Análisis vectorial

Integrales impropias. Integrales paramétricas. Integración múltiple. Curvas. Integrales de superficie. Divergencia. Potencias

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"Análisis vectorial:

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Integrales impropias:

· f: [a,+inf[ -> R, int(a,inf,f(x),dx):=lim(int(a,R,f(x),dx),R->inf).

· Criterio de comparación: f,g: [a,+inf[ -> R, |f(x)|=<g(x) =>

=> int(a,inf,g(x),dx) C => la de f(x) C

=> int(a,inf,f(x),dx) D => la de g(x) D

· Criterio del límite: f,g: [a,+inf[ -> R, lim (f(x)/g(x))=L distinto de 0,inf => las dos integrales tiene el mismo carácter.

· int(-inf,0,f(x),dx)=(u=-x)=int(inf,0,f(u),du)=-int(0,inf,f(u),du).

· Criterio integral de Cauchy: f:[n0,+inf[->R, n0 natural, contínua y decrecente a cero

=> sum(n=n0,inf,f(n)) C sii int(n0,inf,f(x),dx) C (aunk no lo hagan al mismo valor)

· Integrales de segunda especie: f:]a,b]->R contínua, int(a,b,f(x),dx)=lim(int(R,b,f(x),dx),R->a+).

· Aproximación por Taylor: f(x)(aprox)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+(f''(x0))/(2!)*((x-x0)^2)+....+fsupern(xo)/n!*((x-x0)^n)=Tn(x)

· f,g:]a,b]->R contínuas

· lim(f(x)/g(x),x->a+) real distinto de cero

=> int(a,b,f(x),dx) C,D sii int(a,b,g(x),dx) C,D

Una buena elección de g(x) es el desarrollo de Taylor de f(x).

· f:[a,b[->R, lim(f(x),x->b-)=inf => int(a,b,f(x),dx)=lim(int(a,R,f(x),dx),R->b-).

· f:[a,b[->R, lim(f(x),x->a+)=lim(f(x),x->b-)=inf => int(a,b,f(x),dx) C sii:

· lim(int(R,c,f(x),dx,R->a+) C

· lim(int(c,R,f(x),dx,R->b-) C c valor entre a y b.

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Integrales paramétricas:

· int(a,b,f(x,t),dt)=F(x)

· f contínua => F contínua en el intervalo de integración

· f contínua y df/dx contínua => F derivable y dF/dx=int(a,b,df/dx,dt)

· Fórmula de Leibniz:

· f, df/dx, a(x), b(x) contínuas; a, b derivables =>

=> (d/dx)(int(a(x),b(x),f(x,t),dt))=int(a(x),b(x),df/dx,dt)+f(x,b(x))*b'(x)-f(x,a(x))*a'(x).

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Integración múltiple:

R2:

· Integrar sobre rectángulos en R2: Teorema de Fubini:

Teorema de Fubini:

x:[a,b], y:[c,d]

int(int(f(x,y),dy),dx)=int(c,d,int(a,b,f(x,y),dx,dy)=int(a,b,int(c,d,f(x,y,dy),dx)

· Aplicaciones de las integrales dobles:

1)Calcular volúmenes: V=int(int(f(x,y)))dxdy

2)Calcular áreas: A=int(int(1))dxdy

3)Calcular masas: m=int(int(ro))dxdy, ro=densidad superficial

4)Centro de gravedad: X(,Y,Z)=(1/m)*int(int(x(,y,z)*ro))dxdy

5)Momento de inercia: Ir=int(int(ro*(f(x,y)^2)))dxdy (kg*m^2), f(x,y)=distancia entre (x,y) y recta r

Nota: Las unidades pueden no dar, pero eso es porque van implícitas en los límites de las integrales.

· Teorema del cambio de variable:

d(x,y)/d(u,v)=(dx/du dx/dv)

(dy/du dy/dv) <- Jacobiano

(d(x,y)/d(u,v))^(-1)=d(u,v)/d(x,y)

det(A)=det(A') (A'=A transpuesta)

det(A^(-1))=1/det(A)

int(int(f(x,y))dxdy=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*|det(d(x,y)/d(u,v)|))dudv

· Para doinios más generales, se van fijando variables y mirando dónde oscilan las demás.

· Lo mejor para hacer estos problemas es dibujar SIEMPRE el recinto de integración.

· Comprobar que el resultado sea coherente con las unidades, k no cuesta nada y se ve enseguida si está mal hecho.

R3:

· Teorema de Fubini para integrar sobre paralelepípedos:

=> Calcado al de R2.

· Aplicaciones:

Todas las fórmulas de las dobles se calcan a triples.

Volúmen=int(int(int(1)))dxdydz

masa=int(int(int(ro)))dxdydz, ro=densidad

· Fórmula del cambio de variables: Igual que en las integrales dobles, solo que el determinante es más fastidiao.

· Coordenadas polares:

x=ro*Cos(zeta)

y=ro*Sin(zeta)

z=z

Jacobiano: det(d(x,y,z)/d(ro,zeta,z))=ro

· Coordenadas esféricas:

x=ro*Sin(fi)*Cos(zeta)

y=ro*Sin(fi)+Sin(zeta)

z=ro*Cos(fi)

Jacobiano: det(d(x,y,z)/d(ro,fi,zeta))=(ro^2)*Sin(fi)

Nota que hemos tomado zeta y fi cambiadas, todo depende de la referencia que tomemos.

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Curvas (Integrales de línea):

· Dado t => alfa(t)=(x(t),y(t),z(t)) vector de R3, t:[a,b]

· Velocidad escalar o rapidez: v(t0)=||alfa'(t0)||

· Vector tangente unitario: T(t)=alfa'(t)/||alfa'(t)||

· Vector normal unitario: N=T'/||T'|| -->componente tangencial

· Vector aceleración: alfa''=(alfa')'=(v*T)'=v'*T+v*T'=v'*T+v*||T'||*N

------->componente normal

· Longitud de una curva: L=int(t0,t1,||alfa'(t)||,dt) (recuerda que espacio=velocidad*tiempo)

· Integrales de línea de campos escalares f: int(curva,f,dS)=int(t0,t1,f(alfa(t))*||alfa'(t)||,dt)

· Si la curva es cerrada, el símbolo es el de una integral de circulación.

· Aplicaciones:

Las mismas que en las integrales dobles o triples.

Masa=int(curva,ro,dS), ro=densidad

Centro de gravedad: Z(,X,Y)=(1/masa)*int(curva,ro*Z(X,Y),dS)

· Integrales de línea sobre campos vectoriales:

Una curva en R^k. Trabajo gastado por una partícula al atravesar este campo: dW=<F,dl>

W=int(curva,<F,dl>)=int(a,b,<F(alfa(t)),alfa'(t)>,dt)

alfa:[a,b]->R^k

Notaciones: int(curva,F,dl)=int(curva,F,dalfa)=int(curva,<F,dalfa>)=int(curva,<F,dl>)

· Fórmula de Green: (Relaciona una integral de circulación con una integral doble)

C una curva plana recorrida + (sentido antihorario), cerrada.

D=interior C

P=P(x,y), Q=Q(x,y), P,Q: D->R diferenciables en D

F=(P,Q)

int(curvacerrada,Pdx+Qdy)=int(int(dQ/dx-dP/dy))dxdy (aplicado en el recinto D)

· Campo conservativo:

F=(P,Q)

Equivalen:

1) F es conservativo.

2) int(curva,F,dalfa)=0 para toda curva cerrada.

3) Existe f tal que (-gradiente(f))=F

4) dQ/dx=dP/dy

A f se le llama función potencial

Ej: Campo gravitatorio: P=(0,-mg)

· Área de un recinto plano:

A=int(int(1))dxdy

Si somos capaces de encontrar Q,P tales que dQ/dx-dP/dy=1.

normalmente se eligen Q=x/2 P=-y/2

I=(1/2)*int(-y dx + x dy) -> Área de un recinto plano.

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Integrales de superficie:

· Como para describir una curva hacía falta un parámetro (t), para describir una superficie harán falta dos parámetros (u,v):

r:D->S, D de R2, r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)).

· Plano tangente: Definido por estos dos vectores: dr/du, dr/dv.

· Vector normal al plano tangente: (dr/du)x(dr/dv) (si lo kiero unitario habrá k dividir por la norma)

· Área de superficies: ^----producto vectorial

r:[u0,u1]x[v0,v1]

A=int(int(||dr/du x dr/dv||))dudv

Truco: E=<dr/du,dr/du>|

F=<dr/du,dr/dv>|-> ||dr/du x dr/dv||=sqrt(E*G-F^2)

G=<dr/dv,dr/dv>|

· Integral de un campo escalar: int(ints(f,dS))=int(int(f(r(u,v))*||dr/du x dr/dv||))dudv

· masa de una superficie con densidad ro: m=int(int,superficie,ro))dS

· centro de gravedad: (XóYóZ)=(1/m)*int(int(superficie,(XóYóZ)*ro))dS

· Integral sobre campo vectorial:

· Vector normal unitario: n=(dr/du x dr/dv)/||dr/du x dr/dv||

· flujo=int(int(<F,n>*||dr/du x dr/dv||))dudv=int(int(duperficie,<F,n>))dS=int(int(superficie,F,dS)) en [u0,u1]x[v0,v1]

· flujo=(aplicando ecuación de n)=int(int(<F,dr/du x dr/dv>))dudv

· Divergencia:

div>0 -> Sale agua (fuente)

div<0 -> Entra agua (sumidero)

F=(F1,F2,F3) campo ectorial diferenciable, S superficie CERRADA

divF=dF1/dx+dF2/dy+dF3/dz

int(int(superficie,F,dS))=int(int(int(volúmen,divF)))dxdydz

· Teorema de Stokes:

rotF=|i j k|=AxF

|d/dx d/dy d/dz|

|F1 F2 F3|

gamma -> curva cerrada que encierra a una superficie S con borde.

n: Vector normal saliente dela superficie

int(int(<rotF,n>,dS))=intgamma(curva,F,dalfa)

· F es conservativo sii

· int(curva,F,dalfa)=0 para toda curva C cerrada sii

· int(int(<rotF,n>,dS))=0 sii

· rotF=0

=> existe V escalar tal que gradiente(V)=(-F) (Nota: F es un vector).

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Series de potencias:

· Polinomio de grado infinito tipo S=sim(n=0,inf,an*((x-x0)^n))=a0+a1*(x-x0)+a2*((x-x0)^2)+...

· Criterios de convergencia:

· Criterio M de Weierstrass:

· |an*((x-x0)^n)|=<Mn que ya no es función de x, para todo x

· sum(n=0,inf,Mn) Converge

=> sum(n=0,inf,an*((x-x0)^n)) C.

· Fórmula de Cauchy - Hadamard:

· ro=radio de convergencia

· ro^(-1)=lim(|an+1/an|,n=inf)=lim(xroot(n,an),n=inf)

· Entonces:

1) La serie converge en ]x0-ro,x0+ro[

2) La serie converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado en ]x0-ro,x0+ro[

3) sum(n=0..inf,|an*(x-x0)^n|) converge en ]x0-ro,x0+ro[

4) La serie diverge en ]-inf,x0-ro[ U ]x0+ro,+inf[

En x0-ro y x0+ro puede pasar de todo.

· Son contínuas y derivables e integrables término a término en ]x0-ro,x0+ro[.

· Las únicas series de potencias son las de Taylor (y además son únicas, no hay dos iguales).

=> f(x)=sum(n=0,inf,(fsupern(x0)/n!)*((x-x0)^n))

· Producto de Cauchy:

sum(n=0,inf,an*((x-x0)^n)), sum(n=0,inf,bn*((x-x0)^n)), que convergen en ]x0-ro,x0+ro[, alfan=an*(x-x0)^n, betan=bn*(x-x0)^n

=> sum(n=0,inf,alfan)*sum(n=0,inf(betan)=sum(n=0,inf,sum(k=0,n,alfak*beta(n-k))).

Si las dos series tienen distinto radio de convergencia, esto solo tiene sentido para el intervalo con menor radio