Cálculo diferencial

Funciones continuas y derivables. Estudio local de una función. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. Concavidad y convexidad

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CALCULO DIFERENCIAL

TEMA 1 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Teorema del signo.-

Sea f:[a,b] -->R una función continua en (a,b) entonces si f(x0)"0, existe un entorno E(x0,) en que f tiene el mismo signo que f(x0).

Si x0=b (respectivamente x0=a) entonces existe  un tal que f toma en (b-,b) (respectivamente (a,a+) el mismo signo que f(x0).

Lema (de acotación).-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y x0 " (a,b) entonces existe >0 tal que f es acotada en E(x0,).

Teorema de los ceros , de Bolzano.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b], tal que f toma valores de signos distintos en los extremos a y b del intervalo, es decir, sign f(a) " sign f(b). Entonces existe c" (a,b) tal que f(c)=0.

Teorema de los valores intermedios, de Darboux.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en el intervalo cerrado [a,b] , entonces f toma todos los valores intermedios comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weiestrass.-

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f alcanza al menos una vez el máximo y el mínimo absolutos en dicho intervalo.

TEMA 2 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

LEMA (de monotonía).-

Sea f : I-->R una función. Supongamos que f'(t0)>0 en un punto t0 interior. Entonces existe >0 tal que f(s)<f(t0)<f(t) cuando s" (t0-,t0) y t" (t0,t0+) , es decir, es creciente en t0.

Análogamente si f'(t0)<0 , es decreciente en t0.

Teorema de Rolle.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c(a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema de Cauchy.-

Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c " (a,b) tal que

[ f(b) - f(a) ] g'(c) = [ g(b) - g(a) ] f'(c) .

Teorema del valor medio ( o de los incrementos finitos).-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c(a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f'(c) .

Consecuencias del t.v.m.-

1.- T. del v.m. sobre monotonía.-

Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces

- si f'(t)"0 para todo t(a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b].

- si f'(t)"0 para todo t(a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b].

- si f'(t)=0 para todo t(a,b) entonces f es constante en [a,b].

2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f'(x) = g'(x) para todo x" (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x" [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante.

ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION

Crecimiento y decrecimiento de una función

Definición:

Sea f : [a, b] -->R , x0"(a, b), se dice que f es creciente en x0 si existe un entorno de x0 , E (x0 , h) tal que

Si x0 - h < x < x0 f(x) < f(x0)

Si x0 < x < x0 + h f(x0) < f(x)

Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente.

Cálculo diferencial
Proposición 1 (monotonía).-

Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x0 " (a, b) . Entonces :

si f'(x0)>0 , f es creciente en x0.

si f'(x0)<0 , f es decreciente en x0.

Observación : La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x3

Proposición 2.-

Sea f : (a, b)-->R una función , x0"(a,b), f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f '(x0) "0 ( f'(x0) " 0 ) .

Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.-

Definición: Sea f : [a, b] -->R , x0"(a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0 , E (x0 , h) tal que " x" E (x0 , h) se tiene que f(x) " f(x0) / f(x) " f(x0).

Condición necesaria.-

f derivable en x0"(a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f'(x0)=0.

Condición suficiente.-

Cálculo diferencial
Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0"(a, b) y f derivable en el intervalo (x0-,x0+) contenido en I salvo quizás x0.

a) si f ' (x)>0 , x" (x0-,x0) (f creciente a la izquierda de x0)

f ' (x)<0 , x" (x0,x0+) (f decreciente a la derecha de x0)

entonces f presente un máximo relativo en x0.

b) Análogamente para mínimo relativo.

Proposición 2.-

f : [a, b] -->R , x0"(a, b) tal que f ' (x0)=0 y f '' (x0) " 0.

Entonces : f''(x0)>0 entonces x0 es mínimo relativo.

f''(x0)<0 entonces x0 es máximo relativo.

Condicion necesaria y suficiente.-

Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0"(a, b) tal que f '(x0)=0.

Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0) , derivada n-esima de f.

En estas condiciones :

" La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 ( > 0 ) será un máximo (mínimo) relativo."

Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

Concavidad y convexidad

Definición:

  • Una función f es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica.

  • Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función.

De otra manera : Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica.

Cálculo diferencial
Condición suficiente de concavidad

Cálculo diferencial

Si una función f es tal que " x" (a,b) f''(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b)

Si una función f es tal que " x" (a,b) f''(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b)

Punto de inflexión

Cálculo diferencial
Definición: Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica.

Condición necesaria.- Si x0 es punto de inflexión entonces f''(x0)=0

Condición suficiente.- Sea x0 / f''(x0)=0, entonces si además f'''(x0)"0, x0 es punto de inflexión.

Regla de L'Hopital.-

Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando :

i) f,g son derivables en (a,b)

ii) g'(x) " 0 para todo x" (a,b)

f'(x) _

iii) Existe lim ----- = l " R (real o ± ")

x!a g'(x)

iv) lim f(x) = lim g(x) = 0

x!a x!a

f(x)

Entonces existe lim ---- y su valor es l.

x!a g(x)

Con este resultado se resuelven todos los casos de inderteminación del calculo de limites : 0/0 , "/" , " - " , 0 * " , 1" , "0 y 00 ..

Representación de funciones

ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Propiedades de f obtenidas directamente Caracterización

  • Dominio (D) de la función x " D ! Existe y tal que y= f(x)

  • Recorrido (R) de la función y " R ! Existe x tal que y= f(x)

  • Simetrías:

  • a) Función par f(- x) = f(x) Eje de simetría OY

    b) Función impar f( - x) = - f(x) Centro de simetría el origen

  • Periodicidad f(x + T) = f(x) T periodo mínimo

  • Puntos de corte con los ejes:

  • a) Corte con el eje OX f(x)= 0 Ninguno, uno o más puntos

    b) Corte con el eje OY f(0) = y Ninguno o un punto

  • Regiones de existencia de la función:

  • a) Intervalos de positividad f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX

    b) Intervalos de negatividad f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX

  • Ramas infinitas. Puntos en el infinito:

  • a) Punto de partida de la gráfica (- ", ?) Cuadrantes II o III

    b) Punto de llegada de la gráfica ( + ", ?) Cuadrantes I o IV

  • Asíntotas:

  • a) Asíntotas verticales: x = u Cálculo diferencial
    = ±" (a = a, a+, a-)

    b) Asíntotas horizontales: y = k Cálculo diferencial
    = k

    c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n, m=Cálculo diferencial
    y b=Cálculo diferencial
    , m y n reales

  • Puntos de discontinuidad Cálculo diferencial
    " f(a)

  • Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas

  • Monotonía:

  • a) Intervalos de crecimiento f ' > 0

    b) Intervalos de decrecimiento f ' < 0

    c) Puntos críticos f '(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo

    f '(a)=0 y f''(a) < 0 Máximo

  • Curvatura:

  • a) Intervalos de convexidad f" > 0

    b) Intervalos de concavidad f" < 0

    c) Puntos de inflexión f"(a)=0 y f"'(a) > 0 Cóncavo - convexo

    f"(a)=0 y f"'(a) < 0 Convexo - cóncavo

    Añadir gráfico f'',f',f.

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