BRAQUISTÓCRONA

INTRODUCCIÓN

Si preguntamos a cualquier persona que grafique la trayectoria que un cuerpo hace cuando se desplaza de un punto a otro de menor altura, en un campo gravitatorio, es probable que éste diga que la trayectoria es una recta que una esos puntos. En contra de lo que parecería a primera vista, la línea recta no es la que permite el descenso más rápido, sino una curva que se llama braquistócrona (del griego braquis, corto, y cronos, tiempo), también conocida como cicloide.

La braquistocrona fue encontrada a fines del Siglo XVII y su historia es muy interesante, ya que involucró a los más grandes matemáticos de esa época.

HISTORIA

El 29 de enero de 1697 Newton recibía una carta procedente de Basilea que contenía dos problemas. Aunque también había sido enviada, además de a Newton, a otros cuantos matemáticos del continente.

El remitente de la misiva era Johann Bernoulli (1667-1748) aunque Gottfried Leibniz(1646-1716), que mantenía con Newton varias disputas, también había influido en su envío. El reto tenía aparentemente intención de desafiar a Newton, quien se había alejado de las actividades científicas; y es que el problema requería del cálculo diferencial e integral, cuya paternidad se discutía entre Newton y Leibniz, ya que se lo descubrieron de forma simultánea e independiente.

La carta llego a manos de Newton a las 6 de la tarde y a las cuatro de la mañana ya había resuelto ambos problemas. A la mañana siguiente Newton envió las soluciónes al presidente de la Royal Society. Las soluciones fueron publicadas de forma anónima en el número de febrero de 1697 de Philosophical Transactions. Newton resolvió en unas horas lo que a muchos matemáticos de la época le hubiese costado todas una vida. Varignon, L´Hôpital o David Gregory que también habían recibido los problemas fueron incapaces de resolverlos.

Pese al anonimato con que se publicaron las soluciones, por la elegancia de las mismas Bernoulli reconoció de inmediato a su autor y al leer el artículo en Philosophical Transactions exclamo: "Ex ungue leonis" ("De las garras del león").

En mayo de 1697, el Acta Eruditorum publicó cuatro soluciones, cuyos autores eran Leibniz, el mismo Bernoulli y su hermano mayor Jacob, y la anónima de Newton.

El problema de la braquistocrona y otros semejantes, hicieron que se desarrollara lo que ahora se conoce como cálculo de variaciones en mecánica racional o teórica.

PROBLEMA

El primero de los problemas propuestos por Johann Bernoulli a Newton es el denominado problema de la braquistócrona. Consiste en determinar la curva a través de la que el tiempo que tarde un objeto en caer de un punto a otro sea mínimo.

Esta curva resulto ser un arco de cicloide. La cicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta sin deslizar. Para darnos una mejor idea proponemos una experiencia: colocamos un marcador en la periferia de un aro, hacemos rodar éste, sin deslizar, de manera que el marcador marque en una superficie su movimiento, el marcador trazará una cicloide con su parte cóncava hacia abajo. Si este dibujo se da vuelta, obtendrá una braquistocrona. El dibujo tendrá un aspecto como el de la figura, donde la forma de la cicloide corresponde a la curva envolvente exterior.

ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE PROPIEDADES DE LA BRAQUISTOCRONA

Tomemos unos ejes coordenados convenientes, sobre la superficie donde se apoya esta rueda y coincidente con la rueda se establecerá el eje x y el eje y será la perpendicular a ella por el punto que se ha señalado en la rueda cuando éste está en el suelo.

Si hacemos que la rueda ruede un poco y veamos dónde va a parar el punto P de la circunferencia. Cuando el centro del círculo C ha pasado a C´, el punto P ha pasado a P´. Este es el punto cuya ecuación queremos. Llamamos a sus coordenadas (x,y). Como la rueda no resbala sobre el suelo, lo que sabemos es que la longitud del arco LP sobre la circunferencia es igual a la longitud del segmento rectilíneo OL. Si llamamos  al ángulo LC´P´ medido en radianes, resulta OL = LP´ = r. Por otra parte, las coordenadas de P´ en nuestro sistema son:

x = OL - P´S = r - rsen

y = SL = C´L - C´S = r - rcos

Así obtenemos la ecuación en coordenadas paramétricas de la cicloide

x = r - rsen

y= r - rcos

La cicloide tiene propiedades geométricas muy interesantes. Por ejemplo, la longitud de la cicloide es 8 veces la del radio de la rueda que la genera y el área bajo la cicloide es tres veces la del círculo que engendra la curva; por tanto las áreas de las tres regiones señaladas en la figura inicial, marcadas con los números 1, 2 y 3 son iguales.

BIBLIOGRAFÍA

• http://bib0.unsl.edu.ar/baea/prof-cs/nro1-03/pcs-nro1.htm#art4

• http://www.geocities.com/capecanaveral/lab/1719/anecdotas.html#newton