Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Resistencia. Ley de Newton. Materiales radiactivos. Masa. Gravedad

  • Enviado por: El remitente no desea revelar su nombre
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 10 páginas

publicidad
cursos destacados
Cálculo Diferencial
Cálculo Diferencial
En este curso se tratan temas básicos del cálculo diferencial como son: Límites, Derivación...
Ver más información

Ejercicios Resueltos Cálculo Integral
Ejercicios Resueltos Cálculo Integral
Serie de ejercicios resueltos de Cálculo Integral Este curso va ligado al curso actual de Cálculo...
Ver más información

publicidad

Sesión No. 6

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm ().

La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

pero I(t)=dQ/dt, así tenemos que:

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

Suponga que la resistencia es de 5, la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V y que la carga inicial es de Q(0)=0C.

Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

Considere ahora que:

R=2 , C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t-

Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

Sesión No. 7

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

  • La ley de Newton del enfriamiento, dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante T0 del medio que lo rodea.

  • Al sacar un biscuit del horno, su temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF.

    ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ºF?


    2da. Ley de Newton

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Despejamos T

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Datos para conocer K

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    =constante='Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    t=3 min

    T=100=dif de temperatura

    Ta=70 ºF=Temp. Ambiente

    T0=300=Temp. en un tiempo t=0

    FÓRMULA

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    sustituimos k para encontrar t

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'


    Sesión No. 8

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

  • Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material se observó que después de 3 hr, solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar:

  • La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.

  • Sea “y” la cantidad de material radiactivo

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    para t=0, y=60 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    c=60

    para t=3, y=60(0.8)=48

    sustituyendo 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    en 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    solución 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    presente en cualquier tiempo t.

  • ¿Qué cantidad permanece cuando t=5 hr?

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • ¿Para que valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial?

  • Para 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    tenemos 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    aplicando la ley de ln

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial V0=3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar:

  • La ecuación del movimiento


  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    y como 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    es decir 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Es una ecuación lineal de primer orden.

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    para m=2

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'


  • La velocidad en un tiempo t=20 seg.

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su máxima altura.

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    es igual

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Sesión No. 9

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

  • Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar:

  • Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    y la ecuación es

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , es decir, 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    ec. Lineal no homogénea.

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    con solución general

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    para t=0, c=0 entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , con solución particular.

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.

  • Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.

    Para c=0.00012 tenemos 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    De donde t=81.11 min.

    t=1 hr 21 min.

    Sesión No. 10

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

  • Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    metros.

  • Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando esta en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t.

    El alargamiento del resorte es (x-y) entonces.

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    por lo tanto 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    de donde 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , la solución de la E homogénea es

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    calculando,

    xp por el met. de coeficientes indeterminados 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Tenemos:

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    y como x=xnxp la solución general es:

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Derivando: 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    cuando

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    ; 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Son dos movimientos armónicos con amplitudes diferentes.

  • Se suspende una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533 m. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1m/seg, en la dirección hacia arriba.

  • Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire es de 80 N.

    Como 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    también 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    ,

    o sea 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Tenemos 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    De donde 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    con solución general para X(0), x'(0)=-1 y como

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    es la solución particular.

    Sesión No.11

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

  • Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con la ley x''+4x'+13x=0 si, dicha partícula empieza su movimiento en x=0 con una velocidad inicial de 6 m/s hacia la izquierda; hallar:

  • x en función de t.

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    para 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    con solución general.

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    para 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    por lo tanto B=2 entonces, la solución particular es 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • los tiempos en que se producen las paradas.

  • Se producen paradas cuando 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    para 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    de donde

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , n=1,2,3,4,...radianes.

  • Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar:

  • la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    Ec lineal no homogénea

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    integrando 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    para 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    para 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • la distancia recorrida al cabo de los 20 seg.

  • 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    integrando 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    para t=0, x=0

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    es la solución particular

    para t=20, x=36.79 metros.

    Sesión No. 12

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

  • Un circuito consta de una inductancia de 0.5H, una resistencia de 20!, un condensador cuya capacidad es de 2.5mF y una FEM de 100V.

  • Hallar la carga y la corriente sabiendo que Q(t)=0 para I(t)=0

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    de donde 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    con solución general:

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    y 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    con las condiciones dadas tenemos 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , por lo tanto

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

  • Un circuito consta de una inductancia de 0.2H, una resistencia de 4! y un condensador de 10mF.

  • Hallar la carga Q(t) y la corriente I(t) en el tiempo t, si en t=0 se tiene Q(t)=0.5C e I(t)=-1A.


    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'


    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    , entonces 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    de donde 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Simplificado:

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    Para las condiciones iniciales dadas t=0, q=0.5, I=-1, 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    y 'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'

    'Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales'
    ambas funciones son transitorias.

    R

    V

    C