Aplicaciones lineales

Homomorfismo espacios vectoriales. Imagen y núcleo de una aplicación lineal. Base. Sistema generador. Isomorfismo, epimorfismo, monomorfismo. Matrices

  • Enviado por: Pepelu
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 8 páginas
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APLICACIONES LINEALES

CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Sean (U,+,·), (V,+',·') Kev. Entonces se dice que una aplicación Aplicaciones lineales
es un HOMORFISMO ENTRE ESPACIOS VECTORIALES (o aplicación lineal) si se verifica que:

1)"u1,u2"U ! f(u1+u2)=f(u1)+'f(u2)

2)"u"U, ""K ! f(u)= ·'f(u)

OBSERVACIÓN:

  • Si Aplicaciones lineales
    es una aplicación lineal, entonces: Aplicaciones lineales

  • Por tanto Aplicaciones lineales

  • De forma análoga a lo ya estudiado se introducen las nociones de mono, epi, endo, iso y

  • Se definen también el nucleo y la imagen:

  • Sea Aplicaciones lineales
    una aplicación lineal

    Aplicaciones lineales

    EJEMPLOS BÁSICOS:

    Aplicaciones lineales
    Si, pues se cumplen ambas condiciones

    Aplicaciones lineales
    No, pues Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    No, pues Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    Si, pues cumple ambas condiciones.

    CONCEPTOS BÁSICOS:

    PROPOSICIÓN: Sea Aplicaciones lineales
    una aplicación lineal, entonces se verifica que:

    1)Ker(f) es un Sev de U

    2)Im(f) es un Sev de V

    Demostración:

    1)Aplicaciones lineales

    2)

    Aplicaciones lineales

    TEOREMA: Sean U y V Kev finito dimensionales, y Aplicaciones lineales
    homomorfismo. Entonces:

    1)f es monomorfismo ! Ker(f)={ Aplicaciones lineales
    }! dim(Ker(f))=0

    2)f es epimorfismo ! Im(f)=V ! dim(Im(f))=dim(V)

    3)La primer afirmación también es valida para espacios infinitos.

    TEOREMA: SeaAplicaciones lineales
    una aplicación lineal. Entonces: dim(U)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

    Demostración:

    Supongamos dim(U)=n, y dim(Ker(f))=r (r"n) La afirmación entonces equivale a: ¿dim(Im(f))=n-r?

    Sea BKer(f)={u1,...,ur}una base de Ker(f). Por ser base de un subespacio de U, puedo añadir vectores hasta tener una base de U. Nos queda: B={u1,...,ur,ur+1,...,un}. Veamos que la imagen de Bc={ur+1,...,un} es una base de Im(f). Si lo es es, dim(Im(f))=n-r, que es lo que buscamos.

    Aplicaciones lineales

    Dichos vectores son linealmente independientes, luego:

    Aplicaciones lineales

    COROLARIOS:

    1)Si {u1,...,un} es una base de U, entonces {f(u1),...,f(un)} es un SG de la imagen.

    2)Sean U y V Kev, dim(U)=dim(V)<+", y sea Aplicaciones lineales
    una aplicación lineal. Entonces:

    f es isomorfismo!f es epimorfismo!f es monomorfismo.

    3)Sean U y V Kev finito dimensionales. Entonces U es isómorfo a V! dim(U)=dim(V)

    Demostración:

    2)Solo hace falta demostrar la segunda, pues la primera es inmediata a partir de aquella.

    f es epimorfismo ! dim(Im(f))=Dim(V)

    f es momorfismo ! dim(Ker(f))=0

    Como dim(U)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(V) ! dim(Ker(f))=0

    3)

    Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    Sea Aplicaciones lineales
    y Aplicaciones lineales
    bases de U y V respectivamente. Consideremos la aplicación:

    Aplicaciones lineales

    Dicha aplicación es un isomorfismo, pues Aplicaciones lineales
    . Luego U y V son isomorfos.

    REPRESENTACIÓN MATRICIAL: Para representar un homomorfismo necesitare dos bases(llegada y salida). Lo representaremos por medio de una matriz:

    Sea Aplicaciones lineales
    un homorfismo

    dim(U)=n<+"

    dim(V)=m<+"

    B={u1,...,un}Base de U

    B'={v1,...,vm}Base de V

    ¿Cómo puedo saber las coordenadas de f(u) en B', sabiendo las de u en B?

    Sean x1,..,xn las coordenadas de u"U en B

    Sean y1,..,ym las coordenadas de f(u)"V en B'

    Aplicaciones lineales

    f(u1) "V ! Sean a11,...a1m las coordenadas de f(u1) en B'

    Aplicaciones lineales

    f(un) "V ! Sean an1,...anm las coordenadas de f(un) en B'

    f(u1)=a11v1+...+a1mvm

    Aplicaciones lineales

    f(un)=an1v1+...+anmvm

    Aplicaciones lineales

    Por ser B' una base sus vectores son linealmente independientes:

    Aplicaciones lineales
    Ecuaciones del Homomorfismo f respecto a las bases B y B'

    Aplicaciones lineales
    Matriz del Homomorfismo f respecto a las bases B y B'

    Dicha matriz se representa por Y=M(f,B,B')X

    OBSERVACIÓN:

    Aplicaciones lineales
    1)Se calcula de usando las coordenadas en B' de la imagen de los vectores de B.

    2)Se usa multiplicándola por la matriz columna de las coordenadas del vector en B

    Aplicaciones lineales

    3)Si Aplicaciones lineales
    (es un endomorfismo) simplificamos, y usamos la misma base a la salida y a la llegada. Se representa por M(f,B)

    4)Las ecuaciones implícitas del Ker(f) están incluidas en la colección de ecuaciones dada por Y=M(f,B,B')X

    Ejemplo:

    Aplicaciones lineales

    1)Veamos que es un homomorfismo:

    Aplicaciones lineales
    Aplicaciones lineales

    2) Calculemos la matriz de f respecto a las bases canónicas:

    Aplicaciones lineales

    3) Calculemos la matriz de f respecto a las bases dadas:

    Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales

    4) Sea u=(3,2,1) Calcular f(u) utilizando 2) y 3)

    Aplicaciones lineales

    APLICACIÓN(Cambio de base): Supongamos que U es un Kev finito dimensional. Por ello existen bases. Sea B={u1,...,un} y B'={v1,...,vn} bases de U. Sean (x1,...,xn), (y1,...,yn) las coordenadas de un vector u en B y B' respectivamente. ¿Cómo puedo hallar Y a partir de X?

    Tomamos el homomorfismo identidad

    Aplicaciones lineales
    Se verifica que :

    Aplicaciones lineales
    A `A' se le llama Matriz del cambio de Base de B a B'. Se representa A=M(B,B')

    OBSERVACIÓN:

    1)La matriz A se determina de la siguiente manera:

    Aplicaciones lineales

    2)Se utiliza multiplicándola por la derecha por el vector columna de los coeficientes de u en la base B.

    3) A es cuadrada e invertible

  • M(B',B)=M(B,B')-1

  • Ejemplo:

    Aplicaciones lineales

    1)La matriz A es:

    Aplicaciones lineales

    PROPOSICIÓN: Supongamos que U es un Kev finito dimensional. Sea BU={u1,...,un} una base de U. Entonces {f(u1),...,f(un)} es un SG de f(U)

    Demostración:

    Aplicaciones lineales

    APLICACIÓN(Cambio de base en un hom.): Sea Aplicaciones lineales
    un homomorfismo, y sean B1y B2 base de U, y B1' y B2' bases de V. Tomemos las representaciones matriciales del homomorfismo dadas por B1, B1' y por B2 y B2'. Vamos a intentar hallar alguna relación entre una matriz y la otra:

    Tomamos un vector u"U.

    Si trabajamos con Aplicaciones lineales
    . Sean X las coordenadas de u en B1, e Y las coordenadas de f(u) en B1'Aplicaciones lineales

    Si trabajamos con Aplicaciones lineales
    . Sean Aplicaciones lineales
    las coordenadas de u en B2, e Aplicaciones lineales
    las coordenadas de f(u) en B2'Aplicaciones lineales

    Vamos a relacionar X,Aplicaciones lineales
    ,Y e Aplicaciones lineales
    .

    Sea Aplicaciones lineales

    Sea Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    Como Q es invertible por se una matriz cambio de base

    Aplicaciones lineales

    La matriz X se puede cancelar porque al ser una matriz vector de variables tambien es valida para x=(1,0,...,0) , X=(0,1,0,...,0),....,X=(0,...,0,1), con lo que las matrices son iguales columna a columna.

    La expresión general del cambio es :

    Aplicaciones lineales

    OBSERVACIÓN: Si Aplicaciones lineales
    es un endomorfismo, y B1 y B2 base de UAplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales

    o bien

    Aplicaciones lineales

    DEFINICIÓN: Dos matrices A y B"Mnxn(K) son semejantes si existe una matriz P"Mnxn(K) tal que det(P)"0 y A=P-1BP.

    TEOREMA: Todas las representaciones matriciales de un mismo endomorfismo son semejantes. Véase formula anterior

    Ejemplo:

    Aplicaciones lineales

    1)Hallar la representación matricial de f en las bases canónicas.

    Aplicaciones lineales
    La matriz está formada por la imagen de los vectores de la base fuente.

    2) Calcular la representación matricial de f en las bases Aplicaciones lineales
    de Aplicaciones lineales
    y Aplicaciones lineales
    de Aplicaciones lineales

    Hallamos la matriz que nos lleva de Aplicaciones lineales
    aAplicaciones lineales
    . La multiplicamos por la matriz del homomorfismo en las bases canónicas, y después por la que nos lleva de Aplicaciones lineales
    a Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    Todo cambio de base que muere en la canónica son los propios vectores de la base inicial.

    Aplicaciones lineales
    Ya la hemos caculado

    Aplicaciones lineales
    La única diferencia entre Aplicaciones lineales
    y Aplicaciones lineales
    es que el orden de sus vectores es el contrario.

    Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales

    3)Ecuaciones y dimensiones del Ker(f) y de Im(f):

    Trabajando con la representación matricial B

    Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales

    OBSERVACIÓN: Si Aplicaciones lineales
    es un endomorfismo, y U es un Kev finito dimensional, entonces f es un automorfismo si y solo si Aplicaciones lineales
    Aplicaciones lineales

    Demostración: Sea Aplicaciones lineales
    una base de U

    Aplicaciones lineales
    automorfismoAplicaciones lineales
    B se transforma en una base de UAplicaciones lineales
    Los transformados de B son linealmente independientesAplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    es base de Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales
    es automorfismo

    DEFINICIÓN: Sean U y V dos Kev, entonces se consideran los conjuntos:

    Aplicaciones lineales

    Además se consideran tambien las operaciones

    Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales

    Es facil de demostrar que ambas son aplicaciones lineales.

    Entonces se verifica que Aplicaciones lineales
    y Aplicaciones lineales
    son Kev.

    TEOREMA: Si Aplicaciones lineales
    y Aplicaciones lineales
    , entonces Aplicaciones lineales
    es isomorfo a Aplicaciones lineales

    Demostración:

    Fijadas dos bases B y B' de U y V respectivamente, el isomorfismo es:

    Aplicaciones lineales

    COROLARIO:

    1)Si Aplicaciones lineales
    entonces End(U) es isomorfo a Aplicaciones lineales

    2)Aplicaciones lineales

    3)Aplicaciones lineales

    IDEA INTUITIVA: Vamos a crear un diccionario entre homomorfismos y matrices, y entre endomorfismos y matrices

    Aplicaciones lineales
    Aplicaciones lineales

    Ahora la pregunta es : ¿Quién es AB?¿y A2?

    Aplicaciones lineales

    Y si Aplicaciones lineales
    entonces Aplicaciones lineales

    Aplicaciones lineales

    OBSERVACIÓN: De forma análoga a como se hizo en grupos y anillos se introduce el concepto de Kev cociente, el teorema de Isomorfía y la descomposición canónica de un homorfismo.

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    Aplicaciones lineales