Cálculo de incertidumbres en las mediciones

Pontificia Universidad Javeriana

Laboratorio 1

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES

Presentación del laboratorio

28 de agosto de 2002

RESUMEN

Tal y como concebimos la ciencia, toda teoría tiene fundamentada su validez en la constatación con la evidencia experimental, la cual está soportada en últimas por la medición de variables físicas. Sin embargo, la medición de una cantidad física por si sola, sin la especificación de su rango de incertidumbre o fiabilidad, no contiene mucha utilidad en la ciencia. Esto lo podemos corroborar con el experimento en el laboratorio, el cual, utilizando un montaje que consiste en una cuerda y una pesa (simulando un péndulo) permite la toma de diferentes medidas para encontrar la incertidumbre o fiabilidad.

2. INTRODUCCIÓN

l propósito del experimento es aprender a calcular incertidumbres en las mediciones que realizamos en nuestros experimentos y comprobar así que toda medición tiene una incertidumbre o margen de error el cual se pudo hallar por medio de métodos estadísticos y otros no estadísticos.

Para hallar la incertidumbre del periodo de oscilación del péndulo se utilizara un método estadístico que se basa en calcular la desviación estándar de la media y para hallar la incertidumbre de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad (hallada indirectamente con los valores del periodo y de la longitud del péndulo) se utilizara un método no estadístico.

Al final tendremos como resultado el valor aproximado de la aceleración de la gravedad con base en los resultados de nuestros datos.

3. OBJETIVOS

Estudiar los conceptos básicos de magnitudes y mediciones

Utilizar el histograma que nos arrojan los datos durante la experiencia para aplicar análisis de graficas

Desarrollar los conceptos de desviación estándar, incertidumbre relativa, incertidumbre estándar de la media, promedio, histograma, error sistemático, error aleatorio

Analizar las posibles causas de error que nos pudieron arrojar datos inexactos.

4. MARCO TEÓRICO

Magnitudes y

Mediciones: El Objeto de toda medida es obtener una información cuantitativa de una cantidad física. Para esto es necesario definir las Magnitudes Físicas Fundamentales, a fin de poder expresar los resultados de las medidas. Las magnitudes Físicas son las que no pueden definirse con respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda la física puede ser discreta. Tenemos varios tipos de magnitudes como:

la Longitud (unidad de longitud el metro (m)),

La Masa (unidad de longitud el kilogramo (Kg.)),

El Tiempo (unidad de longitud el segundo (s)),

Las Cargas eléctricas, entre otras.

Existen magnitudes derivadas las cuales se obtienen de las magnitudes fundamentales anteriormente mencionadas, por medio de ecuaciones matemáticas.

Acerca de medición de Masas, podemos decir que medir una masa es compararla con la masa de un cuerpo definido como unidad; esta masa tiene un valor constante, independiente de cualquier condición en donde se encuentre el cuerpo. Esta medición se puede saber mediante una balanza, ayudada de masas calibradas con las masas patrones.

Medir una Longitud es compararla con otra escogida como unidad. Hay ciertos instrumentos que permiten esta operación como lo son el metro, uno de los instrumentos de medición mas común existente, el metro se encuentra dividido en cm (10-2m) y mm (10-3 m), aunque hay casos en los cuales los encontramos en pulgadas.

Ahora bien, en la medición de Tiempo, se deben distinguir dos clases de medidas:

La determinación de la hora; la cual se hace en los observatorios, por el estudio de las posiciones de las estrellas. La segunda, la medida de un intervalo de tiempo, por ejemplo, la medida de la duración de un fenómeno; se hace con los relojes.

5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Lista de materiales empleados:

Un soporte para sostener el péndulo
Una Cuerda
Una pesa o cuerpo rígido
Una regla
Un cronómetro

Tomamos la medida de la cuerda la cual estaba amarrada de un extremo a un soporte y en el otro extremo estaba amarrado a la pesa, medimos desde la punta del soporte hasta el extremo donde termina la masa y nos dio como resultado 88.2cm ± ---; luego se empezaron a hacer lanzamientos.

Cada período lo registrábamos con la ayuda del cronómetro; tomamos 50 períodos los cuales quedaron registrados en nuestro cuaderno de apuntes, el cual se procedió a darle una copia de los datos obtenidos en el laboratorio al profesor asignado; proseguimos con los métodos estadísticos (Promedio, Desviación estándar, Histograma)

Las siguientes son las formula ha usar en los cálculos estadísticos

Varianza de Muestra: es aproximadamente el promedio de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada una de las observaciones en una serie de datos y la Media. Se denota pro medio de la siguiente fórmula:

En términos de sumatoria se denota así:

Donde : Media aritmética de la muestra

n: Tamaño de muestra

: Inésimo valor de la variable aleatoria x

Media Aritmética: o media es el promedio o medición de tendencia central de uso más común.

Se calcula sumando la serie de datos y luego dividiendo el total entre el número de elementos involucrado. Se representa mediante la siguiente formula.

Y en notación de sumatoria sería:

Donde: x: Medida aritmética

n: Tamaño de la muestra

xi: Enésima observación de la variable aleatoria x

6. DATOS OBTENIDOS

Los datos de tiempos de oscilación del péndulo que obtuvimos en el laboratorio 1 se encuentran en la tabla 2 ordenada en forma ascendente la cual encontramos al final del laboratorio, además se complementa con un Histograma “Grafica 1”.

Los datos de longitud obtenidos en el laboratorio 1 se encuentran en la tabla 4

7. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Primero medimos la longitud de la cuerda con una regla 4 veces y el promedio obtenido nos dio como resultado 88.17 cm

Para hallar el promedio de la longitud de la cuerda se realizo el siguiente calculo:

Para hallar el promedio del periodo se realizo el siguiente cálculo:

Porque se puede tomar como el resultado mejor estimado?

Consideramos este dato como el mejor estimado, pues este resulta de una repetición en la medición de los tiempos y de su respectiva división por el numero de veces medido, con lo cual nos podemos acercar un poco más a un dato confiablemente real, pues se podría decir que este es el dato que esta en el medio de todos los obtenidos.

Cuales fueron las principales fuentes de variabilidad en el sistema que acabamos de emplear para mediar el periodo?

Las principales fuentes de variabilidad que consideramos que influyen en la diferencia entre los datos obtenidos son:

Reacción en la toma del tiempo
Elasticidad en la cuerda
Montaje en posición incorrecta
Desgaste de los instrumentos de medición

Para hallar la desviación estándar del periodo realizamos el siguiente calculo:

Para determinar la incertidumbre del periodo, como la incertidumbre estándar de la media realizamos el siguiente calculo:

la incertidumbre de resolución dada por el cronometro que se estima como la mitad de la división de escala del instrumento

Incertidumbre obtenido por la suma de la incertidumbre estimadas de resolución y de repetibilidad

El valor que corresponde a T con su incertidumbre es

Para hallar la incertidumbre relativa

De acuerdo con el dato anterior, discuta la calidad de su resultado

Teniendo en cuenta los instrumentos de medición, los cuales tienen un alto grado de error, podemos concluir que nos arrojo un resultado muy aproximado al convencionalmente verdadero

Para hallar la desviación estándar de la longitud realizamos el siguiente calculo:

Para determinar la incertidumbre del longitud, como la incertidumbre estándar de la media realizamos el siguiente calculo:

la incertidumbre de resolución dada por la regla que se estima como la mitad de la división de escala del instrumento

la incertidumbre de repetibilidad de la cuerda

Para hallar la incertidumbre relativa

La tabla con las variables de influencia y componentes de incertidumbre de la longitud de la cuerda se encuentra en la tabla 3 al final del laboratorio en los anexos

Tomando y el valor L medido en el laboratorio, hallamos el periodo el cual vamos a tomar como el valor convencionalmente verdadero

A partir de las medidas de T y l obtenidas, con la expresión anterior.

Calcule el valor de g

Con las incertidembres como componentes de la incertidumbre .

Identifique la regla de combinación y determine la incertidumbre del resultado obtenido anteriormente

Incertidumbre relativa de la gravedad

Error de la gravedad

Error del periodo

Error sidtemático

Error aleatorio del periodo.

8. PREGUNTAS

Explique si las medidas fueron hechas bajo condiciones de repetibilidad o reproducibilidad?

Las medidas fueron tomadas de repetibilidad ya que fueron efectuadas bajo las mismas condiciones.

9. CONCLUSIONES

Con este laboratorio pudimos observar los métodos para realizar mediciones con sus respectivos cálculos de incertidumbres, comprobando que las incertidumbres se pueden hallar de dos formas: con métodos estadísticos, y no estadísticos. En este laboratorio utilizamos el método estadístico para hallar la desviación en el periodo del péndulo y el no estadístico para hallar incertidumbres de objetos que participan en las mediciones, pero que por distintas razones no se puede hallar la incertidumbre por medios estadísticos, como los instrumentos de medida, el montaje y el tiempo de reacción de la persona que observa el experimento.

También pudimos hallar luego de diferentes cálculos y formulas la gravedad en el laboratorio con su respectiva incertidumbre.

Dentro de las diferentes incertidumbres que pudimos encontrar, están la incertidumbre relativa del periodo, de la longitud de la regla, de la gravedad, y la desviación estándar de la media.

Después de utilizar formulas logramos encontrar la resolución del instrumento de medida el cual utilizamos para tomar el tiempo de oscilación del péndulo el cual fue de 0.005 s.

Para poder hallar incertidumbres por métodos no estadísticos, tuvimos que analizar las posibles fuentes de incertidumbre y estimar un valor para esta, algunas de ellas son: capacidad visual, tiempo de reacción, calidad del montaje, calidad de instrumentos de medición (Desgaste, Material)

10. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Física general con experimentos sencillos. Beatriz Alvarenga, Antonio Máximo. Editorial Harla, México. 1979, 1980, 1981

Física Fundamental 1. Michael Valero. Editorial Norma, Colombia. 1996.

Villegas Mauricio, Ramírez Ricardo, investiguemos 10, Voluntad, Bogota 1989

ANEXOS

“Datos de tiempos de oscilación del péndulo”

TABLA 1

“Datos de tiempos de oscilación del péndulo en forma ascendente”

TABLA 2

TABLA 3

Variable de influencia (Nombre de la variable)	Componente de incertidumbre (Valor estimado) (cm)
capacidad visual - ceguera	"V ± 0.05
cuerda - elasticidad	"L ± 0.2
montaje - posición	"M ± 0.2
regla - desgaste	"R ± 0.05
reacción - medidor	"r ± 0.2
INCERTIDUMBRE COMBINADA l:	"l:0.7