Cálculo I

Intersecciones con los ejes

Los puntos útiles de una función son aquellos cuya coordenada x o y se anula.

• Intersecciones con los ejes ya que corta el eje x o y. Un punto (a, 0) es una x-intersecciones de la gráfica de una ecuación si es un punto de la solución de la ecuación. Para lo mismo será y-intersecciones (0, b) cuando la gráfica de la ecuación sea una solución de la misma.

Para determinar el número de x-intersecciones:

Para determinar el número de y-intersecciones:

Ejemplo

Encontrar el número de intersecciones con los ejes de la gráfica y=x³- 4x.

(Determinación de x-intersecciones).

x³- 4x = 0

x (x - 2)(x+2) = 0

X1 = 0 f (0) = 0 (0, 0)

X2 = 2 f (2) = 0 (2, 0)

X3 = -2 f (-2) = 0 (-2, 0)

(determinación de y-intersecciones)

X=0 f (0) = 0

Por lo tanto, dicha ecuación no corta explícitamente el eje de las y.

Aproximar los ceros de una función

Método de Newton

• Sirve para aproximar ceros de una función.

• Utiliza las rectas tangentes para aproximar la gráfica de la función cerca de sus x-intersecciones.

Para ver como funciona:

PROBLEMA 1

Datos

Función f (x) continua para [a, b]

Derivable para (a, b)

Si f (a) y f (b) son signos opuestos CORROBORA que almenos existe un cero de la función f (x) para el intervalo (a, b).

Como primera estimación sabemos que x = x1.

Se basa en que la gráfica f (x) y la recta tangente en (x1, f (x1)) cruzan el eje x por el mismo punto. Al ser relativamente fácil calcular la x-intersección de la recta tangente, podemos usarla como segunda estimación (mejor que la 1ª) para el cero de f (x). La recta tangente pasa por el punto (x1, f (x1)) con pendiente = f' (x1). En forma punto-pendiente, la ecuación de esa recta tangente es, por tanto:

y - f (x1) = f' (x1) (x- x1)

y = f' (x1) (x- x1) + f (x1)

Desarrollando y = 0, y despejando x, obtenemos

Así pues, de la primera estimación x1 hemos pasado a una nueva estimación:

Podemos mejorar x2 calculando la tercera estimación:

La aplicación reiterada de este proceso nos llevará a un resultado mucho más fiable y menos inequívoco.

RESUMEN DEL PROCESO

Ejercicio de comprensión (pág.226 ej.1)

1. para x1 = 1,7

PRIMER PASO

(gráfica f (x)) (gráfica f (x) ampliada)

SEGUNDO PASO

*seguir hasta que sea el valor más próximo a 0.

**= número de iteraciones.

TERCER PASO (último)

Representa de forma clara si el último valor adquirido está dentro de nuestro intervalo cogido como óptimo.

Ejemplo 2

Usar el método de Newton para aproximar ceros de la siguiente función:

Iterar hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.0001.

Gráfica

Tabla de valores