Cálculo diferencial e integral

Análisis matemático. Función, funciones. Límites. Derivada. Máximos y mínimos. Optimización. Integración. Integral definida. Área de curvas

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Función: Es un conjunto de parejas ordenadas ( x , y ); en donde todos los valores posibles de “ x “ se llama dominio de la función y todos los valores posibles de “ y “ se llama rango de la función.

Símbolo de función y = f ( x )

Se lee: “ y igual a f de x “

“ x “ es variable independiente.

“ y “ es variable dependiente.

Ejemplo:

Y = f ( x ) = x 2 - 2 x

Encontrar Dominio de la función

Encontrar Rango de la función

x

-2 -1 0 1 2 3

y

8 3 0 -1 0 3

y = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) = 4 + 4 = 8

y = ( -1 ) 2 - 2 ( -1 ) = 3

y = ( 0 ) 2 - 2 ( 0 ) = 0 - 0 = 0

y = ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) = 1 - 2 = -1

y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0

y = ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 9 - 6 = 3

Df = ( - " , " )

Rf = [ -1 , " )

Operaciones con funciones

Dado y = f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 encontrar:

  • y = f ( -2 ) = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) -3 = 4 + 4 - 3 = 5

  • y = f ( 3 ) = ( 3 ) 2 -2 ( 3 ) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

  • f ( -1 ) (-1) 2 - 2 ( -1 )-3 1 + 2 - 3 0

  • y = f ( 1 ) - f ( 2 ) = [ ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) - 3 ] [ ( -2 ) 2 - 2 ( -2 ) - 3 ] = [1-2-3]

  • [ 4 + 4 - 3 ] = [ -4 ] [ 5 ] = 20

  • y = f ( x + h ) = ( x + h ) 2 - 2 ( x + h ) - 3 = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 2h -3

  • y = f ( x + h ) = f ( x ) = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 3 - ( x 2 - 2 x - 3 )

  • = 2 x h + h 2 - 2 h

  • y = f ( x + h ) - f ( x ) = 2 x h + h 2 - 2 h = 2 x + h - 2

  • h h

    LIMITES

  • Lim. 3 x 2 - 2 x = 3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6 = 21

  • x ! 3

    " lim 3 x 2 - 2 x = 21

    x ! 3

  • Lim x - 4 = 4 - 4 = 0 = 0 x ! 4

  • 2x 2( 4 ) 8

  • Lim 3 x = 3 ( 1 ) = 3 = "

  • x ! 1 x - 1 1 - 1 0

  • Lim x 2 - 4 = ( 2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0 = 0

  • x ! -2 x 2 + 5 x + 6 ( - 2 ) 2 + 5 ( -2 ) + 6 4 - 10 -+ 6 -6 - 6

    indeterminación

    por lo tanto se factoriza

    Lim ( x + 2 ) ( x - 2 ) = lim x - 2 = - 2 -2_ = -4 =

    x ! -2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) x !-2 x + 3 -2 + 3 1

  • Lim " x + 1 - 3 = " 8 + 1 - 3 = 0 indeterminación

  • x ! 8 x - 8 8 - 8 0

    Multiplicar por su conjugado.

    Lim " x - 1 - 3 * " x + 1 + 3 = lim ( " x + 1 ) 2 - ( 3 ) 2

    x !8 x - 8 " x + 1 + 3 x ! 8 ( x + 8 ) ( " x + 1 +3 )

    = lim x + 1 - 9_______ = lim x - 8________ = lim 1___

    x ! 8 ( x - 8 ) ( " x + 1 + 3 ) x ! 8 ( x - 8 ) ( " x + 1 +3 ) x ! 8 "x +1+3

    = 1____ = 1__ = 1_

    " 8 + 1 + 3 3 + 3 6

  • Lim x 3 - 2 x 2 + 5 x = lim x 3 - 2 x 2 + 5 x

  • x ! " x + 3 x 2 + 4 x 3 x ! "__ x 3____________ =

    x + 3 x 2 + 4 x 3

    x 3

    1 - 2 + 5_

    = lim x x 2___ = lim 1 =

    x ! " 1 + 3 + 4 x ! " 4

    x 2 x

    DERIVADA

    La “derivada” es la pendiente tangente a una curva dada.

    Cálculo diferencial e integral

    Matemáticamente.

    Símbolo de la derivada.

    y´ = D x y = lim f ( x + " x ) - f ( x )

    "x ! 0 " x

    Ejemplo:

    Derivar mediante de la definición

    y = f ( x ) = x 2

    D x y = lim ( x + " x ) 2 - x 2

    " x ! 0 " x

    D x y = lim x 2 + 2 x " x + D x 2 - x 2 = lim 2 x " x + " x 2

    " x ! 0 " x " x ! 0 " x

    = lim 2 x + " x =

    " x ! 0

    FORMULAS DE DERIVADAS

  • D x c = 0

  • D x x = 1

  • D x x n = n x n - 1

  • D x ( u ± v ± w ) = D x v ± D x v ± D x w

  • D x ( u * v ) = u D x v + v D x u

  • D x u/v = v D x u - u D x v

  • v 2

  • D x u n = n u n - 1 D x u

  • Ejemplos:

    Derivar:

  • y = x 3 - 2 x + 5 " y 1 = 3 x 2 - 2

  • y = x 2 - 36 " y´ = ( x + 6 ) ( 2 x ) - ( x 2 - 36 ) ( 1 )

  • x + 6 ( x + 6 ) 2

    y´ = 2 x 2 + 12 x + - x 2 + 36 = x 2 + 12 x + 36 = ( x + 6 ) 2 = 1

    ( x + 6 ) 2 ( x + 6 ) 2 ( x + 6 ) 2

  • y= " x 2 + 2 x " y´ ½ ( x 2 + 2 x ) ½ - 1 ( 2 x + 2 )

  • = ½ ( x 2 + 2 x ) - 1/2 ( 2 x + 2 )

    y = ( x 2 + 2 x ) ½ y´ = 2 x 2_____ = 2 ( x + 1 )__

    2 ( x 2 + 2 x ) ½ 2 " x 2 + 2 x

    MÁXIMOS Y MINIMOS

    Dada la función y = f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - 10 x encontrar Máximo y Mínimo, punto de inflexión y graficar 3 2

    Solución. Criterio de la segunda derivada.

    y´ = x 2 - 3 x - 10 = 0 ! y´´ = 2 x - 3

    ( x 1 - 5 ) ( x 2 + 2 ) = 0 Es mínimo

    x 1 = 5 x 2 = 2 } Puntos Críticos y´´ = 2 ( 5 ) - 3 = 7

    y´´ = 2 ( -2 ) - 3 = -7

    Es máximo

    y´´ = 2 x - 3 = 0

    x = 3/2 “ punto de inflexión”

    y 1 = f ( x ) = ( 5 ) 3 - 3 ( 5 ) 2 - 10 ( 5 ) = 125 - 3 ( 25 ) - 50 = 41.66 - 37.5 - 50 =

    3 2 3

    y 2 = f ( -2 ) = ( -2 ) 3 - 3 ( -2 ) 2 - 10 ( -2 ) = -8 - 6 + 20 = -8 + 14 = -8 + 42 = 34 =

    3 2 3 3 3 3 3

    Cálculo diferencial e integral

    Angulo entre dos curvas.

    Cálculo diferencial e integral
    m 1 = f ´( x )

    m 2 = y´( x )

    Ejemplo.

    Hallar el ángulo entre las curvas.

    x 2 - 6 x - y = -6

    -2 x + y = - 7

    y = x 2 - 6 x + 5 ! y´ = 2 x - 6 " m 1 = 2 ( 6 ) - 6 = 6

    y = 2 x - 7 ! y´ = 2 " m 2 = 2

    igualar

    x 2 - 6 + 5 = 2 x - 7

    x 2 - 8 x + 12 = 0

    ( x 1 - 6 ) ( x 2 - 2 ) = 0

    x 2 = 2

    y 2 = - 3

    Cálculo diferencial e integral
    tan Ø = 2 - 6___

    1 + ( 6 ) ( 2 )

    tan Ø = - 4_

    13

    Ø = tan -1 ( -4 / 13 )

    Ø 1 = 17.10 °

    Ø 2 = 162.89°

    Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

    Se pretende hacer una caja sin tapa de una lámina de aluminio de 10 cm. por lado (cuadrado) se deberá de cortar de las esquinas. ¿Cuánto se deberá de cortar en las esquinas para obtener un máximo volumen?

    Cálculo diferencial e integral
    Cálculo diferencial e integral

    v ( x ) = ( 10 - 2 x ) ( 10 - 2 x ) x

    v ( x ) = ( 10 - 2 x ) 2 x = ( 100 - 40 x + 4 x 2 ) x = 100 x - 40 x 2 + 4 x 3

    v´( x ) = 100 - 80 x + 12 x 2 " v ´´ ( x ) = - 80 + 24 x

    v´´ ( 5 / 3 ) = - 80 + ( 24 ) ( 5 / 3 ) = - 40

    3 x 2 - 26 x + 25 = 0

    x = - ( - 20 ± " ( - 20 ) 2 - 4 ( 3 ) ( 25 ) = 20 ± " 400 - 300

    2 ( 3 ) 6

    x = 20 ± " 100 = 20 ± " 100 = 20 ± 10

    6 6 6

    x 1 = 5 x 2 = 10 = 5

    6 6

    DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y LOGARÍTMICAS

  • y = sen v " y´ = cos v v´

  • y = cos v " y´ = - sen v v´

  • y = tan v " y´ = sec 2 v v´

  • y = csc v " y´ = - csc v cot v v´

  • y = sec v " y´ = sec v tan v v

  • y = cot v " y´ = - csc 2 v v

  • y = Ln v " y´ = v´

  • v

  • y = e v " y1 = e v * v 1

  • Ejemplos

    Derivar

  • y = f ( x ) = cos x 2 - sen 3 x " y 1 = - sen x 2 ( 2 x ) - cos 3 x ( 3 )

  • y 1 = - 2 x sen x 2 - 3 cos 3 x

  • y = f ( x ) = tan 2 x 2 + sec 3 x

  • y1 = f´( x ) = sec 2 2 x 2 4 x + sec 3 x tan 3 x ( 3 )

    y1 = 4 x sec 2 2 x 2 + 3 sec 3 c tan 3 x

  • y = Ln csc 2 x " y1 = - csc x cot 2 x ( 2 ) =

  • csc 2 x

  • y = e 3x2 " y1 = e 3 x 2 ( 6 x ) " y1 = 6 x e 3 x 2

  • CALCULO INTEGRAL

    FORMULAS

  • " d u = u + c

  • " a d u = a " d u

  • " u m d u = u m +1 + c

  • m + 1

  • " ( u ± v ± w ) d x = " u d x ± " v d x ± " w d x

  • " d u = L n u +c

  • u

  • " e u d u = e u + c

  • "sen u d u = cos u + c

  • " cos u d u = sen u + c

  • " tan u d u = - L n | cos v | + c

  • " ba  ( x ) d x = f ( b ) - g ( a )|ba

  • Integración por partes

  • " w d v = u v - " v d u

    Ejemplos.

  • " ( x 2 - 2 x + 4 ) d x = " x 2 d x - " c x d x + " 4 d x = x 2 + 1 - 2 x 2 + 4 x + c

  • + 1 2

  • " " x 2 - 2 x ( 6 x - 6 ) d x

  • = " ( x 2 - 2 x ) ½ m ( 6 x - 6 ) d x = 3 " u ½ d u = 3 U 3/2 + c = 2 " v 3 + c

    v d v 3/2

    v = x 2 - 2 x

    d v = ( 2 x - 2 ) d x

  • " ( 3 x 3 - 9 x 2 ) 5 ( 18 x 2 - 36 x ) d x = ½ " v 5 d v = ½ v 6 + 6

  • 6/1

    v = 3x 2 - 9 x 2 = 1/12 v 6 + c

    d v = ( 9 x 2 - 18 x ) d x

  • "21 ( x 2 - 2 x ) d x = " 21 d x - " 21 x 2 d x - " 21 2 x = x 3 - 2 x 2 | 21 = x 2 - x 2 | 21 =

  • ( 2 ) 3 - ( 2 ) 2 - ( 1 ) 3 - ( 1 ) 2
    3 3

    = 8/3 - 4 - 1/3 + 1 = 8/3 - 12/3 - 1/3 + 3/3 =

    Hallar el area bajo la curva de la función.

  • y = f ( x ) = x 2 - 3 x

  • Cálculo diferencial e integral

    A " 30 ( x 2 - 3 x ) d x =

    A " 30 x 2 d x - 3 " 30 x d x = x 3 / 3 - 3 x 2 / 2 | 30

    A ( 3 ) 3 / 3 - 3 ( 3 ) 2 /2 - ( 0 3 /3 - 3 ( 0 ) 2 /2 )

    A 9 - 27/2 = 18/2 -27/2 =

  • " sen 3 x 2 * 2 x d x = 1/3 " sen d v = 1/3 ( - cos ) + c

  • v = 3 x 2 = -1/3 cos v + c = -1/3 cos 3 x 2 + c

    d v = 6 x d x

  • " 2 d x = 2 " d x =

  • x + 8 x + 8

    v = x + 8

    d v = d x

    - 4

    1

    4

    2 x

    y´ = x + 1__

    " x 2 + 2 x

    - 45.84

    11.33

    x 1 = 6

    y 1 = 5

    Con x = 5 / 3 es máximo

    - 2 cot 2 x

    = x 3 - x 2 + 4 x + c

    3

    2 " ( x 2 - 2 x ) 3 + c

    = 1/12 ( 3 x 2 - 9 x 2 ) 6 + c

    -2 / 3

    - 9 /2 v 2

    2 Ln | x + 8 | + C

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