Cálculo diferencial

Matemáticas. Límites. Teorema. Continuidad. Derivación. Numérico

  • Enviado por: Karla L
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 12 páginas
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Límites

Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería . A éste valor se le conoce como c.

Límites directos

Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x - 8 cuando x tiende a 3:

Se sustituye el valor al que tiende x en la función: = - 2

El resultado es igual al valor del límite.

Cálculo de Límites mediante factorización

Sin embargo, cuando al sustituir el valor del número al que tiende x el resultado del límite es igual a , la función se tiene que factorizar, para así poder encontrar el valor del límite, como es en el caso de la siguiente función:

=

Como el resultado es una indeterminación, se factoriza la función original:

(3+1) = 4

Cálculo de Límites mediante tablas

Otra manera de encontrar el límite de una función es por medio de una tabla. Esto se aplica cuando al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y además no hay manera de factorizar la función, como es el caso siguiente:

Por ello se construye una tabla con valores en t cercanos a 0, los cuales se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite.

t

.3

0.058

.1

0.1745

.001

17.45

0

- - - -> 18

-.001

17.45

-1

0.1745

-3

0.058

Comprobando la existencia de límites

Como regla general, se sabe que un límite existe si cumple con la siguiente regla:

En ella, el valor de (x - c) debe de ser igual al valor de (f(x) - L)

Por ejemplo, comprobar que el límite de la función (3x - 7) es igual a 5 cuando x tiende a 4

.

Como el valor que corresponde a (x - c) es igual al de (f(x) - L), se comprueba que el límite existe.

Comprobando que el límite de la función es 2 cuando x tiende a 2, se tiene que:

Primero se tiene la función = 2

Para que realizar la comprobación de la existencia del límite sea más fácil, elevamos la función y el resultado al cuadrado, y se tiene que:

2x = 4

El límite existe, y

También puede darse el caso de que el límite no exista, por ejemplo, comprobar que el límite cuando x tiende a 3 de la función (x2 - 2x) es igual a 3

En éste caso, el límite no existe ya que el valor que corresponde a (x - c) es diferente al de (f(x) - L). En casos como éstos, se puede observar que dichos valores serían iguales si se pasara el término (x + 1) dividiendo a , sin embargo, no puede haber variables dividiendo a , sólo números.

Teoremas de Límites:

Teorema principal de límites: Sean n un número entero positivo, k una constante y f y g funciones con límites en c:

Teorema de sustitución: Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:

Siempre que el denominador para c no sea cero en caso de una función racional.

Por ejemplo, en los siguientes ejercicios se calcularán los límites de las diferentes funciones, aplicando tanto el teorema principal de límites como el teorema de sustitución:

162

32

7/5

Límites Trigonométricos:

Ejemplo:

Continuidad

Una función es continua cuando, al graficarla, ésta no se corta en ninguno de sus puntos. También se dice que es continua si no se da el caso de que con algún valor se indetermine.

'Calculo diferencial'
'Calculo diferencial'

Continua Discontinua

También tiene que cumplir con las siguientes reglas:

  • existe

  • existe

Derivación

Una derivada es la relación de cambio; un cambio en la función entre el cambio de la variable cuando ésta tiende a cero.

En cálculo, al cambio de valor en una variable se le llama incremento.

También en otras palabras se puede decir que la derivada es una tangente; una tangente es la pendiente de la recta que une a dos puntos.

'Calculo diferencial'

en Y = (Y2 - Y1)

en X = (X2 - X1)

Se sabe que la formula para calcular la pendiente de una recta es:

Aplicando el teorema de los límites se tiene:

Tomando en cuenta que f(x2) es igual a f(x+x), se sustituye en la ecuación anterior:

Por lo que se deduce que:

=

Derivación por el método de incrementos:

Derivación por Límites

Ejemplo: encontrar f'(3) si f(x)= x2 - x

Derivación por Fórmulas

Fórmula

Explicación

1.

La derivada de una constante con respecto a una variable es igual a cero

2.

La derivada de una variable con respecto a ella misma es igual a uno

3.

La derivada de una suma es igual a la derivada de cada uno de sus términos

4.

La derivada de un producto es igual al primer factor por la derivada del segundo factor, mas el segundo factor por la derivada del primero

5.

La derivada de una constante por una variable es igual a la constante por la derivada de la variable

6.

La derivada de una potencia es igual al exponente por la base de la potencia elevada al exponente menos una unidad, lo cual se multiplica por la derivada de la variable

7.

La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo sobre el denominador al cuadrado

8.

La derivada del Logaritmo natural de una variable es igual a la derivada de la variable sobre la variable

9.

La derivada del logaritmo de una variable es igual al logaritmo exponencial sobre la variable, todo por la derivada de la variable

10.

La derivada de una constante elevada a una variable es igual a la constante elevada por la variable, multiplicada por el logaritmo natural de la constante, todo por la derivada de la variable

11.

La derivada de un exponente elevado a una variable es igual al exponente elevado a la variable por la derivada de la variable

12.

La derivada de una variare elevada a un exponente variable es igual al exponente por la variable elevada al exponente menos uno, multiplicado por la derivada de la variable. Luego se suma al Logaritmo natural de la variable por la variable elevada al exponente variable, multiplicado por la derivada del exponente variable

Fórmula

Explicación

13.

La derivada de una función Seno es igual a la función Coseno de la variable por la derivada de la variable

14.

La derivada de la función Coseno es igual a la función negativa del Seno de la variable por la derivada de la variable

15.

La derivada de la función Tangente de una variable es igual a la Función Secante al cuadrado de la variable por la derivada de la variable

16.

La derivada de la función Cotangente de una variable es igual a la función negativa de la Cosecante al cuadrado de la variable por la derivada de la variable

17.

La derivada de la función Secante de una variable es igual a la Secante de la variable por la Tangente de la variable por la derivada de la variable

18.

La derivada de la función Cosecante de una variable es igual a la función negativa de la Cosecante de la variable por la Cotangente de la variable por la derivada de la variable

19.

La derivada del Arco seno de una variable es igual a la derivada de la variable sobre la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la variable

20.

La derivada del Arco Coseno de una variable es igual a la derivada negativa de la variable sobre la raiz cuadrada de uno menos el cuadrado de la variable.

21.

La derivada del Arco Tangente de una variable es igual a la derivada de la variable sobre uno mas la variable al cuadrado

22.

La derivada del Arco Cotangente de una variable es igual a la derivada negativa de la variable sobre uno mas la variable al cuadrado

23.

La derivada del Arco Secante de una variable es igual a la derivada de la variable sobre la variable que multiplica a la raiz cuadrada de la variable al cuadrado menos uno

24.

La derivada del Arco Cosecante de una variable es igual a la derivada negativa de la variable sobre la variable que multiplica a la raíz cuadrada de la variable al cuadrado menos uno

Las fórmulas se usan para derivar cualquier tipo de ecuación. Es el método más sencillo, porque además es directo, y es poco probable cometer errores una vez que se domina.

Derivadas de Orden Superior

Esto se trata solamente de obtener una derivada después de haber obtenido otra derivada de una ecuación original. Por ejemplo:

Obtener la segunda derivada de y = Sen2x

Máximos y Mínimos

Un máximo es el mayor valor que puede tomar una función. Un mínimo es el menor valor que puede tomar la misma función. Existen dos maneras de calcular máximos y mínimos:

A.

  • Derivar la función

  • Despejar el valor de x en el resultado de derivar

  • Dar un valor menor y otro mayor al obtenido

  • Sustituir los valores del paso 3 en la ecuación derivada.

  • Si al sustituir se observa que el resultado del menor valor es mas pequeño que el del mayor valor, entonces se tiene un mínimo, de lo contrario será un máximo

  • Ejemplo:

    f'(49) = 2

    f (50) = 2 500 Máximo

    f' (51) = -2

    B.

  • Derivar la derivada de la función original

  • Si el resultado obtenido es un número negativo, obtendremos un máximo, y si es positivo, será un mínimo

  • Problemas

    A las 7 A. M. Un barco estaba a 70 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 mi/h, y el segundo al sudoeste a 30 mi/h, ¿en qué momento se encontrarán más cerca uno de otro?

    Se va a construir una cisterna de base cuadrada para contener 12000 ft2 de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la base de concreto, ¿cuáles son las dimensiones más económicas de la cisterna?

    54

    'Calculo diferencial'

  • Sumar el incremento a cada variable

  • Restar la ecuación original a la ecuación obtenida después de sumar los incrementos

  • Se obtiene una nueva ecuación

  • A ésta nueva ecuación, dividir cada uno de sus términos entre x

  • Obtener el límite de la nueva ecuación que se obtuvo al dividir entre x

  • El resultado será igual a la derivada.

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