Cinemática: Momento de inercia

Mecánica, dinámica, rotación sólido rígido. Disco

  • Enviado por: Felipe Grüttner
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
  • 11 páginas
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MOMENTO DE INERCIA

En este experimento trataremos de encontrar analíticamente y teóricamente el momento de Inercia de un disco que gira a medida que cae una masa atada a un hilo y enrollada en el disco.

Ocupamos tres métodos diferentes para encontrar el momento de inercia respectivo

Introducción

En este experimento estudiaremos lo denominado físicamente “ el momento de Inercia”,

Este trabajo se divide en tres partes, la primera, será tratar de encontrar una expresión analíticamente, ocupando una masa amarrada a un hilo de peso despreciable, la cual está enrollada en un disco y luego dejando caer la masa veremos cuanto se demora en caer esta, y cuanto se demora el disco en detenerse totalmente después de que cayó al suelo la masa, y el disco continuó girando. De esta situación analizaremos su expresión de energía mecánica y de este llegaremos a la expresión del momento de inercia.

La segunda parte de este experimento, será comparar el resultado experimental del momento de inercia, con la expresión conocida del momento de inercia de un disco, el cual es: I= (½)MR2

Y finalmente tomaremos en cuenta la energía de disipación que existe en el sistema, es decir cuando no es un caso ideal donde no hay fuerzas externas que influyan en su movimiento, lo cual implica que no hay una pérdida de energía.

Procedimiento Experimental

En esta primera parte trataremos de encontrar una expresión analítica para el momento de inercia de un disco.

Para esto armamos la siguiente situación:

Amarramos una masa a un hilo de peso despreciable y este lo enrollamos en un disco de radio igual a 0.038 ± 0,001 mts. (Ahora este disco estaba perneado a otro disco de radio igual 0.12 ± 0.01 mts.) y lo pusimos a una distancia de 1.62 ± 0.01 mts. del suelo. La masa del disco grande es 0.5 ± 0.1 Kg. Y la masa del disco chico es 0.068 ± 0.001gr. Luego, dejamos caer la masa y medimos cuanto se demora en llegar al suelo, y posteriormente después de que cayó, tomamos el tiempo, cuando se demora el disco en detenerse, la situación fue la siguiente:

Los Supuestos que tomamos en cuenta para este experimento fueron los siguientes:

  • EL roce con el aire no influye

  • El movimiento de caída de la masa es vertical

  • El disco va disminuyendo uniformemente hasta detenerse por completo

Los Materiales que ocupamos en este trabajo fueron los siguientes:

  • Dos discos de madera pernádos

  • Una barra de metal

  • Un hilo de masa despreciable

  • Masas

  • 2 cronómetros

  • Base metálica

  • Una Regla

  • Nueces

Los resultados que obtuvimos en este experimento fueron los siguientes:

M

0.067± 0.001

0.20 ± 0.01

0.10 ± 0.01

0.03 ± 0.01

0.015 ± 0.001

0.001 ± 0.001

Tdc

3.87 ± 0.1

2.20 ± 0.1

2.74 ± 0.1

4 ± 0.1

6.10 ± 0.1

8.8 ± 0.1

Tdp

61.31 ± 0.1

58.41 ± 0.1

56.62 ± 0.1

44.44 ± 0.1

34.71 ± 0.1

20.91 ± 0.1

Donde :

M: Masa amarrada al hilo(masa expresada en Kg)

Tdc: tiempo que se demora en caer la masa desde que se suelta hasta que cae al piso. (Tiempo expresado en seg.)

Tdp: Tiempo que se demora el disco en detenerse después que el disco llega al suelo. (Tiempo expresado en seg.)

Para empezar con la primera parte de este experimento, veremos que es el momento de inercia, ocupando su definición teórica la cual es: I= (½) MR2

Después de haber hallado el momento de inercia teóricamente, analizaremos la segunda parte del experimento, para esto analizaremos la energía de esta situación:

Ei: Mgh

Donde M es la masa del objeto colgante, g es la aceleración de gravedad y H es la altura de donde empieza a caer el objeto.

Después de que cae el objeto:

Ef: (1/2) mv2 + (1/2)Iw2

Donde V es la velocidad con que llega al piso I es el momento de inercia del disco y W es la velocidad angular del disco.

Ahora vamos a hacer un diagrama de cuerpo libre de la situación:

M*a = M*g - T (1)

T*R = I* (a/R) (2)

Donde a es la aceleración de la masa, T es la tensión del hilo R es el radio del disco.

Despejando T de la ecuación (2) y reemplazándola en la ecuación (1) nos queda:

a*[M + (I/R2)] = M*g

a= (M*g)/ [M + (I/R2)

También sabemos que la velocidad va aumentando a medida que el tiempo avanza, lo cual es un movimiento uniforme por lo que podríamos concluir que el gráfico v v/s t es:

V

t

De acá podemos de terminar que:

(Vf + Vi)/2 = h/Tdc

V = 2h/tdc

Y también sabemos que:

W= V/R

Entonces reemplazando estas ecuaciones en las ecuaciones de energía y luego igualamos estas, porque es un sistema conservativo, nos queda que:

I= (mgh - (½)mv2)/((½)w2

Pero sabemos que es casi imposible que no haya energía disipada por lo cual, debemos tomar en cuenta que al momento de que la masa llega al piso hay energía que se pierde. (tercer método)

Observemos la energía cuando la masa llega al piso:

Edp=(1/2)IW2

Pero como dijimos antes existe esta disipación de energía, entonces la ecuación queda:

Mgh= (1/2)mv2 + (1/2)Iw2 + Edp

Y

Edp= ((1/2) Iw2 / Tdp)*Tdc

Entonces la ecuación general de la energía nos queda:

Mgh= (1/2)mv2 + (1/2) IW2 +((1/2)Iw2 /Tdp)*Tdc

Ordenando esta ecuación y despejando I nos queda finalmente:

I = (2mghTdp - mv2 Tdp)/(W2 tdp +W2Tdc)

Resumiendo el primer método es ocupando La definición de momento de inercia de un disco el cual es I=(1/2)MR2

El segundo método fue por diagrama de cuerpo libre, el cual nos dio la siguiente fórmula de inercia

I= (mgh - (1/2)m((2d/Tdc)2))/(2d/Tdc*R)2

El tercer método tomando en cuenta que existe una disipación de energía la cual nos dio que el momento de inercia es

I=(2mghTdp - Mv2Tdp=/(W2Tdp + W2Tdc)

Tomando en cuenta los valores que encontramos al principio del experimento, para el primer método:

Para el disco grande:

Ic= (1/2)*(0.5 ± 0.1)*(0.12 ± 0.01)= 0.0036 ± 0.0008 Kg*mts

Para el disco chico:

Ig = (1/2)(0.068 ± 0.001)*(0.038 ± 0.001)

Ig = 0.0000485 ± 0.0000015 Kg*mts

Entonces calculando la inercia total, que es la suma de la inercia del disco chico, y la inercia del disco grande es:

I= (0.0036 ± 0.0008) + (0.0000485 ± 0.0000015)

I= 0.0036 ± 0.0008 Kg*mts

Ahora por el segundo método tenemos que:

I = (mgh - (1/2) m* ((2d*/Tdc)2)/(2d/tdc*R)2

Para m= 0.20 ± 0.01Kg. y radio= 0.038 ± 0.001 mts.

I= 0.0039 ± 0.0004

Por la tercera forma el momento de inercia es el siguiente:

I= (mgh - (½)mv2)/((½)w2 +(w2 Tdc/2Tdp)

Con radio= (0.038 ± 0.001) y masa igual a (0.20 ± 0.01)

I = 0.0044 ± 0.0001

Si nos podemos dar cuenta los valores de las inercias son sumamente parecidos, pero la diferencia es el grado de disociación de energía que hay a través de cada uno de estos métodos.

Discusión.

Si nos podemos dar cuenta, en cada método nos dieron resultados bastante parecidos. Ahora, hay que tomar en cuenta que para cada ecuación existe un mayor número de variables que influyen en sus respectivas energías, por lo cual aquí se puede explicar el porque la diferencia entre cada resultado para la Inercia del disco.

Conclusión.

En este experimento estudiamos el momento de inercia de dos discos unidos, los cuales rotaban simultáneamente a medida que dejábamos caer una masa unida a un hilo, y este enrollado al disco más chico del sistema.

En el primer método utilizado el momento de Inercia nos dio:

I: 0.0036 ± 0.0008

El segundo método nos dio el siguiente resultado:

I: 0.0039 ± 0.0004

Y el tercer método empleado nos dio:

I: 0.0044 ± 0.0001

Y las expresiones respectivamente fueron:

I= (½)MR2

I= (mgh -(½)m((2h/Tdc)2)/((2h/TdcR)2)

I= (mgh - (½)mv2)/((½)w2 +(w2 Tdc/2Tdp)