = -85.42 º

    Y el correspondiente diagrama vectorial práctico resultó:

    2.2 DESARROLLO TEÓRICO:

    Tomando los datos teóricos del circuito, y aplicando las fórmulas correspondientes:

    Circuitos

    C = 0,1 F

    R = 1000 ± 10 % 

    L = 4,3 mH

    R1 = 3,4 

    f = 8.5 KHz

    ð = 2ðf = 53407.08

    Ve = 10 V

    L = 4.3E(-3) H ---------- Lð = 229.65 ð

    C = 0.1 ðF -------------- 1/Cð = 187.24 ð

    R = 1000 ð

    Rl = 3.4 ð

    La fórmula a utilizar es:

    I = Ve / R + RL + j (Lw -1/ Cw)

    Que, una vez introducidos los datos se convierte en:

    I = 10 / 1003.4 + 42.41 j

    Operándolo:

    I= 9.98 E(-3) - 4.22 E(-4) j

    Vr = I.R = 9.98 -0.42 j Vr = 9.99 V ð r = -2º

    Vl = I.(RL + Lðj) = 0.13 +2.29 j Vl = 2.29 V ð l = 86.75º

    Vc = I / Cðj = -0.08 -1.87j Vc = 1.87 V ð c = -92.45º

    Estos datos teóricos se pueden resumir en la siguiente tabla:

    FUENTE

    RESISTENCIA

    CONDENSADOR

    INDUCCION

    Ve = 10 v

    Vr = 9.9 v

    Vc = 2.29 v

    Vl = 2.29 v

    ðr = -2 º

    ðc = 86.75 º

    ðl = -92.45 º

    Y la representación del diagrama vectorial teórico de nuestro circuito RLC resultará:

    2.3 COMPARACIÓN:

    Se puede comprobar que el resultado obtenido en el laboratorio se ajusta bastante al modelo teórico, existiendo pequeñas diferencias achacables a errores tanto de medición en los aparatos de lectura como de los propios componentes, siendo estos de todas formas despreciables.

  • SEGUNDA PARTE: RESPUESTA FRECUENCIAL.

  • REALIZACIÓN:

  • Para la función de trasferencia H(j) la función de entrada será U(j) u la función de salida será UC(j). Así

    Circuitos

    Operando esto nos queda:

    Circuitos

    siendo z el facto de amortiguación.

    El modulo de H nos dará la relación entre los módulos de UC y U, y su argumento nos dará el desfase entre aquellos.

    La tabla que refleja los datos tomados en el laboratorio y so posteriordesarrollo es:

    Frecuencia

    V entrada

    V Inducc.

    Fi teor.

    Fi práct.

    .dB. pract.

    .dB. teor.

    500

    10000

    40

    17,5662725

    18

    -47,9588002

    -47,8224828

    1000

    10000

    150

    32,67376138

    36

    -36,4781748

    -36,750978

    2000

    10000

    440

    53,52723111

    54

    -27,1309465

    -27,269291

    5000

    10000

    1400

    79,65177836

    72

    -17,0774393

    -17,5595622

    10000

    10000

    2800

    96,31383438

    93,6

    -11,0568394

    -11,4493629

    20000

    10000

    5200

    114,6652837

    115,2

    -5,67993313

    -6,20692275

    50000

    10000

    9000

    142,7398554

    162

    -0,91514981

    -1,77576944

    100000

    10000

    9990

    159,5149611

    165,6

    -0,00869024

    -0,51608172

    200000

    10000

    10000

    169,4652166

    180

    0

    -0,13485538

    500000

    10000

    8000

    175,751029

    216

    -1,93820026

    -0,02185898

    1000000

    10000

    5000

    177,8729652

    237,6

    -6,02059991

    -0,00547502

    Y la tabla completa elaborada en Excel para su posterior representación es:

    Frecuencia

    W

    Wu

    Ve

    Vs

    T

    fi

    fi(t)

    Tdesfase

    Vs

    500

    3141,592

    0,06514544

    10000

    40

    1100

    18

    17,5662725

    900

    40,6327168

    1000

    6283,184

    0,13029088

    10000

    150

    600

    36

    32,67376138

    400

    145,36207

    2000

    12566,368

    0,26058175

    10000

    440

    325

    54

    53,52723111

    175

    433,047415

    5000

    31415,92

    0,65145438

    10000

    1400

    140

    72

    79,65177836

    60

    1324,40829

    10000

    62831,84

    1,30290877

    10000

    2800

    76

    93,6

    96,31383438

    24

    2676,2819

    20000

    125663,68

    2,60581753

    10000

    5200

    41

    115,2

    114,6652837

    9

    4893,88616

    50000

    314159,2

    6,51454383

    10000

    9000

    19

    162

    142,7398554

    1

    8151,01191

    100000

    628318,4

    13,0290877

    10000

    9990

    9,6

    165,6

    159,5149611

    0,4

    9423,14587

    200000

    1256636,8

    26,0581753

    10000

    10000

    5

    180

    169,4652166

    0

    9845,94105

    500000

    3141592

    65,1454383

    10000

    8000

    1,8

    216

    175,751029

    0,2

    9974,86555

    1000000

    6283184

    130,290877

    10000

    5000

    0,84

    237,6

    177,8729652

    0,16

    9993,69863

    Frecuencia

    H(p)

    H(t)

    dB(p)

    dB(t)

    Re

    Im

    Vs

    500

    0,004

    0,00406327

    -47,9588002

    -47,8224828

    0,99575607

    -0,31522734

    40,6327168

    1000

    0,015

    0,01453621

    -36,4781748

    -36,750978

    0,98302429

    -0,63045468

    145,36207

    2000

    0,044

    0,04330474

    -27,1309465

    -27,269291

    0,93209715

    -1,26090937

    433,047415

    5000

    0,14

    0,13244083

    -17,0774393

    -17,5595622

    0,57560719

    -3,15227341

    1324,40829

    10000

    0,28

    0,26762819

    -11,0568394

    -11,4493629

    -0,69757125

    -6,30454683

    2676,2819

    20000

    0,52

    0,48938862

    -5,67993313

    -6,20692275

    -5,790285

    -12,6090937

    4893,88616

    50000

    0,9

    0,81510119

    -0,91514981

    -1,77576944

    -41,4392813

    -31,5227341

    8151,01191

    100000

    0,999

    0,94231459

    -0,00869024

    -0,51608172

    -168,757125

    -63,0454683

    9423,14587

    200000

    1

    0,9845941

    0

    -0,13485538

    -678,0285

    -126,090937

    9845,94105

    500000

    0,8

    0,99748656

    -1,93820026

    -0,02185898

    -4242,92813

    -315,227341

    9974,86555

    1000000

    0,5

    0,99936986

    -6,02059991

    -0,00547502

    -16974,7125

    -630,454683

    9993,69863

    Con estos datos ya estamos en disposición de dibujar los diagramas de Bode.

  • DIAGRAMAS DE BODE.

  • Las gráficas de los diagramas de Bode correspondientes son:

    Para el diagrama de módulos:

    Circuitos

    Y el correspondiente diagrama para desfases es:

    Circuitos

  • COMENTARIOS.

  • Se puede observar que el comportamiento de la inducción o bobina se ajusta perfectamente al valor teórico para los primeros valores de frecuencias. Según se sube esta, la curva continúa ajustándose satisfactoriamente, alejándose del modelo teórico el desfase práctico para frecuencias altas.

    El último valor de frecuencias considerado fue el de 1.000 KHz, puesto que para valores superiores no se pudo tomar lectura.

    Consideramos que el desarrollo de la práctica se ha realizado adecuadamente, obteniéndose resultados coherentes y muy parecidos entre teoría y práctica.

  • BIBLIOGRAFÍA.

    • “Apuntes del Bloque I : Teoría de Sistemas”; Departamento de Sistemas Energéticos. (ETSIM). Edición Octubre 1995

    • “ Física General” Francis W. Sears, Mark W. Zemansky

    • “ Electricidad y Magnetismo” Julio Palacios. Editorial Espasa-Calpe. Edición 1959

    • Enciclopedia Microsoft Encarta 99.

    • “ Teoría de Circuitos “ (Vol I , Vol II). José Gómez Campomanes. Ed. Universidad de Oviedo.

    1

    16

    ¡Error!No hay tema especificado.

    t

    VC = 1.87 V ðC=-92.45º

    Circuitos

    VL=2.2V ðL=85.42º

    0 2

    VC=2.2V ðC=-97.62º

    Ve= 10 V

    VR= 10 V ðR= 0º

    ¡Error!No hay tema especificado.

    Amplitud(dB)

    Frecuencia f =  / 2 (Hz)

    Figura 5

    Desfase

    (grados)

    Frecuencia f =  / 2 (Hz)

    Figura 6

    ¡Error!No hay tema especificado.

    ¡Error!Vínculo no válido.

    VL=2.29V ðL=86.75 º

    0 2

    VE = 10 V

    ¡Error!No hay tema especificado.

    VR= 9.99 V ðR= -2º

    Circuitos