1. Encuentre el volumen de la región limitada por y = x2, el eje x y la recta x = 5
alrededor del el eje y
V = a " b { F(x)2 - G(x)2 } Dx
V = 0 " 50 [(25 - " y/2)2 ] Dy
V = 0 " 50 [(25 - y/2 ] Dy
V = [25y - y2/4 ]50 Dy
V = 625 u3
2. Encuentre el volumen de la región limitada por f(x) = x2 + 1, alrededor de la recta x = 3
h = Xi2 + 1
"Xi = Dx
rm = 3 - x
a) V = 2 a " b (x) (f(x)) Dx
V = 2 0 " 2 (3 - x) (x2 + 1) Dx
V = 2 a " b (-x3 + 3x2 -x + 3) Dx
V = 2 [(-x4/4 + x3 -x2/2 + 3x)]2
V = 16 u3
3. Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta x = 2, la región
Limitada por las gráficas de y = x3 + x + 1, y = 1 y x = 1
V = 2 a " b p(x)h(x)Dx
V = 2 0 " 1 (2 - x ) (x3 + x +1 -1 )Dx
V = 2 0 " 1 (-x4 + 2x3 -x2 + 2x ) Dx
V = 2 [-x5/5 + x4/2 -x3/3 +x2 ]10
V = 2 (-1/5 + ½ -1/3 +1 )
V = 29 /15 u3
4. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de
y = x2 +1 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 en torno al eje y
Método de capas
V = 2 a " b p(x)h(x)Dx
V = 2 0" 1 x(x2 +1)Dx
V = 2 [x4/4 + x2/2]1
V = 3 /2 u3
5. Calcular el volumen de un sólido de revolución engendrado por la región limitada
y = 1/ (x2 + 1)2 y el eje x ( x menor e igual a 1 y x mayor e igual a 0 )
V = 2 a " b p(x)h(x)Dx
V = 2 0"1 x /(x2 + 1)2 Dx
V = [- /x2 + 1 ]10
V = /2 u3
6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por
Y = x - x3 y el eje x ( x menor e igual q 1 y x mayor e igual q 0)
V = 2 a " b p(x)h(x) Dx
V = 2 0 " 1 x(x - x3) Dx
V = 2 0 " 1 (-x4 +x2) Dx
V = 2 [-x5/5 + x3/3]
V = 4 /15 u3
7. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar sobre el eje x la
región encerrada en el primer cuadrante por la elipse 4x² + 9y ²=36 y los ejes coordenados.
Y = ! "(9-x²)
V= 4/9 0"³ [(9-x²)] Dx
V= 4/9 [9x - !x3]3
V = 8 u3
8. Encontrar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje y la región limitada por la
curva y = x³, el eje y y la recta y = 3
V = 0"³ [y 2/3] Dy
V = [3/5 y 5/3]3
V = 3.74 u3
9. Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las
parábolas y = x ² , y ² = 8x
V = 0"² [(8x - x4)] dx
V = [4x2 - 1/5 x5]2
V = 48 / 5 u3
10. Encontrar el volumen generado por las gráficas x = y2 , x = y + 6 haciendo rotar el eje y.
V = a " b { F(x)2 - G(x)2 } Dx
V = -2 "3 [(y + 6) 2 - (y2) 2 ] Dy
V = -2 "3 (y2 + 12y + 36 - y4 ) Dy
V = [ !y3+ 6y2 + 36y - 1/5 y5] -2 3
V = 500 / 3 u3
11. Encontrar el volumen generado por la gráfica y = x3 - x , el eje x al rotar y = 0
V = -1 " 1[(x3 - x )2 ] Dy
V = 2 0 " 1[x6 - 2x4 + x2 ] Dy
V = 2 [1/7 x7 - 2/5 x5 + 1/3 x3]
V = 16 /105 u3
12. Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región
Limitada por la curva (x - 1)2 = 20 - 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3
V = 1"3 [(" 20 - 4y + 1) - 1]2 Dx
V = 1"3 [ 20 - 4y ] Dx
V = [ 20y - 2y2 ]31
V = 24 u3
13. Hallar el volumen al girar el área limitada por la parábola y2 = 8x y la
ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y
V = -4 " 4 4 Dy - -4 " 4 x2 Dy
V = 2 0 " 4 (4 - x2) Dy
V = 2 0 " 4 (4 - y4/64) Dy
V = 2 [4y - y5/320]40
V = 128 /5 u3
14. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola
y = 4x - x2 y el eje x con respecto a la recta y = 6
V = 0 " 4 [62 - (6 - y)2 ] Dx
V = 0 " 4 (12y - y2) Dx
V = 0 " 4 (48x - 28x2 +8x3 -x4) Dx
V = [24x2 - 28x3/3 + 2x4 -x5/5]40
V = 1408 /15 u3
15. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola
y2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto a esa recta (método de anillo)
V = 8 (2) ½ 0 " 2 (2 - x ) (x)1/2 Dx
V = 8 (2) ½ 0 " 2 (2x1/2 - x3/2) Dx
V = 256 /15 u3
16. Encontrar el Volumen engendrado al girar sobre el eje y, la región del primer cuadrante
Situada por encima de la parábola y = x2 y por debajo de la parábola y = 2 - x2
V = 4 0"1 (x - x3) Dx
V = 4 0[ ½ x2 - ¼ x4]1
V = u3
17. Encontrar el volumen de un sólido de revolución engendrado al girar sobre el eje y la región limitada por la curva y = (x - 1)3, el eje x, y la recta x = 2
V = 2 1"2 x(x - 1)3Dx
V = 2 1"2 (x4 - 3x3 + 3x2 -x)Dx
V = 2 [x5/5 - 3x4/4 + x3 - x2/2]21
V = 9/10
18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = 4 - x2 , 4y = 4 - x2 al
hacer rotar el eje x.
V = -2"2 [(4 - x2) 2 - (1 - ¼ x2 ) 2 ]Dx
V = 2 0"2 (16 - 8x2 + x4 - 1 + ½ x2 + 1/16x4)Dx
V = 2 [15x - 5/2 x2 - 3/16 x4]2
V = 32 u3
18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = x2 , y2 = 8x al
hacer rotar el eje x.
V = -2"2 [(4 - x2) 2 - (1 - ¼ x2 ) 2 ]Dx
V = 2 0"2 (16 - 8x2 + x4 - 1 + ½ x2 + 1/16x4)Dx
V = 2 [15x - 5/2 x2 - 3/16 x4]2
V = 32 u3
20.. Encontrar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada
Por la parábola y2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje x