Capacitancia

Industriales. Electricidad y Magnetismo. Capacitor. Magnitud de carga. Placas paralelas

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1.- ¿Qué es capacitancia?

Se define como la razón entre la magnitud de la carga de cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos.

La capacitancia siempre es una cantidad positiva y puesto que la diferencia de potencial aumenta a medida que la carga almacenada se incrementa, la proporción Q / V es constante para un capacitor dado. En consecuencia la capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica.

La capacitancia tiene la unidad del SI coulomb por volt. La unidad de capacitancia del SI es el farad (F), en honor a Michael Faraday.

CAPACITANCIA = 1F = 1 C

1 V

El farad es una unidad de capacitancia muy grande. En la práctica los dispositivos comunes tienen capacitancia que varían de microfarads a picofarads.

La capacitancia de un dispositivo depende entre otras cosas del arreglo geométrico de los conductores.

2.- ¿Qué es un capacitor?

Considere dos conductores que tienen una diferencia de potencial V entre ellos. Supongamos que tienen cargas iguales y opuestas, como en la figura. Una combinación de este tipo se denomina capacitor . La diferencia de potencial V es proporcional a la magnitud de la carga Q del capacitor.(Esta puede probarse por la Ley de coulomb o a través de experimentos.

-Qjg

Un capacitor se compone de dos conductores aislados eléctricamente uno del otro y de sus alrededores. Una vez que el capacitor se carga, los dos conductores tienen cargas iguales pero opuestas.

3.- ¿Cuáles son los tipos de capacitores?

Los capacitores comerciales suelen fabricarse utilizando láminas metálicas intercaladas con delgadas hojas de papel impregnado de parafina o Mylar, los cuales sirvan como material dieléctrico. Estas capas alternadas de hoja metálica y dieléctrico después se enrollan en un cilindro para formar un pequeño paquete. Los capacitores de alto voltaje por lo común constan de varias placas metálicas entrelazadas inmersas en aceite de silicón. Los capacitores pequeños en muchas ocasiones se construyen a partir de materiales cerámicos. Los capacitores variables (comúnmente de 10 a500 pF) suelen estar compuestos de dos conjuntos de placas metálicas entrelazadas, uno fijo y el otro móvil, con aire como el dieléctrico.

Un capacitor electrolítico se usa con frecuencia para almacenar grandes cantidades de carga a voltajes relativamente bajos. Este dispositivo, mostrado en la figura consta de una hoja metálica en contacto con un electrolito, es decir, una solución que conduce electricidad por virtud del movimiento de iones contenidos en la solución. Cuando se aplica un voltaje entre la hoja y el electrolito, una delgada capa de óxido metálico (un aislador) se forma en la hoja y esta capa sirve como el dieléctrico. Pueden obtenerse valores muy grandes de capacitancia debido a que la capa del dieléctrico es muy delgada y por ello la separación de placas es muy pequeña.

Cuando se utilizan capacitores electrolíticos en circuitos , la polaridad (los signos más y menos en el dispositivo) debe instalarse de manera apropiada. Si la polaridad del voltaje es aplicado es opuesta a la que se pretende, la capa de óxido se elimina y el capacitor conduce electricidad en lugar de almacenar carga.

Placas

Lamina electrolito caso

metálica

Contactos

Aceite Línea metálica

Papel +capa de óxido

  • Capacitor de placas paralelas

Dos placas paralelas de igual área A están separadas por una distancia d, como en la figura. Una placa tiene carga Q, la otra carga -Q. La carga por unidad de área sobre cualquier placa es = Q /A. Si las placas están muy cercanas una de la otra (en comparación con su longitud y ancho), podemos ignorar los efectos de borde y suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte.

El campo eléctrico entre las placas es:

E =  = Q donde o es:

o oA 8.85*10-12

Donde o es la permitividad del espacio libre. La diferencia de potencial entre las placas es igual a Ed; por lo tanto,

V =Ed = Qd

oA

Al sustituir este resultado en la ecuación de capacitancia, encontramos que la capacitancia es igual a,

C = Q = __Q_____

V Qd / oA

Es decir, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de estas.

+ Q

- Q

Area = A

d

Un capacitor de placas paralelas se compone de dos placas paralelas cada una de área A, separadas por una distancia d. Cuando se carga el capacitor, las cargas tienen cargas iguales de signo opuesto.

  • Capacitor cilíndrico

Un conductor cilíndrico de radio a y carga Q es coaxial con un cascaron cilíndrico más grande de radio b y carga -Q con una longitud l.

Suponiendo que l es grande comparada con a,b, podemos ignorar los efectos del borde. En este caso, el campo es perpendicular a los ejes de los cilindros y está confinado a la región entre ellos ;como se ve en la figura. Se debe calcular primero la diferencia de potencial entre los dos cilindros, la cual está dada por lo general por

b

Vb - Va = "a E * ds

Donde E es el campo eléctrico en la región a<r<b. Utilizando la ley de Gauss se demostró que el campo eléctrico de un cilindro de carga por unidad de longitud  es E = 2ke / r. El mismo resultado se aplica aquí debido a que el cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico dentro de él. Con este resultado y notando que E esta a lo largo de r en la figura encontramos que:

b b

Vb - Va = "a Er dr = -2ke "a dr / r =-2keln(b / a)

Al sustituir esto en la ecuación de capacitancia y utilizando el hecho de que  =Q /l obtenemos:

C = Q = ______Q_______ = ________l_____

V 2ke ln (b) 2ke ln (b)

l (a) (a)

Donde V es la magnitud de la diferencia de potencial, dada por 2ke ln (b/a), una cantidad positiva. Es decir V =Va -Vb es positiva debido a que el cilindro interior está a un potencial mayor. El resultado nos muestra que la capacitancia es proporcional a la longitud de los cilindros. La capacitancia en este caso depende de los radios de los cilindros conductores.

l

b)

a) Superficie gausiana

a)El capacitor cilíndrico se compone de un conductor cilíndrico de radio a y la longitud l rodeado por un cascaron cilíndrico coaxial de radio b.

b)Vista lateral de un capacitor cilíndrico. La línea punteada representa el final de la superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud l.

  • Capacitor esférico

Un capacitor esférico consta de un cascarón esférico de radio b y carga -Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q.

El campo fuera de una distribución de carga simétrica esfericamente es radial y está dado por ke Q / r2. En este caso, corresponde al campo entre las esferas (a<r<b). (El campo es cero en cualquier otro lado). De la ley de Gauss vemos que sólo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre las esferas está dada por

b b b

Vb - Va = - "a Er dr = keQ "a dr /r2 =keQ[1/r]a

Vb - Va = keQ(1 / b -1/ a)

La magnitud de la diferencia de potencial es:

V = Va -Vb = kQ (b - a)

ab

Sustituyendo esto en la ec. de capacitancia, obtenemos

- Q

Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un casacaron esférico de radio b. El campo eléctrico entre las esfera apunta radialmente hacia fuera si la esfera interior está cargada positivamente.

Combinaciones de capacitores

Es común que dos o más capacitores se combinen de varias maneras . La capacitancia equivalente de ciertas combinaciones puede calcularse utilizando métodos como son la combinación en paralelo o en serie. Los símbolos de circuitos para capacitores y baterías, junto con sus códigos de color, se muestran en la figura. La terminal positiva de la batería esta al potencial más alto y se representa por la línea vertical más larga en el símbolo de la batería.

Símbolo de Símbolo de Símbolo de

Capacitor batería interruptor

- +

se nota que los capacitores están en verde y las baterías y los interruptores en verde.

Combinación en paralelo

La diferencia de potencial que existe es a través de cada capacitor en el circuito paralelo es la misma e igual a l voltaje de la batería.

C1

Q1

C2

Q2

+ -

V

Combinación en serie

Para está combinación en serie de capacitores, la magnitud de la carga debe ser la misma en todas las placas.

V1 C1 V2 C2

+Q -Q +Q -Q

+ -

V

También existen capacitores con dieléctricos (que es un material no conductor como, el caucho, vidrio o papel). Cuando un material dieléctrico se inserta entre las placas de un capacitor aumenta la capacitancia. Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un factor adimensional K, conocido como la constante dieléctrica.

Dieléctrico

Co

+ - Qo

V

4.-Menciona dos ejemplos de calculo de capacitancia:

Problema 1

Un capacitor de placas paralelas tiene un área A = 2.00 * 10-4 m2 y una separación de placa d =1.00mm. encuentre su capacitancia.

C = oA

d

C = (8.85*10-12C2/N* m2) (2.00*10-4 m2 /1.00*10-3m)

C =1.77 * 10-12 F = 1.77 pF

Si la separación se incrementa a 3.00mm determine la capacitancia

C = (8.85*10-12C2/N* m2) (2.00*10-4 m2 /3.00*10-3m)

C =0.590 pF

Problema 2

Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2.0 cm * 3.0 cm y están separadas por un espesor de papel de 1.0 mm.

Determine la capacitancia de este dispositivo.(puesto que K =3.7 para el papel)

C =K oA

d

C =3.7 (8.85*10-12C2/N* m2) (6.0*10-4 m2 /1.0*10-3m)

C =20 * 10-12 F =20 pF

Electricidad y Magnetismo

- Q

+Q

C = oA

d

C =Q

V

C =________l_____

2ke ln (b)

(a)

b

a

r Q

b

a

C =Q = ab

V ke (b-a)

Ceq = C1 + C2

ó

Ceq = C1 + C2 + C3 + ...

1 = 1 + 1 + 1 + ....

Ceq C1 C2 C3

C =K oA

d

+Q