Cálculo de volúmenes por integración

1. Encuentre el volumen de la región limitada por y = x2, el eje x y la recta x = 5

alrededor del el eje y

V =  a " b { F(x)2 - G(x)2 } Dx

V =  0 " 50 [(25 - " y/2)2 ] Dy

V =  0 " 50 [(25 - y/2 ] Dy

V =  [25y - y2/4 ]50 Dy

V = 625  u3

2. Encuentre el volumen de la región limitada por f(x) = x2 + 1, alrededor de la recta x = 3

h = Xi2 + 1

"Xi = Dx

rm = 3 - x

a) V = 2  a " b (x) (f(x)) Dx

V = 2  0 " 2 (3 - x) (x2 + 1) Dx

V = 2  a " b (-x3 + 3x2 -x + 3) Dx

V = 2  [(-x4/4 + x3 -x2/2 + 3x)]2

V = 16  u3

3. Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta x = 2, la región

Limitada por las gráficas de y = x3 + x + 1, y = 1 y x = 1

V = 2  a " b p(x)h(x)Dx

V = 2  0 " 1 (2 - x ) (x3 + x +1 -1 )Dx

V = 2  0 " 1 (-x4 + 2x3 -x2 + 2x ) Dx

V = 2  [-x5/5 + x4/2 -x3/3 +x2 ]10

V = 2  (-1/5 + ½ -1/3 +1 )

V = 29  /15 u3

4. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de

y = x2 +1 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 en torno al eje y

Método de capas

V = 2  a " b p(x)h(x)Dx

V = 2  0" 1 x(x2 +1)Dx

V = 2  [x4/4 + x2/2]1

V = 3  /2 u3

5. Calcular el volumen de un sólido de revolución engendrado por la región limitada

y = 1/ (x2 + 1)2 y el eje x ( x menor e igual a 1 y x mayor e igual a 0 )

V = 2  a " b p(x)h(x)Dx

V = 2  0"1 x /(x2 + 1)2 Dx

V = [- /x2 + 1 ]10

V =  /2 u3

6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por

Y = x - x3 y el eje x ( x menor e igual q 1 y x mayor e igual q 0)

V = 2  a " b p(x)h(x) Dx

V = 2  0 " 1 x(x - x3) Dx

V = 2  0 " 1 (-x4 +x2) Dx

V = 2  [-x5/5 + x3/3]

V = 4  /15 u3

7. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar sobre el eje x la

región encerrada en el primer cuadrante por la elipse 4x² + 9y ²=36 y los ejes coordenados.

Y = ! "(9-x²)

V= 4/9 0"³ [(9-x²)] Dx

V= 4/9 [9x - !x3]3

V = 8  u3

8. Encontrar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje y la región limitada por la

curva y = x³, el eje y y la recta y = 3

V =  0"³ [y 2/3] Dy

V = [3/5 y 5/3]3

V = 3.74 u3

9. Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las

parábolas y = x ² , y ² = 8x

V =  0"² [(8x - x4)] dx

V =  [4x2 - 1/5 x5]2

V = 48 / 5 u3

10. Encontrar el volumen generado por las gráficas x = y2 , x = y + 6 haciendo rotar el eje y.

V =  a " b { F(x)2 - G(x)2 } Dx

V =  -2 "3 [(y + 6) 2 - (y2) 2 ] Dy

V =  -2 "3 (y2 + 12y + 36 - y4 ) Dy

V =  [ !y3+ 6y2 + 36y - 1/5 y5] -2 3

V = 500  / 3 u3

11. Encontrar el volumen generado por la gráfica y = x3 - x , el eje x al rotar y = 0

V =  -1 " 1[(x3 - x )2 ] Dy

V = 2 0 " 1[x6 - 2x4 + x2 ] Dy

V = 2 [1/7 x7 - 2/5 x5 + 1/3 x3]

V = 16 /105 u3

12. Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región

Limitada por la curva (x - 1)2 = 20 - 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3

V =  1"3 [(" 20 - 4y + 1) - 1]2 Dx

V =  1"3 [ 20 - 4y ] Dx

V =  [ 20y - 2y2 ]31

V = 24 u3

13. Hallar el volumen al girar el área limitada por la parábola y2 = 8x y la

ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y

V = -4 " 4 4  Dy - -4 " 4 x2 Dy

V = 2 0 " 4 (4 - x2) Dy

V = 2 0 " 4 (4 - y4/64) Dy

V = 2 [4y - y5/320]40

V = 128 /5 u3

14. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

y = 4x - x2 y el eje x con respecto a la recta y = 6

V =  0 " 4 [62 - (6 - y)2 ] Dx

V =  0 " 4 (12y - y2) Dx

V =  0 " 4 (48x - 28x2 +8x3 -x4) Dx

V =  [24x2 - 28x3/3 + 2x4 -x5/5]40

V = 1408 /15 u3

15. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

y2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto a esa recta (método de anillo)

V = 8 (2) ½  0 " 2 (2 - x ) (x)1/2 Dx

V = 8 (2) ½  0 " 2 (2x1/2 - x3/2) Dx

V = 256 /15 u3

16. Encontrar el Volumen engendrado al girar sobre el eje y, la región del primer cuadrante

Situada por encima de la parábola y = x2 y por debajo de la parábola y = 2 - x2

V = 4 0"1 (x - x3) Dx

V = 4 0[ ½ x2 - ¼ x4]1

V =  u3

17. Encontrar el volumen de un sólido de revolución engendrado al girar sobre el eje y la región limitada por la curva y = (x - 1)3, el eje x, y la recta x = 2

V = 2 1"2 x(x - 1)3Dx

V = 2 1"2 (x4 - 3x3 + 3x2 -x)Dx

V = 2 [x5/5 - 3x4/4 + x3 - x2/2]21

V = 9/10

18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = 4 - x2 , 4y = 4 - x2 al

hacer rotar el eje x.

V =  -2"2 [(4 - x2) 2 - (1 - ¼ x2 ) 2 ]Dx

V = 2 0"2 (16 - 8x2 + x4 - 1 + ½ x2 + 1/16x4)Dx

V = 2 [15x - 5/2 x2 - 3/16 x4]2

V = 32 u3

18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = x2 , y2 = 8x al

hacer rotar el eje x.

V =  -2"2 [(4 - x2) 2 - (1 - ¼ x2 ) 2 ]Dx

V = 2 0"2 (16 - 8x2 + x4 - 1 + ½ x2 + 1/16x4)Dx

V = 2 [15x - 5/2 x2 - 3/16 x4]2

V = 32 u3

20.. Encontrar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada

Por la parábola y2 = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje x

V =  a " b y2 Dx

V =  0 " 2 8x Dx

V = 4 [x2]20

V = 16  u3