Cálculo I

Ingeniería industrial. Electricidad. Intersecciones con los ejes. Método de Newton. Funciones. Variables

  • Enviado por: ThE BoOs
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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Intersecciones con los ejes

Los puntos útiles de una función son aquellos cuya coordenada x o y se anula.

  • Intersecciones con los ejes ya que corta el eje x o y. Un punto (a, 0) es una x-intersecciones de la gráfica de una ecuación si es un punto de la solución de la ecuación. Para lo mismo será y-intersecciones (0, b) cuando la gráfica de la ecuación sea una solución de la misma.

Para determinar el número de x-intersecciones:

  • Igualamos la y a cero. y=0.

  • Resolvemos la ecuación para x (mediante la fórmula general de binomios, Ruffini…)

  • Para determinar el número de y-intersecciones:

  • Igualamos la x a cero. x=0.

  • Resolvemos la ecuación para la y.

  • Ejemplo

    Encontrar el número de intersecciones con los ejes de la gráfica y=x³- 4x.

    (Determinación de x-intersecciones).

  • Igualar y a 0 y se aísla x.

  • x³- 4x = 0

  • Resolución de la ecuación (factorizar)

  • x (x - 2)(x+2) = 0

  • De esta manera se conoce que:

  • X1 = 0 f (0) = 0 (0, 0)

    X2 = 2 f (2) = 0 (2, 0)

    X3 = -2 f (-2) = 0 (-2, 0)

    (determinación de y-intersecciones)

  • Igualar x a 0.

  • X=0 f (0) = 0

    Por lo tanto, dicha ecuación no corta explícitamente el eje de las y.

    Aproximar los ceros de una función

    Método de Newton

    • Sirve para aproximar ceros de una función.

    • Utiliza las rectas tangentes para aproximar la gráfica de la función cerca de sus x-intersecciones.

    Para ver como funciona:

    PROBLEMA 1

    Datos

    Función f (x) continua para [a, b]

    Derivable para (a, b)

    Si f (a) y f (b) son signos opuestos CORROBORA que almenos existe un cero de la función f (x) para el intervalo (a, b).

    Como primera estimación sabemos que x = x1.

    Se basa en que la gráfica f (x) y la recta tangente en (x1, f (x1)) cruzan el eje x por el mismo punto. Al ser relativamente fácil calcular la x-intersección de la recta tangente, podemos usarla como segunda estimación (mejor que la 1ª) para el cero de f (x). La recta tangente pasa por el punto (x1, f (x1)) con pendiente = f' (x1). En forma punto-pendiente, la ecuación de esa recta tangente es, por tanto:

    y - f (x1) = f' (x1) (x- x1)

    y = f' (x1) (x- x1) + f (x1)

    Desarrollando y = 0, y despejando x, obtenemos

    Así pues, de la primera estimación x1 hemos pasado a una nueva estimación:

    Podemos mejorar x2 calculando la tercera estimación:

    La aplicación reiterada de este proceso nos llevará a un resultado mucho más fiable y menos inequívoco.

    RESUMEN DEL PROCESO

    Ejercicio de comprensión (pág.226 ej.1)

    1. para x1 = 1,7

    PRIMER PASO

    (gráfica f (x)) (gráfica f (x) ampliada)

    SEGUNDO PASO

    'Cálculo I'

    'Cálculo I'

    1

    1,7000

    -0,1100

    3,4000

    -0,0323

    1,7323

    2

    1,7324

    0,0012

    3,4648

    0,0003

    1,7321

    *seguir hasta que sea el valor más próximo a 0.

    **= número de iteraciones.

    TERCER PASO (último)

    Representa de forma clara si el último valor adquirido está dentro de nuestro intervalo cogido como óptimo.

    Ejemplo 2

    Usar el método de Newton para aproximar ceros de la siguiente función:

    Iterar hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.0001.

    Gráfica

    Tabla de valores


    'Cálculo I'

    'Cálculo I'

    1

    -1,20000

    0,18400

    5,24000

    0,03511

    -1,23511

    2

    -1,23511

    -0,00771

    5,68276

    -0,00136

    -1,23375

    3

    -1,23375

    0,00001

    5,66533

    0,00000