Área de una región poligonal en plano cartesiano

Geometría. Polígonos. Determinante Gauss. Vértices

  • Enviado por: Julio A. Miranda Ubaldo
  • Idioma: castellano
  • País: Perú Perú
  • 6 páginas

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Área de una región poligonal en el plano cartesiano

Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido

antihorario, tiene como coordenadas : Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,........,Área de una región poligonal en plano cartesiano

Entonces el área de la región poligonal Área de una región poligonal en plano cartesiano
correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

Área de una región poligonal en plano cartesiano
.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
correspondiente

a la coordenada de Área de una región poligonal en plano cartesiano
.

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

I D

De donde : Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Luego el valor de la determinante estará dada por :

Área de una región poligonal en plano cartesiano
....(2)

Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

Área de una región poligonal en plano cartesiano
....(3)

Notas :

a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.

b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)

Ejercicio de aplicación :

Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano
y Área de una región poligonal en plano cartesiano

Solución:

Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
luego:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Reemplazando estos valores en (1) :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Por lo tanto :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano

Haciendo un gráfico:

Elijamos como primer vértice al par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
luego:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Reemplazando estos valores en (1):

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Por lo tanto :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:

Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
.

Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo

Elijamos como primer par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
luego:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Reemplazando estos valores en (1) :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Por lo tanto :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Como puede darse cuenta estimado estudiante este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.

Esperando que te sea provechoso este trabajo me despido, hasta próxima.

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano

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