Campo Eléctrico

Concepto. Líneas de Campo Eléctrico. Trazado. Movimiento de Partículas. Ley de Gauss

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UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO

ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO MENCION INDUSTRIAL

CAMPO ELECTRICO

CIUDAD BOLIVAR, ABRIL DE 2007

INDICE

Pág.

INTRODUCCION………………………………………………………………………..3

MARCO TEORICO:

Campo Eléctrico…………………………………………………………………………4

Líneas de Campo Eléctrico…………………………………………………………….5

Reglas de Trazado de las Líneas de Campo Eléctrico……………………………..5

Relación entre Campo Eléctrico y Líneas de Campo………………………………6

Movimiento de Partículas dentro de un Campo……………………………………...7

Flujo Eléctrico . Definición……………………………………………………………..11

Ley de Gauss. Aplicaciones de la Ley………………………………………………..12

Enunciado de un Problema Propuesto donde se utilice

el Campo Eléctrico y/o Ley de Gauss……………………………………………....25

CONCLUSIONES……………………………………………………………………….26

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………..27

INTRODUCCION

Una distribución de cargas positivas o negativas da lugar al campo eléctrico. Se llama campo eléctrico a todo el espacio alrededor de un cuerpo, dentro del cual su acción es apreciable. El campo eléctrico presente en cualquier punto determinado se puede descubrir colocando una carga de prueba pequeña y positiva denominada (qo.)

El campo eléctrico debido a una distribución de carga y la fuerza que experimentan partículas cargadas en ese campo, se pueden visualizar en términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en el espacio, en contraste al campo mismo, que está representado por un vector distinto en cada punto del espacio.

Para calcular el campo en un punto del espacio se usa por definición la siguiente expresión:

Pero hay casos que el campo se puede calcular mediante la ley de gauss; que permite hacerlo fácilmente para distribuciones simétricas de carga tales como cortezas esféricas e hilos infinitos. Para calcular el campo mediante esta ley, en primer lugar tenemos que determinar una superficie gaussiana que es imaginaria y cerrada, de manera que el campo sea constante y que sea paralelo o perpendicular al vector superficie; y también hay que considerar que si el campo es perpendicular al vector superficie, ese producto escalar será cero y si es paralelo, el producto escalar será igual al producto de los módulos ya que el coseno de 90º es igual a cero. El cálculo del campo eléctrico mediante la ley de gauss esta relacionado con las líneas de campo eléctrico. Estas salen de las cargas positivas y entran en las cargas negativas.

MARCO TEORICO

CAMPO ELÉCTRICO

Una distribución de cargas, positivas o negativas, da lugar a un campo eléctrico , que actúa sobre cualquier carga colocada en él. El campo eléctrico presente en cualquier punto determinado se puede descubrir colocando una carga de prueba pequeña y positiva llamada ”qo”, en ese lugar, y viendo si experimenta una fuerza.

Una carga de prueba sólo es un sensor : no produce el campo eléctrico que estamos tratando de medir, el campo se debe a otras cargas. La carga de prueba debe estar en reposo , ya que las cargas en movimiento experimentan fuerzas diferentes. El campo eléctrico, E, se puede definir midiendo la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica, F, que actúa sobre la carga de prueba. La definición del campo eléctrico es:

Un campo eléctrico queda determinado por:

  • Intensidad en cada uno de sus puntos.

  • Líneas de fuerza o líneas de campo.

  • Potencial en cada uno de sus puntos

LÍNEAS DE CAMPO ELECTRICO

  • Son líneas cuya tangente en un punto coincide con la dirección del campo en ese punto.

  • A mayor concentración de líneas, mayor módulo. En el ejemplo de la moneda, el campo es mayor en las cercanías de esta y disminuye a medida que nos alejamos de ella.

  • Uniendo los puntos en que el campo eléctrico es igual formamos superficies equipotenciales .

Representación geométrica

Líneas de campo eléctrico correspondientes a una moneda con carga eléctrica positiva.

El campo eléctrico estático se lo representa como un campo vectorial, o como líneas de campo. Las líneas de campo son una ayuda para visualizar el campo y se trazan en un papel en dos dimensiones. Sin embargo suponemos que existen estas líneas en el espacio tridimensional.

REGLAS DE TRAZADO DE LAS LINEAS DE CAMPO ELECTRICO

Las líneas de campo eléctrico son trazos uniformes y direccionales en el espacio, determinadas por el campo eléctrico, de acuerdo con dos reglas sencillas:

1.- Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico, E, en ese punto. Esta regla relaciona la dirección de las líneas del campo eléctrico, con la dirección de éste.

2.- La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.

RELACION ENTRE CAMPO ELECTRICO Y LINEAS DE CAMPO

El campo eléctrico debido a una distribución de carga y la fuerza que experimentan las partículas cargadas en ese campo, se pueden visualizar en términos de las líneas de campo eléctrico.

El campo eléctrico no cambia en forma abrupta su dirección al pasar por una región del espacio libre de cargas. Así, en una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que está orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo.

La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo y

2

éste decrece en función de 1/r . Por lo tanto, la relación entre la intensidad del campo y la densidad de las líneas de campo eléctrico es automática si éstas ni se crean ni se destruyen en regiones en las que no haya cargas. La densidad de las líneas, que determina la magnitud del campo eléctrico, es una densidad por unidades de área.

Nunca se cruzan dos líneas de campo, porque el campo eléctrico tiene magnitud y dirección definidas en cualquier punto en el espacio. Si se cruzaran dos o más líneas de campo en algún punto, entonces la dirección del campo eléctrico en ese punto sería ambigua.

MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS EN CAMPOS ELÉCTRICOS Y CAMPOS MAGNÉTICOS

Considerando que se proporcionan E y B, estudiamos la trayectoria de las partículas bajo la influencia de la fuerza de Lorentz:

2.1 Solamente el campo eléctrico

La órbita depende únicamente del radio q/m. E uniforme aceleración uniforme. En z unidimensional, Ez es trivial. En múltiples dimensiones directamente análogas a las partículas en movimiento bajo la influencia de la gravedad, g↔gmE. Las órbitas son parábolas:

Figura 2.1. En un campo eléctrico uniforme, las órbitas son parabólicas, análogas a la gravedad.

La energía se conserva teniendo en cuenta la energía potencial:

[Realice una prueba si es necesario, sin tener en cuenta la variación espacial E:


Una partícula obtiene energía cinética q cuando está cayendo a través de una bajada potencial o.

Figura 2.2. Esquema de la aceleración y el análisis electrostáticos.

Suponiendo que Ea, que es el campo del analizador, es puramente, esta velocidad es, por consiguiente, constante. Dentro del analizador: ˆz

Por lo que:

Por consiguiente, la altura en la salida del analizador es:

utilizando Ea = aod−/. Observe que esto es independiente de q y m. Podríamos observar esto directamente si eliminásemos el tiempo de nuestras ecuaciones fundamentales indicando si existe energía inicial εs:

Por tanto, la ecuación de movimiento es:

La cual es independiente de q y m. La trayectoria de la partícula en el campo puramente electrostático depende únicamente del campo (y de la energía cinética inicial de la partícula/q). Si la energía inicial es cero, no se puede deducir nada sobre q y m.


utilizando Ea = aod−/. Observe que esto es independiente de q y m. Podríamos observar esto directamente si eliminásemos el tiempo de nuestras ecuaciones fundamentales indicando si existe energía inicial εs:

La trayectoria de la partícula en el campo puramente electrostático depende únicamente del campo (y de la energía cinética inicial de la partícula/q). Si la energía inicial es cero, no se puede deducir nada sobre q y m.

FLUJO ELECTRICO. DEFINICION

El flujo eléctrico se define como el número de líneas de campo que atraviesan una superficie.
La expresión matemática que lo define es la siguiente:

Donde “e” es el módulo del campo y “s” es el vector superficie que tiene como módulo el área del objeto en consideración. Las unidades del flujo son “n m2/c”.

'Campo Elctrico'
En esta imagen, vemos que las líneas de campo son perpendiculares a la superficie y la expresión del flujo es la siguiente:

'Campo Elctrico'

En esta figura podemos ver que las líneas de campo forman un Angulo con el vector superficie por lo tanto la expresión del flujo es la siguiente:

Podemos considerar que las líneas de campo que atraviesan la superficie 1 es el mismo que atraviesan la superficie 2; y se cumple la siguiente relación:

LEY DE GAUSS. APLICACIONES DE LA LEY

Para calcular el campo en un punto del espacio se usa por definición la siguiente expresión:

Pero hay casos que el campo se puede calcular mediante la ley de gauss; que permite hacerlo fácilmente para distribuciones simétricas de carga tales como cortezas esféricas e hilos infinitos.

El cálculo del campo eléctrico mediante la ley de gauss esta relacionado con las líneas de campo eléctrico. Estas salen de las cargas positivas y entran en las cargas negativas.

'Campo Elctrico'

En esta figura tenemos representado un dipolo eléctrico encerrado por una superficie. Como podemos ver el número de líneas que abandonan la superficie es igual al número de líneas que entran.

'Campo Elctrico'

En esta figura tenemos representado una superficie que incluye a las cargas “2q y - q” . El número de líneas de campo que terminan en - q; o bien salen de la superficie y vuelven a entrar o no pasan a través de la superficie. Podemos por lo tanto definir un enunciado cualitativo de la ley de gauss como:

el numero neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie.”

ENUNCIADO CUANTITATIVO DE LA LEY DE GAUSS

Si consideramos una superficie esférica de radio r y centro en la carga +q el campo en un punto cualquiera es: e=k q/ r2.

'Campo Elctrico'

En consecuencia el flujo a través de esta superficie esférica es:

si la superficie es igual a ;se obtiene que

Podemos enunciar que :” el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a veces la carga neta encerrada por la superficie y es

independiente del radio.”

Es costumbre escribir la cte. de coulomb en función de la cte. de permitividad del vacío:

Con esta notación la ley de gauss queda:

SIMPLIFICANDO:

Podemos por lo tanto igualar las expresiones y nos queda la expresión de la ley de gauss:

Cálculo Del Campo Eléctrico Mediante La Ley De Gauss

Para calcular el campo mediante esta ley, en primer lugar tenemos que determinar una superficie gaussiana que es imaginaria y cerrada, de manera que el campo sea constante y que sea paralelo o perpendicular al vector superficie. Hay que considerar que si el campo es perpendicular al vector superficie, ese producto escalar será cero y si es paralelo, el producto escalar será igual al producto de los módulos ya que el coseno de 90º es igual a cero.

Cálculo Del Campo Eléctrico Creado Por Un Plano Infinito Cargado

'Campo Elctrico'

La figura muestra un plano infinito de carga con densidad superficial uniforme Por simetría el campo eléctrico es perpendicular al plano y teniendo el mismo módulo pero sentido opuesto. Como superficie gaussiana se escoge un cilindro en cada parte se han dibujado los vectores del campo (E) y de superficie (S).

El flujo en la parte curvada es cero a causa de que los vectores son perpendiculares; mientras que en las superficies laterales del plano el flujo es:

El valor del flujo si tomamos en consideración un elemento infinitesimal de superficie dS según la definición es:

Ahora si aplicamos la ley de gauss considerando lo siguiente;

Y luego igualamos las 2 expresiones y simplificamos queda:

Cálculo Del Campo Eléctrico Creado Por Una Corteza cilíndrica

'Campo Elctrico'

La figura muestra un cilindro de longitud L cargado con densidad superficial uniforme. Como se trata de un cilindro el campo eléctrico E tiene dirección radial. La superficie gaussiana que se escoge es otro cilindro más grande y en cada parte se han dibujado los vectores del campo (E) y de superficie (S). El flujo es nulo en las superficies laterales del cilindro a causa de que el vector superficie y el campo son perpendiculares.

Si consideramos un elemento infinitesimal de superficie el flujo sería igual a:

Siendo la superficie del cilindro.

Ahora si aplicamos la ley de gauss considerando lo siguiente;

SIENDO

Si sustituimos, igualamos y luego simplificamos queda la expresión del campo:

A partir de la ley de Gauss podemos demostrar que en el equilibrio electroestático:

  • Cualquier carga eléctrica neta sobre un conductor reside en la superficie del mismo.

  • El campo eléctrico en el exterior y junto a la superficie de un conductor es perpendicular a la misma y tiene por valor:

σ es la densidad de carga superficial local en dicho punto del conductor.

o vectorialmente hablando:

Teorema de Coulomb: “n” es el vector unitario en la dirección de la normal al conductor en el punto considerado.

Primera experiencia:

        • Consideremos primeramente una superficie gaussiana que esté justo en el interior de la superficie real de un conductor en equilibro electroestático.

'Campo Elctrico'

        • El campo eléctrico es igual a cero en todos los puntos dentro del conductor, por tanto, será también cero en todos los puntos de la superficie gaussiana que hemos seleccionado como ejemplo.

  • Puesto que en todos los puntos de la superficie gaussiana, el flujo neto integral a través de la superficie debe ser nulo. Según la ley de Gauss este flujo es igual a veces la carga neta en el interior de la superficie.

'Campo Elctrico'

  • Debido a ello no puede existir ninguna carga neta dentro de ninguna superficie que esté completamente en el interior del conductor, solamente, si existiera, solo sería posible en la superficie del mismo.

Segunda experiencia:

  • Ahora calcularemos el campo eléctrico justo en la parte exterior de la superficie de un conductor, considerando una porción de superficie del mismo, tan pequeña que se pueda considerar plana. De la misma manera llamaremos a su densidad σ, con una variación despreciable en la parte seleccionada. La forma que le daremos será la de cilindro con una cara situada justamente en el exterior, paralela a su superficie, y la otra justo en el interior del conductor.

'Campo Elctrico'

  • En la superficie del conductor en equilibrio, el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie: si existiese una componente tangencial de E, la carga libre sobre el conductor debe moverse hasta que la componente se considere nula.

  • En la superficie del conductor en equilibrio, el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie: si existiese una componente tangencial de E, la carga libre sobre el conductor debe moverse hasta que la componente se considere nula.

  • Dado que una de las caras de la caja esta justamente en el exterior del conductor, podemos tomar E de modo que sea perpendicular a dicha cara. La otra cara de la caja está en el interior del conductor en donde E = 0.

  • A través de la superficie cilíndrica de la caja no existe ningún flujo dado que E es tangente a esta superficie.

  • Debido a lo anterior obtenemos que el flujo que sale de la caja es:

  • El campo justo en el exterior del conductor. A es el área de la cara de la caja.

  • La carga neta en el interior de la superficie gaussiana es σA. La ley de Gauss nos da:

o lo que es lo mismo:

Cálculo en una hoja infinita cargada:

'Campo Elctrico'

  • En este caso podemos ver que las líneas de flujo son perpendiculares a la hoja y su sentido es alejarse de ella por ambos lados. Creamos una superficie gaussiana en forma de caja con una cara situada a la derecha de la hoja y otra a la izquierda de la misma, el flujo neto a través de esta superficie es , Siendo A el área de cada cara.

  • Haciendo que este flujo neto sea igual a veces la carga neta del interior de la caja σA, obtenemos la siguiente ecuación para el campo eléctrico en una hoja infinita:

Cálculo en un bloque conductor:

  • La siguiente figura muestra una lámina o bloque conductor grande:

'Campo Elctrico'

  • Si situamos una carga neta sobre el conductor, esta se distribuirá por igual en ambas caras. Una lámina conductora es equivalente a dos hojas conductoras, o sea, el campo eléctrico debido a cada una de estas hojas es:

    • Entre las hojas el campo neto vale cero, puesto que los campos tienen sentidos opuestos y se contrarrestan. A cualquier lado de ambas hojas los dos campos se suman, dando un valor de para el campo eléctrico neto.

  • Las líneas de flujo que salen del bloque conductor son el doble de densas que las correspondientes a una simple hoja cargada si las densidades de carga son iguales

* Nota: Para producir densidades de carga iguales en un bloque conductor grande y en una hoja plana grande, se necesita el doble de carga en el bloque.

Cálculo para un conductor de forma arbitraria:

'Campo Elctrico'

  • Consideremos el punto P justo en el exterior de la superficie de un conductor. Podemos considerar la carga situada en la superficie de un conductor como compuestas por dos partes, una seria la carga en la vecindad inmediata del punto P y la otra todo el resto de la carga.

Puesto que el punto P está muy cercano a la superficie, la carga de la vecindad inmediata se asemeja a la de un plano infinito. Produce un campo de magnitud en P, y un campo de igual valor justo en el interior de la

superficie conductora y señalando en el sentido que le aleja de la superficie. El resto de la carga sobre el conductor (o en los puntos donde se encuentre la carga) debe producir un campo dentro del conductor señalando hacia la superficie de modo que el campo neto en el interior del conductor sea cero.

  • Mientras que el campo debido a esta segunda parte de la carga se equilibra con el campo en el interior del conductor, se suma al producido en el exterior del conductor por la carga vecina, dando lugar al siguiente campo neto en el exterior del conductor:

ENUNCIADO DE UN PROBLEMA PROPUESTO DONDE SE UTILICE EL CAMPO ELÉCTRICO Y/O LEY DE GAUSS

Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme p y una carga positiva total Q. a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera.

Solución: Puesto que la distribución de carga es simétrica esféricamente, seleccionamos también en este caso una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica con la esfera. Siguiendo la línea de razonamiento dada encontramos que:

Para r> a

Por lo tanto concluimos que, para una esfera cargada uniformemente, el campo en la región externa es equivalente al de una carga puntual localizada en el centro de la esfera.

Esfera Gaussiana

CONCLUSIONES

El campo eléctrico no cambia en forma abrupta su dirección al pasar por una región del espacio libre de cargas. Así, en una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que está orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo.

La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo y

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éste decrece en función de 1/r . por lo tanto, la relación entre la intensidad del campo y la densidad de las líneas de campo eléctrico es automática si éstas ni se crean ni se destruyen en regiones en las que no haya cargas. La densidad de las líneas, que determina la magnitud del campo eléctrico, es una densidad por unidades de área.

El campo eléctrico tiene magnitud y dirección definidas en cualquier punto en el espacio.

BIBLIOGRAFIA

FISHBANE-GASIOROWICZ-THORNTON. Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen II. México. 1993.

SERWAY, Raymond A. Física . Tomo II. México. 1999

Internet:

http://html.rincondelvago.com/campo-electrico_2.html

http://html.rincondelvago.com/campo-electrico_3.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico#L.C3.ADneas_de_campo

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'Campo Elctrico'

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E = F

qo

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'Campo Elctrico'

E= Ke Q

r 2

a

r