Campo magnético terrestre

Componente horizontal. Primera y segunda posiciones de Gauss. Imán. Momento magnético

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DETERMINACIÓN DE LA COMPONENTE HORIZONTAL

DEL CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE

OBJETIVO

En esta práctica vamos a tratar de calcular el campo magnético de la tierra, exactamente la componente horizontal de este.

MATERIAL

- Imán

- Cuerpo no magnético

- Hilo y soporte

- Aguja imán

FUNDAMENTO TEÓRICO

Si tenemos una superficie suficientemente pequeña (dS), recorrido por una corriente (I), esta está caracterizada por un vector llamado momento magnético:

Dm=IdS

Así se supone que un imán está constituido por pequeños circuitos de modo que al componer todos los momentos, obtenemos el momento magnético del imán (m). Si ahora sometemos un imán de momento, m, a un campo magnético uniforme, B, aparece un par de fuerzas de momento:

M=m×B

Que tiende a orientarlo de modo que m y B sean paralelos. Si ahora lo separamos un ángulo, , de su posición de equilibrio, este par tiende a devolverlo a esa posición, el módulo de este es

M=-mBsen

El signo indica que se opone al crecimiento del ángulo. Así el periodo de este movimiento de oscilación es:

Campo magnético terrestre

Siendo J el momento de inercia del imán. Si el campo magnético que le aplicamos es el terrestre se tiene que:

Campo magnético terrestre

Siendo Bt la componente tangencial del campo magnético terrestre.

Como ahora necesitamos otra relación entre m y Bt, para ello adelantamos que un pequeño imán crea en un punto lejano un campo magnético de componentes

Campo magnético terrestre
Campo magnético terrestre

Las posiciones =0º y =90º respecto del imán se conocen como posiciones de Gauss y en ellas se tiene que:

Campo magnético terrestre
Para =0º

Campo magnético terrestre
Para =90º

Pudiendo utilizar esto como la relacción que necesitamos.

Nota: Los momentos magnéticos de la brújula y del imán deben ser perpendiculares

MÉTODO EXPERIMENTAL

Primero pondremos nuestro imán sobre su soporte, que está colgado de un hilo, así lo desviaremos un ángulo pequeño y cronometraremos un cierto número de oscilaciones, para así poder hallar el periodo de oscilación.

Después como no conocemos el momento de inercia del imán, colocamos un cilindro no magnético de momento conocido, y calculamos el nuevo periodo de la forma:

Campo magnético terrestre

Así una vez que tenemos calculado el producto de m por Bt ,ponemos el imán en la tabla que tiene la aguja imanada de tal forma que quede en la 1ª posición de Gauss. Vamos midiendo la tg del ángulo desviado para distintas distancias, y repetimos lo mismo para la 2ª posición de Gauss.

Sabiendo que:

Campo magnético terrestre

En la primera posición de gauss

Campo magnético terrestre

En la segunda posición de Gauss, podemos calcular Bt y m.

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Primero ponemos el imán en el soporte y lo desviamos un pequeño ángulo, contando el número de oscilaciones y el tiempo transcurrido, así tenemos la siguiente tabla:

Con estos datos podemos calcular el periodo de oscilación del imán:

T1=1.57ðððððs

Después realizamos lo mismo pero con un cilindro incorporado al imán, obtenemos:

También ahora calculamos el periodo de oscilación de conjunto imán + cuerpo:

T2=2.02ð0.01s

Ahora que ya tenemos los valores de los periodos podemos ponerlos en las ecuación anteriores obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones:

Campo magnético terrestre

El cilindro tiene las dimensiones:

Diametro=0.67cm m=4.9 gr longitud=2.11cm

Con lo que el valor para su momento de inercia es:

J0=2.01*10 -7 Kg*m2

Por lo que sustituyendo los valores en la ecuación obtenemos los resultados:

J=(3ð0.2)*10-7 Kg*m2 mBt=(4.9ð0.6)*10-6 T*m2*A

Luego colocamos el imán en una superficie en la que tenemos un recipiente en cuyo interior tenemos una aguja imantada. Colocamos nuestro imán con su momento magnético perpendicular con el de la aguja, y para la 1ª posición de Gauss tenemos:

R cm

23.4

21.4

19.4

17.4

15.4

13.4

11.4

9.4

7.4

6.4

 º

3

6

9

15

27

40

51

65

74

79

Ahora sabemos que el producto de r3tg es una constante, por lo que lo calculamos para todos estos datos y hacemos después una media para obtener un valor con su error:

r3tg=(1.4ð0.4)*10-3 m3 º

Si ya tenemos el valor de esto podemos calcular el valor correspondiente para el cociente entre m y Bt :

Campo magnético terrestre
A*m2/T

Una vez hecho esto hacemos lo mismo pero para la 2º posición de Gauss.

Esta vez tenemos:

R cm

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

 º

0

0

5

7

14

20

30

50

63

78

Como antes hallamos el valor de r3tg, que vuelve a ser constante, y con ese valor podemos hallar de nuevo el cociente con la ecuación apropiada, obteniendo:

r3tg=(1.7ð0.8)*10-3 m3 º Campo magnético terrestre
A.m2/T

Si ahora realizamos una media de ambos valores y ajustamos las cifras significativas, obtenemos:

Campo magnético terrestre
4000Am2/T

Por lo que si tenemos un valor para el producto y otro para el cociente, podemos hallar el valor para cada uno.

m=0.24ððððð A*m2 Bt=(2ðððð)*10-5 Teslas

CONCLUSIÓN

En esta práctica hemos estudiado el componente tangencial del campo terrestre, para ello nos hemos basado en dos relaciones, primero en la fuerza que hace que un imán tienda a su posición de equilibrio, por lo que poniendo uno en un péndulo y desviándolo un cierto ángulo hemos podido hallar una relación entre el momento magnético del imán y la componente tangencial del campo en el que se mueve, que en este caso es el terrestre.

Después hemos calculado otra relación gracias a las posiciones de gauss, que nos relacionan la desviación de la aguja conforme vamos acercado el imán a esta, una vez tenemos las dos relaciones podemos hacer un sistema de ecuaciones y hallar cada una por su parte. Con esto hemos obtenido unos valores que a priori son del orden de magnitud de los esperados porque el campo magnético de la tierra es del orden de 0.1 gauss, y un gauss es 10-4 Teslas. El valor teórico de Bt=2.2*10-5T, que como vemos esta dentro del rango de error de nuestro valor.

El cálculo de errores que hemos realizado mediante derivadas parciales en todas las medidas indirectas, y para las medidas directas hemos tomado como error la propia exactitud del aparato, la cual se ve reflejada en las medidas.

En resumen con los datos que hemos obtenido hemos llegado a unos valores próximos a los esperados con unos errores

1ª posición de Gauss

Campo magnético terrestre

2ª posición de Gauss

Campo magnético terrestre

Oscilaciones

30

30

30

30

30

30

Tiempo(s)

47.38

47.25

46.75

46.87

48.24

46.53

Oscilaciones

30

30

30

30

30

30

Tiempo(s)

59.57

1.01.00

1.02.09

1.00.82

59.60

1.02.10

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