Cinemática y dinámica

Mecánica clásica newtoniana cuerpos puntuales rígidos. Sistemas referencia. Transformaciones ecuaciones cinemáticas. Fuerza cinética. Trabajo, energía

  • Enviado por: Pedro Ramirez Y Otros
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 10 páginas

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Resumen

En pocas palabras, este trabajo desarrolla una nueva dinámica, válida para todos los observadores, que establece, entre otras cosas, la existencia de una nueva fuerza universal de interacción, denominada fuerza cinética, que tiene como finalidad equilibrar a las otras fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Para la nueva dinámica, el movimiento de los cuerpos no esta determinado por las fuerzas que actúan sobre ellos, sino que son los propios cuerpos quienes determinan su movimiento, ya que a través de su movimiento ejercen sobre los otros cuerpos la fuerza cinética necesaria para mantener al sistema de fuerzas que actúa sobre los cuerpos siempre en equilibro.

Introducción

Es sabido que la mecánica clásica no puede formular la dinámica de Newton para todos los sistemas de referencia, debido a que ésta no siempre conserva su forma al ser pasada de un sistema de referencia a otro. Si admitimos, por ejemplo, que la dinámica de Newton es válida para un sistema de referencia, entonces no podemos admitir que sea válida para otro sistema de referencia acelerado con respecto al primero, porque el comportamiento de los cuerpos para el segundo sistema de referencia es distinto a lo establecido por la dinámica de Newton.

La mecánica clásica soluciona esta dificultad, distinguiendo a los sistemas de referencia: en sistemas de referencia inerciales, para los cuales se formula la dinámica de Newton, y en sistemas de referencia no inerciales, para los cuales no se formula la dinámica de Newton; contradiciendo con esta solución, al principio general de relatividad, que afirma: Todos los sistemas de referencia obtendrán las mismas leyes naturales.

Sin embargo, este trabajo cree que es posible solucionar la dificultad expuesta de la mecánica clásica de una manera diferente, sin necesidad de distinguir a los sistemas de referencia y acorde con el principio general de relatividad, desarrollando a partir de la dinámica de Newton y de las transformaciones de la cinemática una nueva dinámica, que podrá ser formulada para todos los sistemas de referencia ya que la misma conservará siempre su forma al ser pasada de un sistema de referencia a otro.

El desarrollo de esta nueva dinámica se dividirá en dos partes: en la primera parte, que trata sobre la mecánica clásica de los cuerpos puntuales, se desarrollará la nueva dinámica de los cuerpos puntuales, a partir de la dinámica de Newton de los cuerpos puntuales y de las transformaciones de la cinemática de los cuerpos puntuales, y en la segunda parte, que trata sobre la mecánica clásica de los cuerpos rígidos, se desarrollará la nueva dinámica de los cuerpos rígidos, a partir de la dinámica de Newton de los cuerpos rígidos y de las transformaciones de la cinemática de los cuerpos rígidos.

Este trabajo sólo desarrollará la primera parte.

Indice

Mecánica de los Cuerpos Puntuales

Cinemática de los Cuerpos Puntuales

Dinámica de los Cuerpos Puntuales

Conservaciones de los Cuerpos Puntuales

conservaciones

Entendamos por mecánica de los cuerpos puntuales, por aquella mecánica que considera que el universo está constituído solamente por cuerpos puntuales; considerando que todo cuerpo puntual es un cuerpo que sólo ocupa un punto en el espacio.

Sistemas de referencia

Si un sistema de referencia S está ligado a un cuerpo puntual y otro sistema de referencia S' está ligado a otro cuerpo puntual, entonces los ejes de los sistemas de referencia S y S' permanecerán siempre fijos entre sí. Por lo tanto, se puede convenir, para facilitar los cálculos, que los ejes de los sistemas de referencia S y S' tengan la misma orientación entre sí, según como muestra la Fig. 1.

Transformaciones de la cinemática

Si un sistema de referencia S, de ejes O (X, Y ,Z), determina un suceso por medio de tres coordenadas espaciales X, Y, Z y una coordenada temporal T, entonces otro sistema de referencia S' , de ejes O' (X', Y', Z'), también determinará a este mismo suceso por medio de tres coordenadas espaciales X', Y', Z' y una coordenada temporal T'.
Se puede pasar de las coordenadas X,Y,Z,T del sistema de referencia S a las coordenadas X', Y', Z', T' del sistema de referencia S', cuyo origen de coordenadas O' se encuentra con respecto al sistema de referencia S en la posición Xo', Yo', Zo', aplicando las siguientes ecuaciones:

X' = X - Xo'

Y' = Y - Yo'

Z' = Z - Zo'

T' = T

De estas ecuaciones, se deduce como se transforman las velocidades y las aceleraciones del sistema de referencia S al sistema de referencia S', que en forma vectorial pueden ser expresadas a través de las siguientes ecuaciones:

' = - o'

Ã' = Ã - Ão'

donde o' y o' es la velocidad y la aceleración respectivamente del sistema de referencia S' con respecto al sistema de referencia S.

Dinámica de Newton

Primera ley de Newton: Todo cuerpo puntual permanece en el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme, a menos que haya fuerzas actuando sobre él que modifiquen su estado.
Segunda ley de Newton: Si sobre un cuerpo puntual A actúan fuerzas, entonces la aceleración del mismo es proporcional a la resultante de las fuerzas actuantes y tiene igual dirección y sentido que ella.

a = Ma.a

donde Ma es la masa inercial del cuerpo puntual A.
Tercera ley de Newton: Si un cuerpo puntual A ejerce una fuerza sobre un cuerpo puntual B, entonces el cuerpo puntual B ejerce una fuerza - igual y de sentido contrario sobre el cuerpo puntual A.

a = -b

La transformación de las fuerzas de un sistema de referencia a otro, está dada por la siguiente ecuación:

' =

La transformación de las masas inerciales de un sistema de referencia a otro, está dada por la siguiente ecuación:

M' = M

Comportamiento dinámico de los cuerpos puntuales

Consideremos que el universo está constituído solamente por los cuerpos puntuales A, B y C y que estos cuerpos puntuales se comportan para un sistema de referencia S según como lo establece la dinámica de Newton.
Por lo tanto, el comportamiento de los cuerpos puntuales A, B y C estará determinado para el sistema de referencia S por las ecuaciones:

a = Ma.a

b = Mb.b (1)

c = Mc.c

A partir de las ecuaciones (1) y por medio de las transformaciones de la cinemática y de la dinámica, se puede establecer que el comportamiento de los cuerpos puntuales A, B y C estará determinado para otro sistema de referencia S' por las ecuaciones:

á = Má.(á - ó)

= M.( - ó) (2)

= M.( - ó)

Como las ecuaciones (2) sólo pueden tener la misma forma que las ecuaciones (1) si la aceleración ó del sistema de referencia S con respecto al sistema de referencia S' es igual a cero, entonces no se puede establecer que el comportamiento de los cuerpos puntuales A, B y C estará determinado para cualquier sistema de referencia por las ecuaciones (1).
Ahora, si se suman las fuerzas de las ecuaciones (2), se obtiene:

á + + = Má.(á - ó) + M.( - ó) + M.( - ó) (3)

Despejando ó y como á + + es igual a cero, por la tercer ley de Newton, resulta:

Má.á + M. + M.

ó = ---------------------- (4)

Má + M + M

Como el segundo miembro es la aceleración m del centro de masa del universo con respecto al sistema de referencia S', queda:

ó = m (5)

Reemplazando en las ecuaciones (2) ó por m, se obtiene:

á = Má.(á - m)

= M.( - m) (6)

= M.( - m)

Por lo tanto, el comportamiento de los cuerpos puntuales A, B y C estará determinado ahora para el sistema de referencia S' por las ecuaciones (6), que son equivalentes a las ecuaciones (2) ya que m es igual a ó.
Ahora si se pasan las ecuaciones (6) del sistema de referencia S' al sistema de referencia S, por medio de las transformaciones de la cinemática y de la dinámica, se obtiene:

a = Ma.(a - cm)

b = Mb.(b - cm) (7)

c = Mc.(c - cm)

Por lo tanto, el comportamiento de los cuerpos puntuales A, B y C estará determinado ahora para el sistema de referencia S por las ecuaciones (7), que sólo pueden ser equivalentes a las ecuaciones (1) si la aceleración cm del centro de masa del universo con respecto al sistema de referencia S es igual a cero; lo cual puede ser verificado sumando las fuerzas de las ecuaciones (1); o sea:

a + b + c = Ma.a + Mb.b + Mc.c (8)

de donde dividiendo luego ambos miembros por Ma + Mb + Mc y como a + b + c es igual a cero, por la tercer ley de Newton, resulta:

Ma.a + Mb.b + Mc.c

cm = ---------------------- = 0 (9)

Ma + Mb + Mc

Como las ecuaciones (7) tienen la misma forma que las ecuaciones (6), entonces se puede establecer que el comportamiento de los cuerpos puntuales A,B y C estará determinado para cualquier sistema de referencia por las ecuaciones (7), y que sólo estará determinado por las ecuaciones (1) si la aceleración del centro de masa del universo con respecto al sistema de referencia es igual a cero.
Ahora, si en las ecuaciones (7) se pasa el segundo miembro al primero, se obtiene:

a + Ma.(cm - a) = 0

b + Mb.(cm - b) = 0 (10)

c + Mc.(cm - c) = 0

Reemplazando cm por su expresión, resulta luego de factoriar:

Ma.Mb.(b - a) Ma.Mc.(c - a)

a + ---------------- + ---------------- = 0

Ma + Mb + Mc Ma + Mb + Mc

Mb.Ma.(a - b) Mb.Mc.(c - b)

b + ---------------- + ---------------- = 0 (11)

Ma + Mb + Mc Ma + Mb + Mc

Mc.Ma.(a - c) Mc.Mb.(b - c)

c + ---------------- + ---------------- = 0

Ma + Mb + Mc Ma + Mb + Mc

Si se interpreta al segundo y tercer término, como una nueva fuerza º que actúa sobre los cuerpos puntuales, ejercida por los otros cuerpos puntuales, entonces se notará: que la fuerza º conserva siempre su forma y su valor al ser pasada de un sistema de referencia a otro y además que si un cuerpo puntual ejerce una fuerza º sobre otro cuerpo puntual, entonces el segundo cuerpo puntual ejerce una fuerza -º igual y de sentido contrario sobre el primer cuerpo puntual. Por lo tanto, como el segundo y tercer término representa la suma de las nuevas fuerzas º que actúan sobre los cuerpos puntuales, queda:

a + ºa = 0

b + ºb = 0 (12)

c + ºc = 0

Agregando, por último, el segundo término al primero, se obtiene:

a = 0

b = 0 (13)

c = 0

Por lo tanto, finalmente se puede establecer que el comportamiento de los cuerpos puntuales A,B y C estará determinado para cualquier sistema de referencia por las ecuaciones (13); que pueden ser enunciadas de la siguiente manera: Si al conjunto de las fuerzas aplicadas agregamos la nueva fuerza, entonces el total formará un sistema en equilibrio.
Es posible, por lo tanto, concebir una nueva dinámica, que podrá ser formulada para todos los sistemas de referencia; cuya explicación sobre la causa del movimiento de los cuerpos puntuales no será: que los cuerpos puntuales se mueven de determinada manera porque están sometidos bajo la acción de las fuerzas aplicadas que actúan sobre ellos, según como lo establece la primera y segunda ley de Newton, sino que será: que los cuerpos puntuales se mueven de determinada manera porque de esa manera equilibran, por medio de la nueva fuerza, al sistema de fuerzas aplicadas que actúa sobre los cuerpos puntuales.
Por otro lado, de ahora en más, a la nueva fuerza se la denominará fuerza cinética, ya que es una fuerza que depende del movimiento de los cuerpos puntuales, y a la magnitud M (masa) se la denominará masa cinética en vez de masa inercial, porque los cuerpos puntuales ya no poseen más la propiedad de la inercia.

Nueva dinámica

Primer principio: Todo cuerpo puntual determina su movimiento.
Segundo principio: Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual A, siempre están en equilibrio.

a = 0

Tercer principio: Si un cuerpo puntual A ejerce una fuerza sobre un cuerpo puntual B, entonces el cuerpo puntual B ejerce una fuerza - igual y de sentido contrario sobre el cuerpo puntual A.

a = -b

La transformación de las fuerzas de un sistema de referencia a otro, está dada por la siguiente ecuación:

' =

La fuerza cinética Cab ejercida sobre un cuerpo puntual A de masa cinética Ma por otro cuerpo puntual B de masa cinética Mb, está dada por la siguiente ecuación:

Ma.Mb

Cab = ----- . (b - a)

MT

donde b es la aceleración del cuerpo puntual B, a es la aceleración del cuerpo puntual A y MT es la masa cinética total del universo.
Todos los cuerpos puntuales tienen masa cinética y de signo positivo.
La transformación de las masas cinéticas de un sistema de referencia a otro, está dada por la siguiente ecuación:

M'= M

De los enunciados anteriores, se deduce que la suma de las fuerzas cinéticas Ca que actúa sobre un cuerpo puntual A de masa cinética Ma es igual a:

Ca = Ma.(cm - a)

donde cm es la aceleración del centro de masa cinética del universo y a es la aceleración del cuerpo puntual A.

Determinación del movimiento de los cuerpos puntuales

La ecuación que determina la aceleración a de un cuerpo puntual A con respecto a un sistema de referencia S ligado a un cuerpo puntual S, puede ser calculada de la siguiente manera: la suma de las fuerzas cinéticas Ca que actúan sobre el cuerpo puntual A y la suma de las fuerzas cinéticas Cs que actúan sobre el cuerpo puntual S, están dadas por las siguientes ecuaciones:

Ca = Ma.(cm - a)

Cs = Ms.(cm - s)

Despejando en ambas ecuaciones cm e igualando luego las ecuaciones obtenidas, se tiene:

Ca Cs

------ + a = ------ + s

Ma Ms

Despejando a y como la aceleración s del cuerpo puntual S con respecto al sistema de referencia S siempre es igual a cero, resulta:

Cs Ca

a = ------ - ------

Ms Ma

Como la suma de las fuerzas cinéticas ( C ) que actúan sobre un cuerpo puntual es igual al opuesto de la suma de las fuerzas no cinéticas ( - N ) que actúan sobre el cuerpo puntual, por el segundo principio de la nueva dinámica, entonces queda:

Na Ns

a = ------ - ------

Ma Ms

Por lo tanto, la aceleración a de un cuerpo puntual A con respecto a un sistema de referencia S ligado a un cuerpo puntual S estará determinada por la ecuación anterior; donde Na es la suma de las fuerzas no cinéticas que actúan sobre el cuerpo puntual A, Ma es la masa del cuerpo puntual A (de ahora en más para abreviar, se dirá directamente masa en vez de masa cinética), Ns es la suma de las fuerzas no cinéticas que actúan sobre el cuerpo puntual S y Ms es la masa del cuerpo puntual S.

Circunstancia galileana

Digamos que un sistema de referencia S ligado a un cuerpo puntual S se halla en la circunstancia galileana si la suma de las fuerzas no cinéticas que actúan sobre el cuerpo puntual S es igual a cero.
Si el sistema de referencia S se halla en la circunstancia galileana, entonces se deduce, por el segundo principio de la nueva dinámica, que la suma de las fuerzas cinéticas Cs que actúan sobre el cuerpo puntual S es igual a cero; o sea:

Cs = Ms.(cm - s) = 0

Despejando cm y como la aceleración s del cuerpo puntual S con respecto al sistema de referencia S siempre es igual a cero, resulta:

cm = 0

Por lo tanto, la aceleración del centro de masa del universo con respecto a un sistema de referencia que se halla en la circunstancia galileana es igual a cero.

Sistema aislado

Digamos que un sistema de cuerpos puntuales es un sistema aislado, si la suma de las fuerzas no cinéticas externas que actúan sobre el sistema de cuerpos puntuales es igual a cero.
Por lo tanto, si un sistema de cuerpos puntuales es un sistema aislado entonces se deduce, por el segundo principio de la nueva dinámica, que la suma de las fuerzas no cinéticas internas Ni y de las fuerzas cinéticas internas y externas C es igual a cero; o sea:

Ni + C = 0

Reemplazando C por su expresión y como Ni es igual a cero, por el tercer principio de la nueva dinámica, se deduce:

Ma.(cm - a) + Mb.(cm - b) + ... + Mn.(cm - n) = 0

de donde despejando cm resulta:

Ma.a + Mb.b + ... + Mn.n

cm = ----------------------------

Ma + Mb + ... + Mn

Como el segundo miembro es la aceleración cms del centro de masa del sistema aislado, entonces se obtiene:

cms = cm

Por lo tanto, la aceleración del centro de masa de un sistema aislado es igual a la aceleración del centro de masa del universo.

Conservación restringida de la cantidad de movimiento

Por un lado, se tiene que la aceleración del centro de masa de un sistema aislado es igual a la aceleración del centro de masa del universo y, por otro lado, se tiene que la aceleración del centro de masa del universo con respecto a un sistema de referencia que se halla en la circunstancia galileana es igual a cero. Por lo tanto, la aceleración del centro de masa de un sistema aislado con respecto a un sistema de referencia que se halla en la circunstancia galileana es igual a cero; o sea:

Ma.a + Mb.b + ... + Mn.n

---------------------------- = 0

Ma + Mb + ... + Mn

Pasando el dividendo del primer miembro al segundo miembro e integrando luego respecto al tiempo, se deduce:

Ma.a + Mb.b + ... + Mn.n = cte.

Como el primer miembro es la cantidad de movimiento total del sistema aislado, entonces queda:

= cte.

Por lo tanto, para un sistema de referencia que se halla en la circunstancia galileana la cantidad de movimiento total de un sistema aislado se conserva.

Trabajo y energía viva

El trabajo total W realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual es:

W = a · d + b · d + ... + n · d

o o o

o sea:

W = (a + b + ... + n) · d

o

Como a + b + ... + n es igual a cero, por el segundo principio de la nueva dinámica, entonces resulta:

W = 0

Por lo tanto, el trabajo total realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual es igual a cero.
Ahora, el trabajo total W realizado por las fuerzas cinéticas de interacción Ca y Cb que actúan sobre un cuerpo puntual A y un cuerpo puntual B respectivamente es:

a b

W = Ca · da + Cb · db

ao bo

o bien:

a Ma.Mb b Mb.Ma

W = ----- . (b - a) · da + ----- . (a - b) · db

ao MT bo MT

de donde se deduce:

Si a la energía de la fuerza cinética la denominamos energía viva, entonces la expresión entre paréntesis representa la energía viva EVab del sistema cuerpo puntual A - cuerpo puntual B; por consiguiente reemplazando queda:

W = - EVab

Por lo tanto, el trabajo total realizado por las fuerzas cinéticas de interacción que actúan sobre un cuerpo puntual A y un cuerpo puntual B es igual al opuesto de la variación de la energía viva del sistema cuerpo puntual A - cuerpo puntual B; siendo la energía viva EVab de un sistema cuerpo puntual A - cuerpo puntual B igual a:

Ma.Mb

EVab = ----- . (a - b)²

2.MT

donde Ma es la masa del cuerpo puntual A, Mb es la masa del cuerpo puntual B, a es la velocidad del cuerpo puntual A, b es la velocidad del cuerpo puntual B y MT es la masa total del universo.
Ahora, el trabajo total W realizado por las fuerzas cinéticas que actúan sobre un sistema aislado es:

a n

W = Ca · da + ... + Cn · dn

ao no

o sea:

a n

W = Ma.(cm - a) · da + ... + Mn.(cm - n) · dn

ao no

de donde reemplazando cm por la aceleración del centro de masa del sistema aislado se deduce:

Como la expresión entre paréntesis representa la energía viva total EV del sistema aislado, entonces queda:

W = - EV

Por lo tanto, el trabajo total realizado por las fuerzas cinéticas que actúan sobre un sistema aislado es igual al opuesto de la variación de la energía viva total del sistema aislado; siendo la energía viva total EV de un sistema aislado igual a:

²

EV = EC - ----

2.MS

donde EC es la energía cinética total del sistema aislado, es la cantidad de movimiento total del sistema aislado y MS es la masa total del sistema aislado.

Conservación de la energía viva

Se tiene que el trabajo total realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo puntual es igual a cero; por lo tanto, el trabajo total W realizado por las fuerzas que actúan sobre un sistema aislado es igual a cero.

W = 0

Si al trabajo total W se lo clasifica: en el trabajo total Wfn realizado por las fuerzas no cinéticas y en el trabajo total Wfc realizado por las fuerzas cinéticas; entonces reemplazando queda:

Wfn + Wfc = 0

Como Wfc es igual al opuesto de la variación de la energía viva total - EV del sistema aislado, se tiene:

Wfn - EV = 0

Ahora si las fuerzas no cinéticas que actúan sobre el sistema aislado no realizan trabajo, entonces resulta:

- EV = 0

o sea:

EV = cte.

o bien:

EC - ---- = cte.

2.MS

Por lo tanto, si las fuerzas no cinéticas que actúan sobre un sistema aislado no realizan trabajo, entonces la energía viva total del sistema aislado se conserva.
Por otro lado, si la energía viva total de un sistema aislado se conserva, entonces para un sistema de referencia que se halla en la circunstancia galileana la energía cinética total del sistema aislado también se conserva, ya que para tal sistema de referencia la cantidad de movimento total del sistema aislado permanece constante.

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