INDICE

1- INTRODUCCIÓN 2

1.1- REPRESENTACIÓN VECTORIAL O FASORIAL DE UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL 2

1.2.- DIAGRAMAS DE BODE 4

2.- PRIMERA PARTE: IDENTIFICACION VECTORIAL. 8

2.1.- DESARROLLO PRÁCTICO 8

2.2.- DESARROLLO TEÓRICO 9

2.3.- COMPARACIÓN 10

3.- SEGUNDA PARTE: RESPUESTA FRECUENCIAL. 11

3.1.- REALIZACIÓN 11

3.2.- DIAGRAMAS DE BODE 13

3.3.- COMENTARIOS. 15

4.- BIBLIOGRAFÍA. 16

1. INTRODUCCIÓN

En esta práctica se ha montado un circuito RLC formado por una resistencia, una bobina y un condensador conectados en serie y alimentados por una fuente de tensión sinusoidal, tal como muestra la figura:

C = 0,1 F

R = 1000 ± 10 % 

L = 4,3 mH

R1 = 3,4 

El primer objetivo de la práctica consiste en estudiar la respuesta generada por un circuito RLC ante la entrada de una función senoidal de tensión en régimen permanente, dibujando el diagrama vectorial del circuito. El segundo objetivo es analizar la respuesta frecuencial de uno de los elementos del circuito RLC anterior, construyendo el diagrama de Bode correspondiente al elemento; El elemento elegido ha sido la bobina o inducción. Por lo tanto comenzaremos explicando qué representan dichos diagramas y su funcionamiento.

REPRESENTACIÓN VECTORIAL O FASORIAL DE UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL

Se denomina versor a todo vector unitario que gira alrededor del origen de coordenadas, en sentido contrario a las agujas del reloj, a una velocidad de  radianes por segundo y cuya representación en el plano complejo es el de la figura 1.

Según la fórmula de Euler:

ejt= cos t + j sen t

donde:

- cos t representa la proyección sobre el eje real del versor

- sen t representa la proyección sobre el eje imaginario del versor.

En general, consideramos un vector de módulo distinto a la unidad y con un argumento de valor ( t +  ), cuya parte real viene dada por la expresión:

Ao cos(t + ) = Re (Ao e(t+) ) = Reø(Ao ej ) ejt ø

siendo denominado como fasor el vector fijo: Ao ej

AO = amplitud máxima de la onda de f.e.m.

 = ángulo de fase del vector o fasor de f.e.m.

 = velocidad angular o pulsación

(ver figura 2)

Figura 2.

En las representaciones gráficas no se dibujan los vectores como giratorios, reflejándose únicamente el desfase relativo entre ellos, puesto que todos giran de forma síncrona con la velocidad angular .

La figura 3 muestra la representación vectorial o fasorial de tres f.e.m. desfasadas en el espacio y que vienen dadas por las expresiones:

v1 = VO1 sen t

v2 = VO2 sen (t+2)

v3 = VO3 sen (t-3)

Dichos desfases se ponen de manifiesto en el diagrama de Fresnel que aparece en la figura 4 también representada.

figura 3 figura 4

En la práctica que nos ocupa hemos representado el diagrama vectorial de la tensión de entrada (Ve), tensión en bornas del condensador (Vc), de la resistencia (VR) y de la bobina (V1); así como sus ángulos de desfase correspondientes respecto a la tensión de entrada (c , r , y l respectivamente), todo ello calculado para una frecuencia fija de entrada de valor f.

DIAGRAMAS DE BODE

Cuando un sistema o circuito eléctrico es sometido a una variación de la frecuencia f, es interesante analizar cómo varía la respuesta de dicho circuito ( la impedancia Z(j) o la admitancia Y(j) del sistema ) cuando  varía desde 0 hasta ".

Un análisis gráfico de esta respuesta frecuencial se puede hacer de diversas formas: diagrama de Nyquist, método de Evans, diagrama de Black, ... y mediante los diagramas de Bode.

Las curvas o diagramas de Bode permiten, por tanto, evaluar gráficamente la variación del módulo y del ángulo de cualquier función de transferencia H(j) de un sistema en función de los distintos valores de j.

Estos diagramas son dos:

Representa el módulo de la función de transferencia, es decir ø H(j) ø, en función de la frecuencia de entrada; o lo que es igual, la amplitud de la onda sinusiodal en función de dicha frecuencia (figura 5).

Representa el argumento de la función de transferencia frente a la frecuencia de entrada; siendo dicho argumento el desfase existente entre la tensión de salida en bornas del condensador y la tensión de entrada al circuito (ver figura 6).

En ambas figuras el eje de abscisas se representa en escala logarítmica y el eje de ordenadas en escala lineal.

Vamos ahora a analizar cada uno de los conceptos que se representan en los ejes coordenados:

• Desfase: es el lapsus de tiempo que se produce entre el paso de dos ondas sinusoidales distintas por un mismo punto, como ya vimos en el apartado anterior en el diagrama de Fresnel. En este caso las ondas serán las tensiones de entrada y de salida.

• Amplitud: es el valor máximo de la onda sinusoidal. Se calcula mediante la expresión:

A = 20 " log øH(j)ø

donde H(j) es la función de transferencia del circuito considerado.

La amplitud se expresa en decibelios (dB), siendo el belio la unidad de medida de la efectividad de los amplificadores de línea y se define como el logaritmo de la potencia de salida Pa (ya amplificada), dividida por la potencia original (sin el amplificador) de salida Ps:

B = log (Pa / Ps) = 2 " log (Va / Vs)

siendo Va y Vs las tensiones de salida amplificada y sin amplificar respectivamente.

Como el belio resultó ser una unidad demasiado grande, se comenzó a hablar sobre la ganancia de potencia en décimas de belio, el decibelio (dB), así tenemos:

dB = 20 " log (Va / Vs)

• Frecuencia: se define como la inversa del período o bien como el cociente entre la pulsación o velocidad angular, , y 2.

f = 1 / T =  / 2

Cada vez que multiplicamos la frecuencia por 10, decimos que  ha aumentado una década, por tanto, para valores elevados de  el módulo del logaritmo tiene una pendiente de +20 dB/década o lo que es igual, una pendiente de +6 dB/octava.

En la práctica que nos ocupa, para realizar los diagramas de Bode hemos supuesto una tensión fija de entrada de valor Ve y hemos ido aumentando de manera progresiva el valor de la frecuencia f, leyendo en el osciloscopio los distintos valores que iba tomando la tensión en bornas de la bobina o inducción a medida que aumentaba la frecuencia; dichos valores coinciden con la amplitud de la onda sinusoidal correspondiente a la tensión de la inducción (Vl).

También comprobamos el desfase existente entre las ondas de tensión de entrada y de salida. Esta medida se efectúa de forma directa en segundos y es necesario pasarla a grados para su utilización en el diagrama de Bode.

Todos estos datos se obtienen midiendo adecuadamente en el osciloscopio:

PRIMERA PARTE: IDENTIFICACION VECTORIAL.

2.1. DESARROLLO PRÁCTICO:

Ya hemos explicado los tipos de diagrama, y pasamos a la ejecución de la primera parte de la práctica, consistente en construir el diagrama vectorial del circuito RLC dado. Lo que primero haremos será la parte práctica, midiendo en el laboratorio los valores de los potenciales y de los desfases de los distintos elementos mediante el osciloscopio, la tensión de entrada y el período sabiendo la frecuencia.

Los datos obtenidos fueron los siguientes:

FUENTE	RESISTENCIA	CONDENSADOR	INDUCCION
Ve = 10 v	Vr = 10 v	Vc = 2.2 v	Vl = 2.2 v
	ðr = 0 ðs	ðc = 32 ðs	ðl = -28 ðs
	ðr = 0 º	ðc = 97.62 º	ðl = -85.42 º

Y el correspondiente diagrama vectorial práctico resultó:

2.2 DESARROLLO TEÓRICO:

Tomando los datos teóricos del circuito, y aplicando las fórmulas correspondientes:

C = 0,1 F

R = 1000 ± 10 % 

L = 4,3 mH

R1 = 3,4 

f = 8.5 KHz

ð = 2ðf = 53407.08

Ve = 10 V

L = 4.3E(-3) H ---------- Lð = 229.65 ð

C = 0.1 ðF -------------- 1/Cð = 187.24 ð

R = 1000 ð

Rl = 3.4 ð

La fórmula a utilizar es:

I = Ve / R + RL + j (Lw -1/ Cw)

Que, una vez introducidos los datos se convierte en:

I = 10 / 1003.4 + 42.41 j

Operándolo:

I= 9.98 E(-3) - 4.22 E(-4) j

Vr = I.R = 9.98 -0.42 j Vr = 9.99 V ð r = -2º

Vl = I.(RL + Lðj) = 0.13 +2.29 j Vl = 2.29 V ð l = 86.75º

Vc = I / Cðj = -0.08 -1.87j Vc = 1.87 V ð c = -92.45º

Estos datos teóricos se pueden resumir en la siguiente tabla:

FUENTE	RESISTENCIA	CONDENSADOR	INDUCCION
Ve = 10 v	Vr = 9.9 v	Vc = 2.29 v	Vl = 2.29 v
	ðr = -2 º	ðc = 86.75 º	ðl = -92.45 º

Y la representación del diagrama vectorial teórico de nuestro circuito RLC resultará:

2.3 COMPARACIÓN:

Se puede comprobar que el resultado obtenido en el laboratorio se ajusta bastante al modelo teórico, existiendo pequeñas diferencias achacables a errores tanto de medición en los aparatos de lectura como de los propios componentes, siendo estos de todas formas despreciables.

SEGUNDA PARTE: RESPUESTA FRECUENCIAL.

REALIZACIÓN:

Para la función de trasferencia H(j) la función de entrada será U(j) u la función de salida será UC(j). Así

Operando esto nos queda:

siendo z el facto de amortiguación.

El modulo de H nos dará la relación entre los módulos de UC y U, y su argumento nos dará el desfase entre aquellos.

La tabla que refleja los datos tomados en el laboratorio y so posteriordesarrollo es:

Frecuencia	V entrada	V Inducc.	Fi teor.	Fi práct.	.dB. pract.	.dB. teor.
500	10000	40	17,5662725	18	-47,9588002	-47,8224828
1000	10000	150	32,67376138	36	-36,4781748	-36,750978
2000	10000	440	53,52723111	54	-27,1309465	-27,269291
5000	10000	1400	79,65177836	72	-17,0774393	-17,5595622
10000	10000	2800	96,31383438	93,6	-11,0568394	-11,4493629
20000	10000	5200	114,6652837	115,2	-5,67993313	-6,20692275
50000	10000	9000	142,7398554	162	-0,91514981	-1,77576944
100000	10000	9990	159,5149611	165,6	-0,00869024	-0,51608172
200000	10000	10000	169,4652166	180	0	-0,13485538
500000	10000	8000	175,751029	216	-1,93820026	-0,02185898
1000000	10000	5000	177,8729652	237,6	-6,02059991	-0,00547502

Y la tabla completa elaborada en Excel para su posterior representación es:

Frecuencia	W	Wu	Ve	Vs	T	fi	fi(t)	Tdesfase	Vs
500	3141,592	0,06514544	10000	40	1100	18	17,5662725	900	40,6327168
1000	6283,184	0,13029088	10000	150	600	36	32,67376138	400	145,36207
2000	12566,368	0,26058175	10000	440	325	54	53,52723111	175	433,047415
5000	31415,92	0,65145438	10000	1400	140	72	79,65177836	60	1324,40829
10000	62831,84	1,30290877	10000	2800	76	93,6	96,31383438	24	2676,2819
20000	125663,68	2,60581753	10000	5200	41	115,2	114,6652837	9	4893,88616
50000	314159,2	6,51454383	10000	9000	19	162	142,7398554	1	8151,01191
100000	628318,4	13,0290877	10000	9990	9,6	165,6	159,5149611	0,4	9423,14587
200000	1256636,8	26,0581753	10000	10000	5	180	169,4652166	0	9845,94105
500000	3141592	65,1454383	10000	8000	1,8	216	175,751029	0,2	9974,86555
1000000	6283184	130,290877	10000	5000	0,84	237,6	177,8729652	0,16	9993,69863

Frecuencia	H(p)	H(t)	dB(p)	dB(t)	Re	Im	Vs
500	0,004	0,00406327	-47,9588002	-47,8224828	0,99575607	-0,31522734	40,6327168
1000	0,015	0,01453621	-36,4781748	-36,750978	0,98302429	-0,63045468	145,36207
2000	0,044	0,04330474	-27,1309465	-27,269291	0,93209715	-1,26090937	433,047415
5000	0,14	0,13244083	-17,0774393	-17,5595622	0,57560719	-3,15227341	1324,40829
10000	0,28	0,26762819	-11,0568394	-11,4493629	-0,69757125	-6,30454683	2676,2819
20000	0,52	0,48938862	-5,67993313	-6,20692275	-5,790285	-12,6090937	4893,88616
50000	0,9	0,81510119	-0,91514981	-1,77576944	-41,4392813	-31,5227341	8151,01191
100000	0,999	0,94231459	-0,00869024	-0,51608172	-168,757125	-63,0454683	9423,14587
200000	1	0,9845941	0	-0,13485538	-678,0285	-126,090937	9845,94105
500000	0,8	0,99748656	-1,93820026	-0,02185898	-4242,92813	-315,227341	9974,86555
1000000	0,5	0,99936986	-6,02059991	-0,00547502	-16974,7125	-630,454683	9993,69863

Con estos datos ya estamos en disposición de dibujar los diagramas de Bode.

DIAGRAMAS DE BODE.

Las gráficas de los diagramas de Bode correspondientes son:

Para el diagrama de módulos:

Y el correspondiente diagrama para desfases es:

COMENTARIOS.

Se puede observar que el comportamiento de la inducción o bobina se ajusta perfectamente al valor teórico para los primeros valores de frecuencias. Según se sube esta, la curva continúa ajustándose satisfactoriamente, alejándose del modelo teórico el desfase práctico para frecuencias altas.

El último valor de frecuencias considerado fue el de 1.000 KHz, puesto que para valores superiores no se pudo tomar lectura.

Consideramos que el desarrollo de la práctica se ha realizado adecuadamente, obteniéndose resultados coherentes y muy parecidos entre teoría y práctica.

BIBLIOGRAFÍA.

• “Apuntes del Bloque I : Teoría de Sistemas”; Departamento de Sistemas Energéticos. (ETSIM). Edición Octubre 1995

• “ Física General” Francis W. Sears, Mark W. Zemansky

• “ Electricidad y Magnetismo” Julio Palacios. Editorial Espasa-Calpe. Edición 1959

• Enciclopedia Microsoft Encarta 99.

• “ Teoría de Circuitos “ (Vol I , Vol II). José Gómez Campomanes. Ed. Universidad de Oviedo.

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¡Error!No hay tema especificado.

t

VC = 1.87 V ðC=-92.45º

VL=2.2V ðL=85.42º

0 2

VC=2.2V ðC=-97.62º

Ve= 10 V

VR= 10 V ðR= 0º

¡Error!No hay tema especificado.

Amplitud(dB)

Frecuencia f =  / 2 (Hz)

Figura 5

Desfase

(grados)

Frecuencia f =  / 2 (Hz)

Figura 6

¡Error!No hay tema especificado.

¡Error!Vínculo no válido.

VL=2.29V ðL=86.75 º

0 2

VE = 10 V

¡Error!No hay tema especificado.

VR= 9.99 V ðR= -2º