Análisis Matemático

Análisis Matemático I

Números Reales:

Cotas: A = (a;b) k es cota superior de A ! " x " A, x " k

q es cota inferior de A ! " x " A, x " q

Conjunto Mayorante: Conjunto de todas las cotas superiores MA = [b; +")

Conjunto Minorante: Conjunto de todas las cotas inferiores mA = (-"; a]

Supremo: La menor de las cotas superiores SA = {b} si b " A ! b es MÁXIMO

Ínfimo: La mayor de las cotas inferiores IA = {a} si a " A ! a es MINIMO

Función Par: f(-x) = f(x)

Función Impar: f(-x) = -f(x)

Función Inyectiva: " x1 " Df, " x2 " Df: x1 " x2 ! f(x1) " f(x2)

Función Sobreyectiva: f: A ! B ! If = B

Función Biyectiva: Si es INYECTIVA y SOBREYECTIVA

Composición de funciones: gof (x) = g[f(x)]

Función Signo: h(x) = |f(x)| / f(x)

Logaritmo: loga x = y ! ay = x

Cambio de base de a a b: logb x = loga x / loga b

Límite:

lim f(x) = L ! "  > 0 " () > 0 / " x: (x " Df " |x-a| <  ! |f(x) -L| < )

x ! a

Ley del Sándwich: lim f(x) = L

x ! a "x / x"Df " x"0 " h(x)/ f(x) " h(x) " g(x) ! lim h(x) = L

lim g(x) = L x ! a

x ! a

Asíntota Vertical: x = a ! lim f(x) = " " a " Df

x ! a

Asíntota Horizontal: y = L ! lim f(x) = L f(x) cociente de polinomio de igual grado

x ! "

Asíntota Oblicua: y = mx + b ! lim f(x) = m " lim [ f(x) - mx] = b

x!" x x!"

Discontinuidad:

• Discontinuidad esencial de 1ª especie con salto infinito: es cuando los limites laterales con x tendiendo a a dan +" y -". Siempre es asíntota vertical en x = a.

• Discontinuidad esencial de 1ª especie con salto finito = d: es cuando los limites laterales con x tendiendo a a dan b y c. d = b - c.

• Discontinuidad esencial de 2ª especie: no existe uno de los limites laterales.

• Discontinuidad evitable: los limites laterales dan iguales con x ! a pero a " Df. Es cuando a es simultáneamente raiz del numerador y del denominador.

Teorema de Bolzano: f continua en [a; b] ! sg f(a) " sg f(b) " f(a) " 0 " f(b) " 0

! " c " (a, b) / f(c) = 0

Teorema del Valor Medio: f continua en [a; b] " f(a) " f(b) " f(a) < k < f(b)

! " c " [a; b] / f(c) = k

Derivadas:

f'(x) = lim f(x) - f(x0) = lim f(x0 + x) - f(x0)

x!x x - x0 x!0 x

Derivada de la función compuesta: y = f[g(x)] ! y' = f'[g(x)]g'(x)

Ecuación de la recta tangente: y = f'(a) (x - a) + f(a)

Ecuación de la recta normal: y = -1/ f'(a) (x - a) + f(a)

Derivada de la función inversa: f--1'[f(x)] = 1/f'(x)

Crecimiento y decrecimiento: Si f'(x) < 0 ! f decrece

Si f'(x) > 0 ! f crece

Teorema del Valor Medio (Rolle):

H) f continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b)

T) " c " (a, b) / f'(c) = 0

(Lagrange):

H) f continua en [a, b], derivable en (a, b)

T) " c " (a, b) / f'(c) = f(b) - f(a)

b - a

(Cauchy): H) f y g continuas en [a, b] y derivable en (a, b) y g'(x) " 0

T) " c " (a, b) / f(b) - f(a) = f'(c)

g(b) - g(a) g'(c)

L'Hopital:

• lim f(x) = lim f'(x) (lo mismo para " )

0 x!ag(x) x!ag'(x) "

" - " lim [f(x) - g(x)] = lim kg1 -tf1 [ f(x) = k/f1]

x!a x!a f1 g1

0." lim f(x) g(x) = lim g(x) (queda "/")

x!a x!a 1/f(x)

1", 00, "0 lim [f(x)]g(x) = lim g(x) ln f(x) = lim ln f(x) =k = ln L ! L=ek

x!a x!a x!a1/g(x)

Extremos: 1) f'(x0) = 0 (posible extremo)

2) f crece a la iz. y decrece a la d. ! es MÁXIMO ! f''(x0) < 0

f decrece a la iz. y crece a la d. ! es MINIMO ! f''(x0) > 0

Concavidad: 1) f''(h) = 0 2) Debe cambiar de signo

Si f''(a) > 0 ! cóncava !

Si f''(b) < 0 ! cóncava !

Integral:

Integración por partes: " u dv = u.v - " v du

Integral definida: m(b-a) " #b f(x) dx " M(b-a) m = f(a) " M = f(b)

#a

Teorema del Valor Medio:

F continua en [a, b] ! " c " (a, b) / f(c) = 1 #b f(x) dx

b - a #a

Sucesiones:

Si una sucesión tiene un limite finito ! la sucesión converge

Si una sucesión converge ! es una sucesión acotada

Si una sucesión no tiene limite finito ! la sucesión es divergente

Si una sucesión es de la forma {(-1)n}n"1 = {-1, 1, -1, ...} ! es oscilante

Criterio de D'Alambert:

Criterio de Cauchy:

Con

Series:

Armonica: 1/nk converge si k > 1

Geométrica: Sn = a/(1-r) - arn/(1-r) converge si |r| < 1

Criterio de Leibnitz:

Si |an-1| > |an| y lim |an| = 0 ! converge

n!+"

Si " |an| es convergente ! " (-1)n an es absolutamente convergente

Si " |an| es divergente ! " (-1)n an es condicionalmente convergente

Criterio de D'Alambert:

Criterio de Raabe:

Polinomio de Taylor:

"

" fn (x - a)n a = al numero que busco

n=0 n!

McLaurin "

" fn (x)n el numero que busco es el 0

n=0 n!

Termino Complementario: fn+1(a + h) hn+1 0 <  < 1 y h = x - a

(n + 1)!