Cálculo vectorial

Física. Mecánica. Vectores. Cinemática. Aceleración. Movimiento

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CÁLCULO VECTORIAL

MAGNITUD: Es todo aquello que se puede medir. Medir una magnitud es compararla con otra de su misma naturaleza llamada unidad para averiguar cuántas veces las contiene.

TIPOS DE MAGNITUDES:

Una primera clasificación es:

  • Magnitudes fundamentales: son aquellas que se definen independientemente de las demás. En el S.I. son la longitud, la masa y el tiempo y las unidades en que se miden son metros, kilos y segundos.

  • Magnitudes derivadas: son aquellas que se definen en función de las fundamentales, x ejemplo, superficie, volumen, densidad, potencia, trabajo, energía... Se llama ecuación de dimensiones a la expresión que relaciona una magnitud derivada con sus correspondientes fundamentales:

Superficie:

Densidad:

Velocidad:

Fuerza:

Trabajo:

Energía cinética:

Energía potencial:

Otra clasificación de magnitudes es:

  • Magnitudes escalares: so n aquellas que quedan perfectamente determinadas por un número seguido del símbolo de la unidad que se ha utilizado para medirlas, x ejemplo, la temperatura, trabajo, volumen, densidad...

  • Magnitudes vectoriales: son aquellas que además de lo anterior es necesario especificar una dirección y sentido. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, x ejemplo: velocidad, aceleración... Se representan mediante vectores.

VECTOR: Segmento orientado. Todo vector consta de cuatro elementos:

  • Módulo: Es la longitud que tiene el vector

  • Dirección: Es la recta que contiene el vector.

  • Sentido: Viene indicado por la punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos.

  • Origen del vector (punto de aplicación). Es donde se aplica la fuerza del vector.

  • COMPONENTES DE UN VECTOR: Son las proyecciones de dicho vector sobre los ejes de coordenadas.

    El módulo del vector V no coincide con la suma de los módulos de sus componentes, el módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes, x el teorema de Pitágoras.

    Se suele llamar ð ángulo que forma un vector con el eje x, ð al ángulo que forma el vector con el eje y, y, γ al ángulo que forma el vector con el eje z.

    Se llaman cosenos directores de un vector a los cosenos de los ángulos que forman el vector con los ejes de coordenadas.

    Se demuestra fácilmente que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector, valen siempre la unidad.

    En el espacio sería:

    VECTORES UNITARIOS: Son aquellos cuyo módulo vale la unidad. Hay infinitos vectores unitarios, ya que hay infinitas direcciones, pero en física se trabaja habitualmente con los vectores unitarios que están dirigidos sobre los ejes a los que se denominan i j k

    Esto nos sirve para poner un vector en función de sus componentes y de los vectores unitarios, lo cual es la forma habitual de trabajar con vectores.

    Pero cualquier vector que nos den es igual a su módulo multiplicado por un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que el vector dado.

    Teniendo en cuenta esto:

    @Como dibujar vectores, si te dan las componentes (ver cuaderno)

    SUMA DE VECTORES:

  • Gráficamente: El vector suma es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados los vectores dados. Si son varios vectores, primero se suman dos de ellos y el vector resultante se suma con el tercero y así sucesivamente.

  • Si los vectores no son concurrentes, se dibujan vectores equivalentes a los dados, pero que tengan su origen en cualquier punto. También, se puede dibujar uno a continuación del otro, siendo el vector R, aquel que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del último.

    2.- Matemáticamente. Si se conoce el módulo de los vectores dados y el ángulo que forman, el módulo del vector suma, se calcula por la siguiente fórmula:

    @Un vector a tiene de módulo 5, otro vector b, tiene de módulo 8 y forman 60º.

    3.-Vectorialmente. Si conocemos las componentes de los vectores dados, el vector suma tendrá por componentes la suma de los componentes de los vectores dados.

    RESTA DE VECTORES

    Para restar dos vectores, se le suma al minuendo el opuesto del sustrayendo.

    Otra forma de hacerlo gráficamente consiste en cerrar el triángulo que forman los vectores dados. El vector resta tiene su origen en el extremo del sustrayendo y su extremo en el extremo del minuendo.

    PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.

    El resultado en un vector que tiene la misma dirección que el vector dado, el mismo sentido si el número es positivo o sentido contrario si el número es negativo, cuyo módulo es tantas veces mayor como nos indica el número.

    PRODUCTO DE VECTORES

    Hay dos formas de multiplicar vectores:

    1.- Producto escalar de vectores, el resultado es un número que se obtiene multiplicando l módulo de los vectores dados por el coseno del ángulo que forma. Se simboliza por un punto situado entre ambos vectores. Tiene la propiedad conmutativa.

    Partiendo de esta definición, se obtiene otra fórmula muy útil en función de las componentes de cada vector.

    Hay varias magnitudes en física que son producto escalar de varias magnitudes. Por eso es importantes, conocer la magnitud escalar. También se utiliza para hallar el ángulo que forman dos vectores.

    @Calcula el ángulo que forman los vectores.

    2.- Producto vectorial de dos vectores: el resultado es un vector cuyo módulo s obtiene multiplicando el módulo de los vectores dado por el seno del ángulo que forman. Su dirección es perpendicular al plano que forman los vectores dados y cuyo sentido se deduce por la llamada regla del sacacorchos del tornillo o de Maxwell que consiste en hacer girar el primer vector sobre el segundo por e camino + corto.

    Se representa mediante un aspa situado entre los dos vectores.

    *No tiene la propiedad conmutativa, ya que al cambiar el orden de los vectores, cambia el sentido del vector producto.

    Se cumple que axb =-bxa

    Partiendo de la definición se deduce una segunda fórmula en función de las componentes de cada vector. Esta fórmula consiste en el desarrollo de un determinante cuya primera fila son los vectores unitarios, cuya segunda fila son las componentes el primer vector y cuya tercera fila son las componentes del segundo vector.

    DETERMINANTE: Conjunto de filas y columnas entre dos barras.

    Aplicaciones: Hay varias magnitudes en física que son producto de otras magnitudes. También se cumple que el área del paralelogramo que forman dos vectores coincide con el módulo del producto vectorial.

    @Calcula el área que forman dos vectores.

    axb=p

    a=3i-j+2k

    b=i+2j-4k

    @Comprueba que el vector producto vectorial es perpendicular al vector a.

    Para comprobarlo basta calcular su producto escalar. Si forman 90º su producto escalar nos tiene que salir 0, ya que cos90º=0

    @Dado el vector v=3i-4j calcula un vector unitario de dicho vector, sus cosenos directores y comprueba la relación que hay entre ellos.

    Para hallar un vector unitario de a se divide a entre su módulo.

    Todos los vectores con los que hemos trabajado hasta el momento, tenían su origen en el origen de coordenadas pero no tiene por qué ser siempre así. Si nos dan las coordenadas del origen y del extremo, las componentes del vector se hallan restando extremo - origen.

    MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO (M)

    Es el producto vectorial del vector de posición por el vector dado. Es, por tanto, una magnitud vectorial.

    Por vector de posición se extiende un vector que empieza en el punto considerado y que termina en el origen del vector.

    @Un vector a tiene su origen en el punto A (3, 1, 0) y su extremo en el punto B(2, 5, -3)

    Calcula el momento de dicho vector respecto al origen de coordenadas y respecto al punto P(3,-2,0)

    @Sea el vector a=3i+5j y vector b=5i+xj+2k. Calcula x para que los vectores sean perpendiculares.

    @Dos vectores de módulos 4 y 7 forman 30º, calcula el módulo del vector suma y el módulo del producto vectorial de ambos.

    CÁLCULO DE DERIVADAS

    y= f(x) x= variable independiente y= variable dependiente o función.

    1.-Derivada de una constante. Su derivada es 0.

    y= 5 función constante.

    derivada: y= dy/dx (Se lee derivada de la función y respecto a la variable x)

    2.-Derivada de la variable independiente. Vale la unidad

    y=x

    y=dx/dy=1

    3.-Derivada de una potencia. El resultado es el exponente multiplicado por la base elevada al exponente menos una unidad.

    y=x3 y=x7

    dy/dx=3x2 dy/dx=7x6

    4.-Derivada de un producto de un número por una función. El resultado es el producto del número por la derivada de la función.

    y=5x6

    dy/dx=5.6x5=30x5

    5.-Derivada de un vector respecto de un escalar.

    El resultado es un vector cuyas componentes se averiguan derivando las componentes del vector dado respecto de dicho escalar. En física la mayor parte de magnitudes dependen del tiempo. y= f(t)

    @Calcula la derivada de un vector conociendo sus componentes.

    @Calcula un vector de módulo 3 que sea perpendicular a los vectores a y b.

    MECÁNICA:

    1.-Cinemática: estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta la causa que los produce.

    2.-Dinámica: estudia las fuerzas como agentes productoras del movimiento en los cuerpos.

    3.-Estática: estudia las fuerzas como productoras de equilibrio en los cuerpos.

    CINEMÁTICA

    Se dice que un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia le elegido arbitrariamente que consideramos fijo. Como no hay ningún sistema de referencia en reposo absoluto se dice que el movimiento es relativo. Se suele escoger como sistema fijo las estrellas lejanas del universo. Hay dos sistemas de referencia.

    1.- Sistema de referencia inercial. Es aquel que se encuentra en reposo o bien se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (no tiene ningún tipo de aceleración). En este sistema son válidas las leyes de Newton. La Tierra, se puede considerar aproximadamente como un sistema de referencia inicial (ya que aunque tiene aceleración normal, esta es muy pequeña).

    2.-Sistemas de referencia no inerciales. Son aquellos que tienen aceleración. Para poder seguir aplicando las leyes de Newton a dichos sistemas, hay que utilizar las llamadas fuerzas de inercia o fuerzas virtuales, que sólo se manifiestan, en este tipo de sistemas con aceleración.

    Posición, trayectoria y desplazamiento.

    Posición: Es el lugar que ocupa un móvil en un instante determinado. La posición viene determinada cuando se conoce el llamado vector de posición, que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo donde está el móvil.

    r=f(t) xq el vector de posición cambia según pasa el tiempo. Tiene 3 componentes:

    Trayectoria: (ðs) Es el conjunto de las sucesivas posiciones por donde va pasando el móvil en su movimiento. Puede ser rectilínea, circular, elíptica, irregular.

    Desplazamiento: (ðr) Es un vector que nos indica cómo varía la posición con el tiempo. Se dibuja uniendo la posición inicial considerada con la final.

    ðs = ðr Desplazamiento y trayectoria, normalmente no coinciden solamente lo hacen en dos casos:

    1.-Cuando la trayectoria es rectilínea y el móvil se mueve siempre en el mismo sentido.

    2.-En el límite, cuando el tiempo se hace infinitamente pequeño, la trayetoria y el módulo del desplazamiento tienden a coincidir.

    ds=dr

    (diferencial de s(ds) quiere decir una trayectoria infinitesimal)

    (diferencial de r(dr) es un desplazamiento infinitamente pequeño.

    Velocidad

    1.-Velocidad media (Vm). Es el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo empleado. Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento. En el S.I. se mide en m/s.

    Vm=ðr/ðs

    2.-Velocidad instantánea: A medida que el tiempo se hace más pequeño, el vector desplazamiento también lo será y el punto B se aproxima cada vez más al punto A. Se define Velocidad instantánea como el límite al que tiende la velocidad media cuando el tiempo se hace infinitamente pequeño.

    La velocidad instantánea es, por tanto, la derivada del vector de posición respecto al tiempo.

    El módulo de la velocidad instantánea será:

    Su dirección es siempre tangente a la trayectoria y su sentido coincide con el del avance del móvil.

    El vector velocidad se puede poner de dos formas:

    @Mirar todos los ejercicios del cuaderno que traten de la velocidad.

    ACELERACIÓN

    Es la magnitud que nos indica cómo varía la velocidad respecto al tiempo. Si la velocidad no cambia, no habrá aceleración.

    1.-Aceleración Media: es el cociente entre la variación de la velocidad y el tiempo empleado en producirse dicha variación.

    Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la variación de velocidad.

    2.-Aceleración instantánea: Es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo.

    Su módulo será:

    @Mirar ejercicios que se refieren a la aceleración del cuaderno.

    Componentes intrínsecas de la aceleración: Son aquellas componentes que no se refieren a un sistema de referencia, a unos ejes de coordenadas, sino q dependen exclusivamente de la posición q tiene el móvil en un instante determinado.

    El vector velocidad puede cambiar tanto en módulo como en dirección. Estos dos posibles cambios se traducen en la existencia de las llamadas aceleración tangencial y aceleración normal.

    Aceleración tangencial: nos indica el cambio en el módulo de la velocidad. Es un vector tangente a la trayectoria y cuyo módulo se calcula derivando el módulo de la velocidad respecto al tiempo.

    Aceleración normal: nos indica el cambio en la dirección de la velocidad. Es un vector perpendicular a la trayectoria y dirigido hacia el centro y cuyo módulo es el módulo de la velocidad al cuadrado partido del radio.

    @Ver ejercicios y cuestiones sobre los tipos de aceleración.

    MOVIMIENTO RECTILÍNEO

    Es aquel cuya trayectoria es una recta. Por tanto, no cambia la dirección de la velocidad (aunque puede cambiar el sentido), por lo que no tendrá aceleración normal.

    La única aceleración que puede tener es la tangencial, que coincide con la total, llamándose simplemente aceleración.

    Tipos:

    1.-Movimiento rectilíneo uniforme: Es aquel que en tiempos iguales, recorre espacios iguales. El móvil va siempre a la misma velocidad. Tanto en módulo como en dirección. Es el único movimiento que no tiene ningún tipo de aceleración.

    Fórmulas:

    V= e/t a=dv/dt=0

    La velocidad media coincide con la instantánea.

    Gráficas:

    Es una recta paralela al eje independiente Es una recta ya que representa una función de primer grado.

    Si cuando el tiempo=0,

    el móvil ya ha recorrido

    un cierto espacio inicial,

    la gráfica será:

    2.-Movimiento rectilíneo uniformemente variado: Es aquel movimiento en el que la velocidad varía pero de una manera uniforme, siempre igual.

    Como la velocidad varía en módulo, habrá aceleración tangencial, a la que llamaremos simplemente aceleración.

    Fórmulas:

    En la fórmula se utiliza el signo + cuando el movimiento es acelerado, es decir, cuando aumenta la velocidad, y se utiliza el signo - cuando el movimiento es retardado, o disminuye la velocidad. Esto presupone, considerar siempre la aceleración como positiva. También se podría hacer utilizando siempre + en las fórmulas y si el movimiento es retardado, considerar la aceleración como negativa.

    Gráficas:

    CAIDA DE GRAVES

    Un cuerpo que se mueve sometido a la atracción terrestre tiene una aceleración a la que llamamos gravedad, cuyo valor en la superficie terrestre es aproximadamente 9'8 m/s2 (Se suele tomar el valor 10). La velocidad de caída de un cuerpo es independiente de su masa. En el vacío todos los cuerpos caerían con la misma velocidad si son lanzados desde la misma altura. En la práctica, a veces no sucede, debido a la resistencia que ejerce el aire.

    @ Problemas sobre cinemática (fotocopias)

    Orden: 1, 2 , 8, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 5, 12, 13, 17, 22, 11, 23, 25, 24, 15, 14, 18, 21, 37, 20, 26, 30, 29, 27, 35, 33, 32, 31, 34, 16, 19, 36, +problemas dictados en clase.

    COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS:

    Cuando un cuerpo está sometido a dos movimientos que son simultáneos pero independientes, efectúa un movimiento que es combinación de ellos, llamado movimiento compuesto.

    Para resolver problemas de movimientos compuestos, se aplica el principio de la independencia de los movimientos de Galileo, que dice:

    • Cuando un cuerpo se encuentra sometido a un movimiento compuesto, su cambio de posición, es independiente de que los movimientos actúen simultáneamente o sucesivamente.

    Esto lleva a la conclusión de que el vector de posición del movimiento resultante, es la suma vectorial de los vectores de posición de los movimientos componentes. Con la aceleración y la velocidad, pasa lo mimo. (problema 37).

    TIRO PARABÓLICO:

    Es la composición de dos movimientos: uno horizontal, uniforme y otro vertical, que en principio es uniformemente retardado y posteriormente se convierte en acelerado, siendo la trayectoria descrita por el móvil una parábola.

    Ejemplo: Se dispone de un proyectil con una velocidad inicial y un ángulo de lanzamiento con la horizontal . Calcula la altura máxima alcanzada y el alcance horizontal.

    Sabiendo estos datos, podemos hallar todo siguiendo estos pasos..

    1.- Escoger como origen de coordenadas el lugar de lanzamiento y dibujar unos ejes de coordenadas.

    2.- Se descompone la velocidad inicial en sus componentes.

    3.- Se calculan las componentes de la velocidad en cualquier instante.

    Horizontalmente, sobre el proyectil no actúa ninguna fuerza, (si despreciamos el rozamiento con el aire) por lo que no tendrá aceleración y el movimiento horizontal será uniforme. En cambio, verticalmente, nada más salir el proyectil actúa sobre él , la fuerza del peso que le comunica inicialmente un movimiento uniformemente retardado, que posteriormente se convierte en acelerado.

    4.- Se trata de averiguar la posición del proyectil. Se halla el vector de posición.

    5.-Para hallar la altura máxima se pone la condición Vy=0. Con ese dato, vamos a la ecuación correspondiente.

    6.- Para hallar el alcance horizontal, se iguala el espacio horizontal a 0, (porque cuando el móvil llega al suelo, se detiene también horizontalmente).

    *El ángulo de disparo para que el alcance sea máximo debe ser 45º porque sen90º=1.

    MOVIMIENTO CIRCULAR

    Es aquel cuya trayectoria es una circunferencia, por tanto, el radio de curvatura es constante. Se pueden considerar dos tipos de espacio:

    1.- Espacio lineal: Es el arco descrito por el móvil en su movimiento. Se representa por e o por s y se mide en metros en el S.I.

    2.- Espacio angular: Es el ángulo descrito por el radio vector. Se representa por la letra ð y en el S.I. se mide en radianes (rd).

    Si s = r ð ð ð rd.

    Un radián (rd) es el ángulo al que le corresponde un arco que mide lo mismo que el radio.

    1 vuelta = 360º =2 ð rd.

    Análogamente, habrá dos tipos de velocidad.

    1.- Velocidad lineal (v). Es la velocidad que hemos estudiado antes. Es una magnitud vectorial tangente a la trayectoria.

    Vmedia=

    Vinstantánea=

    2.- Velocidad angular (w).Es una magnitud vectorial perpendicular a la trayectoria cuyo sentido se deduce por la regla del sacacorchos y cuyo módulo es:

    Wmedia= ðð / ðt

    Winstantánea =

    Por último habrá también dos tipos de aceleración.

    1.- Aceleración tangencial: es una magnitud vectorial, un vector tangente a la trayectoria cuyo módulo es:

    Se mide en m/s2

    2.- Aceleración angular: Se representa siempre por ð Es una magnitud vectorial, perpendicular a la trayectoria, cuyo sentido se deduce por la regla del sacacorchos. Se mide en rd/ s2 y su módulo es:

    Para que haya aceleración angular, tiene que cambiar la velocidad angular.

    El uso de magnitudes angulares es útil en el estudio de cuerpos que giran alrededor de un eje ya que todos los puntos del cuerpo, independientemente de su posición, han descrito el mismo ángulo y tienen la misma velocidad angular y aceleración angular.

    En cambio, no han recorrido el mismo espacio ni tienen la misma velocidad lineal ni aceleración tangencial.

    Ejemplo: Puerta que se abre: Todos sus puntos describen el mismo ángulo pero no el mismo espacio. Los puntos más alejados del eje de giro, recorren más espacio.

    RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES:

    Se deduce de la definición de radian que:

    Derivando esta expresión respecto al tiempo obtenemos el módulo de la velocidad.

    Derivando esta segunda expresión respecto al tiempo, nos queda:

    Atg = r.

    *Cualquier magnitud lineal es igual a su correspondiente angular multiplicada por el radio.

    Movimiento circular uniforme:

    Características:

    El radio es constante por ser circular. La velocidad angular (w) es constante por ser uniforme. No tiene aceleración angular porque no varía la w.

    No tiene aceleración tangencial porque no cambia la módulo de la velocidad. Lo que sí tiene es aceleración normal porque cambia continuamente la dirección de la velocidad:

    Este movimiento a pesar de llamarse uniforme sí tiene aceleración, la normal. El único movimiento que no tiene aceleración y el único que debía llamarse uniforme es el rectilíneo y uniforme.

    Fórmulas:

    El movimiento circular uniforme es el caso más simple de movimiento periódico, es decir, movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo. En estos movimientos se llama periodo al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. Se representa siempre por T y se mide en segundos en el S.I.

    Se llama frecuencia al número de vueltas que da el móvil cada segundo. Se mide en vueltas/segundo= s-1 =hz (hertzio).Se representa por la letra griega ð

    Estas dos magnitudes (periodo y frecuencia) son inversamente proporcionales.

    T=

    La relación con la velocidad angular es la siguiente:

    w=

    Sólo cabe hablar de periodo cuando el movimiento es circular y uniforme. Si es acelerado, no existe este concepto.

    @Ver ejercicios del cuaderno.

    MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

    Características:

    El radio e constante. La w es variable(pero con uniformidad), la es constante.

    La Atg =.r =cte

    La An =

    Fórmulas:

    @ Ver ejercicios del cuaderno

    DINÁMICA

    Estudia las fuerzas como productoras de cambio en el movimiento de los cuerpos, como productoras de aceleración. Está basada en las leyes de NEWTON.

    1ª Ley de Newton o ley de la inercia: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o bien la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula, el cuerpo se encuentra en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (es decir, no posee aceleración), por tanto la materia es incapaz por ella misma de imprimirse una aceleración. A esta incapacidad del movimiento es lo que se conoce con el nombre de inercia. Dicho de otra forma, inercia es la tendencia que tienen los cuerpos de seguir en su estado de reposo o de movimiento. El hecho de que al lanzar un cuerpo sobre una superficie termine por detenerse (situación que nos hace dudar de la velocidad de esta ley) es debido a la existencia de las fuerzas de rozamiento que dificultan el movimiento.

    2ª Ley de Newton o principio fundamental de la dinámica: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, el cuerpo adquiere aceleración. Existe un cociente constante entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración adquirida. A esta constante se le llama masa inerte del cuerpo. Es la magnitud que nos determina la inercia que pose un cuerpo. Es decir, si un cuerpo tiene mucha masa, tendrá mucha inercia, mucha dificultad para cambiar su estado de movimiento.

    Puesta en forma vectorial:

    3ª Ley de Newton o principio de acción y reacción: Si sobre un cuerpo aplicamos una fuerza, este reacciona con otra fuerza igual y de sentido contrario. Las dos fuerzas son iguales pero están aplicadas a cuerpos distintos. Las fuerzas siempre se presentan por parejas, aunque frecuentemente sólo dibujamos las que nos interesa.

    Ejemplo: La tierra atrae a la tiza y la tiza atrae a la Tierra, pero la Tierra no se mueve porque su masa es muchísimo mas grande que la de la tiza

    Los efectos de las fuerzas de acción y reacción pueden ser muy distintos según sea la masa de los cuerpos sobre los que actúan.

    Las leyes de Newton solamente se pueden aplicar en Sistemas de Referencia Inerciales. Cuando nos encontramos en un sistema no inercial, es decir, con aceleración, debemos introducir las llamadas fuerzas de inercia, para poder seguir aplicando las leyes de Newton.

    Siempre que sea posible, conviene resolver los problemas en Sistemas de referencia Inerciales.

    UNIDADES DE FUERZA

    En el S.I., la fuerza se mide en Newton (N)

    Un N es la fuerza que al actuar sobre un kg masa, le comunica una aceleración de 1m/s2

    1N=1kg.

    Otra unidad muy utilizada en la práctica es el kilopondio (kp) o kilogramo fuerza.

    Un kp es la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de un kg de masa, situado a nivel del mar y a 45º de latitud (en esas condiciones, el valor de la gravedad es de 9,8 m/s2)

    Es igual decir que un cuerpo tiene 8 kg de masa, que de peso, 8 kilos.

    Su el dato 8 lo utilizamos como masa, lo pondremos en kilos, si lo utilizamos como peso, en N.

    MASA: De forma intuitiva, es la cantidad de materia que tiene un cuerpo.

    Es el cociente constante entre la fuerza aplicada y la aceleración adquirida. Es una magnitud invariable, que depende exclusivamente de la naturaleza del cuerpo-

    PESO: Es la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo. Es un vector vertical, cuyo sentido es hacia el centro de la Tierra y cuyo punto de aplicación es el centro de gravedad del cuerpo.

    Es una magnitud variable, cambia de un lugar a otro. Varía con la altitud y con la latitud, por ejemplo, en la luna, pesaríamos la sexta parte que en la Tierra.

    FUERZAS Que ACTÚAN EN UN CUERPO SITUÁDO SOBRE UN PLANO HORIZONTAL:

    1.- Peso del cuerpo.

    2.- Fuerza Normal: Es la fuerza que la superficie de apoyo ejerce sobre el cuerpo y siempre es perpendicular a la superficie de apoyo y dirigida hacia arriba.

    Normalmente, el peso y la normal, coinciden, por lo que, si no fuera por las fuerzas de rozamiento, bastaría con soplar para arrastrar un armario.

    Las fuerzas de rozamiento están presentes inevitablemente en todos los movimientos y tienen siempre sentido contrario al movimiento y son siempre tangentes a las superficies puestas en contacto.

    3.- Fuerza de Rozamiento: Es tangente a las superficies puestas en contacto. Se calcula así:

    @ Ver ejercicios del cuaderno.

    FUERZAS Que ACTÚAN SOBRE UN CUERPO SITUÁDO EN UN PLANO INCLINADO:

    • Aquí se descompone el peso en dos componentes que llamaremos:

    Px =componente paralela al plano

    Py = componente perpendicular al plano.

    Px =hipotenusa x sen a Se anula con la normal.

    Py =hipotenusa x cos a Es la fuerza que tira hacia abajo del cuerpo.

    @Ver ejercicios del cuaderno.

    TENSIÓN

    Por tensión se entiende la fuerza que está soportando una cuerda a la que está unida un cuerpo en un instante determinado.

    @Ver ejercicios de tensión y otros problemas.

    FUERZAS DE ROZAMIENTO.

    Las fuerzas de rozamiento se oponen al movimiento relativo de un cuerpo respecto a otro y surgen como consecuencia del encaje de las irregularidades que inevitablemente poseen los cuerpos.

    Las leyes que estudian el rozamiento son leyes empíricas o experimentales, es decir, están basadas en la experimentación. Son las siguientes:

    1.-La Fuerza de Rozamiento es tangente a las superficies puestas en contacto y tiene siempre sentido contrario al movimiento, o incluso a la posibilidad de movimiento.

    2.-Es proporcional a la fuerza normal que aprieta una superficie contra otra.

    3.-Depende de la naturaleza de los cuerpos puestos en contacto.

    4.-La fuerza de rozamiento es prácticamente independiente del área de contacto entre la superficie.

    5.-Es independiente de la velocidad de deslizamiento de un cuerpo sobre otro.

    Hay que distinguir el rozamiento entre cuerpos en movimientos, que se llama rozamiento cinético, del rozamiento existente, entre cuerpos en reposo, que se llama rozamiento estático. Casi siempre es mayor el rozamiento estático que el cinético (hace falta más fuerza, para empezar a mover un armario que para continuar moviéndolo)

    La fuerza de rozamiento cinético es constante y se calcula aplicando la siguiente fórmula:

    La fuerza de rozamiento estática, es más complicada, ya que oscila entre un valor nulo (cuando no aplicamos ninguna fuerza) y un valor máximo que se calcula multiplicando el coeficiente de rozamiento estático por la normal.

    @ Ver problemas de rozamiento.

    El rozamiento que hemos estudiado es rozamiento por deslizamiento. Es distinto al rozamiento por rodadura que tiene lugar en una rueda, que al mismo tiempo que gira se traslada.

    @ Problema del ascensor.

    @ Otros problemas

    FUERZAS DE INERCIA

    Son aquellas que se presentan en sistemas con aceleración para poder seguir aplicando las leyes de Newton.

    Tienen siempre sendito contrario a la aceleración del sistema y por tanto a la fuerza que provoca dicha aceleración. Desaparecen cuando no hay aceleración. Se les llama también fuerzas virtuales, ficticias, irreales ya que no se pueden asociar a la acción de algo que rodee al cuerpo sobre el que actúan (no se sabe quién produce dichas fuerzas) Estas fuerzas son responsables del movimiento hacia atrás cuando un coche arranca y hacia adelante cuando el coche frena.

    FUERZAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR: FUERZAS CENTRÍPETA Y CENTRÍFUGA:

    Todo movimiento circular tiene An ya que está cambiando continuamente la dirección de la velocidad. Si según la segunda ley de Newton, toda fuerza produce aceleración, también es verdadera la afirmación contraria, o sea, la existencia de una aceleración tiene que estar producida por una fuerza. La fuerza productora de la aceleración normal existente en cualquier movimiento circular, se le llama fuerza centrípeta.

    La fuerza centrípeta está dirigida hacia el centro de la trayectoria, es la responsable de la existencia de cualquier movimiento circular y es la Fuerza resultante de todas las fuerzas dirigidas hacia el centro del cuerpo.

    En unos problemas, la fuerza centrípeta será el peso de una partícula, o la tensión de una cuerda, o la Fuerza de Rozamiento, o la Fuerza Gravitatoria entre masas, o la Fuerza eléctrica entre cartas, etc.

    @ Ver problemas.

    Para resolver problemas de dinámica de movimiento circular se aplica:

    Por fuerza centrífuga se entiende otra fuerza igual a la centrípeta, pero de sentido contrario, es decir, está dirigida continuamente hacia el exterior de la trayectoria descrita pro el móvil.

    La fuerza centrífuga solo se considera cuando se resuelven problemas en sistemas de referencia no inerciales ya que la fuerza centrípeta es la fuerza de inercia correspondiente a la fuerza centrífuga.

    @ Ver ejercicios

    OTRA FORMA DE EXPRESAR LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA.

    p = cantidad de movimiento (m.v)

    Esta expresión nos india que la resultante de todas las fuerzas que actúa sobre un cuerpo se invierte en variar su cantidad de movimiento respecto al tiempo.

    CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO

    Es el producto de la masa del cuerpo por la velocidad que lleva. Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad. Se representa siempre por la letra p. En el S.I. se mide en Kg.m/s También se le llama momento lineal.

    IMPULSO LINEAL (Impulso mecánico o impulso de una fuerza):

    Es el producto de la fuerza por el tiempo que actúa sobre el cuerpo. Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada. Se representa por la letra I.En el S.I. se mide en N.s

    I = F.t Esta fórmula sólo se puede aplicar cuando la fuerza es constante. SI la fuerza es variable, lo que se hace es tomar tiempos infinitamente pequeños, diferenciales d tiempo (dt) en los cuales, la fuerza aplicada sea constante.

    Multiplicando el valor de la fuerza por el tiempo diferencial, obtenemos un impulso elemental, infinitamente pequeño. El impulso total, será la suma de los infinitos impulsos elementales, lo que matemáticamente se realiza por medio de una integral.

    I =F.t

    dI = F.dt

    Itotal =

    CÁLCULO DE INTEGRALES

    • Integrales indefinidas (sin límites de integración):

    1.

    2.

    3.

    • Integrales definidas (con límites de integración)

    RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

    El impulso comunicado a un sistema se invierte en variar la cantidad de movimiento de dicho sistema.

    I = ðp

    Deducción: Partimos de la segunda ley de newton en forma diferencial.

    F = m.a = F=

    F.dt=dp

    I = ðp

    I= ðp

    PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

    Si sobre un sistema no actúan fuerzas externas, su cantidad de movimiento permanece constante. Las fuerzas internas no se consideran porque siempre se presentan de dos en dos y se anulan por parejas ya que son fuerzas de acción y reacción.

    Para deducirlo, partimos de la segunda ley de Newton en forma diferencial.

    F=

    Si Fuerzas externas=0 y como Fuerzas Internas=0, =0 p=cte

    Este principio es de aplicación general, por ejemplo, en cualquier tipo de choque se conserva la cantidad de movimiento. Lo mismo pasa en el disparo de un arma de fuego o de un cohete interplanetario.

    @ Ver ejercicios del cuaderno.

    Composición de movimientos.

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