Análisis de la varianza

Diseño experimental. Cuadro latino. Modelos estadísticos. Modelo balanceado. Bloques aleatorizados

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República de Venezuela

Universidad Rafael Belloso Chacin

Cátedra: Estadística II

Análisis de la varianza

ANÁLISIS DE VARIANZA

Maracaibo, 25 de Octubre de 2.002

Esquema

1.- Análisis de Varianza.

2.- Tipos de Diseño Experimental

2.1.- Modelo Balanceado.

2.2.- Modelo no Balanceado.

2.3.- Diseño de bloques completos aleatorizados.

2.4.- Diseño de Cuadrado Latino.

1) Análisis de Varianza: Es una técnica que se usa para comprobar si existen diferencias significativas entre los promedios de los tratamientos.

2) Tipos de Diseño Experimental

2.1) Diseños completamente Aleatorios: Supondremos que el experimentador cuenta con los resultados de k muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño n, de k diferentes poblaciones; y le interesa probar la hipótesis que las medias de esas k poblaciones son toas iguales. Si denotamos j-esima observación en la i-esima muestra por Yij, el esquema general para un criterio de clasificación es como sigue:

Medias

Muestra 1: Y11, Y12,...., Y1j, ....... Y1

Muestra 2: Y21, Y22,...., Y2j, ....... Y2

. . .

. . .

. . .

Muestra i: Yk1, Yi2,...., Yij, ........ Yi

. .

. .

. .

Muestra a: Yk1, Yk2,...., Ykj, ....... Yk / Y

Modelo Estadístico Lineal (Balanceado):

Yij =  + Ti + Eij

Yij = Valor de la pésima observación ubicada en el pésimo tratamiento.

= Promedio General

Ti = Efecto del iésimo tratamiento

Bj = Efecto de jésimo tratamiento

Eij = Variación de las observaciones ubicada en el pésimo bloque, utilizando el iésimo tratamiento.

Hipotesis:

Ho: 1= 2=..... = k

H1: No todas 'is son iguales

Nivel de significación:

= 0.05 ó 0.01

Estadístico de Prueba:

F = S1²/S²

Regla de Decisión:

Si f>f  [(k-1), (k (n-1) ) ] se rechaza Ho

Tomar una muestra y llegar a una decisión.

Suma de Cuadrados

STC = Suma total de cuadrado

STC = " " Yij² - ..

n.k

SCT = Suma de cuadrados de los tratamientos

SCT = " Yi² - ..

n n . k

SCE =Suma de cuadrado del error

SCE = STC-SCT

Cuadrados Medios

S1²= Cuadrado medio de los tratamientos

S1²= SCT

k-1

S² = Cuadrado medio del error

S² = SCE

K(n-1)

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadros Medios

Valor de

F

Tratamiento

SCT

K-1

S1²

Error

SCE

K(n-1)

F=S1²/S²

Total

STC

n(K-1)

2.2) Modelo no Balanceado:

Hipotesis:

Ho: 1= 2=..... = k

H1: No todas 'is son iguales

Nivel de significación:

 = 0.05 ó 0.01

Estadístico de Prueba:

F = S1²/ S²

Regla de Decisión:

Si f>f  [(k-1), (k (n-1) ) ] se rechaza Ho

Tomar una muestra y llegar a una decisión.

Suma de Cuadrados

STC = Suma total de cuadrado

STC = " " Yij² - ..

N

N = Numero total de observaciones

SCT = Suma de cuadrados de los tratamientos

SCT = " Yi² - ..

ni N

SCE = Suma de cuadrado del error

SCE = STC-SCT

Cuadrados Medios

S1²= Cuadrado medio de los tratamientos

S1²= SCT

k-1

S² = Cuadrado medio del error

S² = SCE

N-K

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadros Medios

Valor de

F

Tratamiento

SCT

K-1

S1²

Error

SCE

N-k

F=S1²/S²

Total

STC

n-1

2.3) Diseño de Bloques Aleatorios: La estimación de variable aleatoria a menudo puede reducirse, esto es , liberarse de la variabilidad debida a causas extrañas, dividiendo las observaciones de cada clasificación en bloques. Conviniendo en que Yij denote la observación relativa al i-esimo bloque Yi. la media de las b observaciones para el i-esimo tratamiento, Y.j la media de las a observaciones en el j-esimo bloque y Y.. la gran media de las ab observaciones, empleamos el siguiente esquema en esta clase de clasificación con dos criterios:

Bloques

B1 B2 .......Bj ....……Bh Medias

Tratamiento 1: Y11, Y12,...., Y1j, .......Y1h Y1.

Tratamiento 2: Y21, Y22,...., Y2j, .......Y2h Y2.

. . .

. . .

. . .

Tratamiento i: Yk1, Yi2,...., Yij, ........Yih Yi.

. .

. .

. .

Tratamiento a: Ya1, Ya2,...., Yaj, ....... Yah Ya.

Medias Y.1 Y.2 Y.j ....... Y.h Y..

Este tipo de esquema se denomina también diseño en bloques aleatorios, siempre que los tratamientos sean asignados el azar dentro de cada bloque. Nótese que cuando un punto se usa en lugar de un subíndice, esto significa que la moda se obtiene sumando sobre èl. En el análisis de clasificación con dos criterios cada tratamiento es representado una vez dentro de cada bloque, el bloque principal consiste en probar la significancia de las diferencias entre las Yi., o sea probar la hipótesis nula 1 = 2 = ..... =  a = 0

Mas aun , quizá convenga probar si la división en bloques ha sido eficaz, esto es, si la hipótesis nula 1 = 2 = ..... =  b = 0 puede rechazarse. En cualquier caso, la hipótesis alterna establece que al menos uno de los efectos no es cero.

Yij=  + Ti + Eij

Yij = Valor de la i-ésima observación ubicada en el i-ésimo tratamiento.

= Promedio General

Ti = Efecto del i-ésimo tratamiento

Bj = Efecto de j-ésimo tratamiento

Eij = Variación de las observaciones ubicada en el pésimo bloque, utilizando el i-ésimo tratamiento.

B = Cantidad de bloques

Y.. = Suma de todas las observaciones

Yi. = Suma de todas las observaciones por tratamiento

Y.j = Suma de todas las observaciones por bloques.

Análisis de Varianza

Hipótesis:

Ho: 1= 2=..... = k

H1: no todas 'ks son iguales

Ho: 1= 2=..... = j

H1: no todas 'js son iguales

Nivel de significación:

 = 0.05 ó 0.01

Estadístico de Prueba:

F1= S1²/S² ; F2= S2²/S²

Regla de Decisión:

Si f>f  [(k-1), (k (n-1) (b-1)) ] se rechaza Ho

Tomar una muestra y llegar a una decisión.

Suma de Cuadrados

STC = Suma total de cuadrado

STC = " " Yij² - ..

n.b

SCT = Suma de cuadrados de los tratamientos

SCT = " Yi² - ..

b b.k

SCB = Suma de cuadrados de los bloques

SCB = " Y.j² - ..

k b. k

SCE = Suma de cuadrado del error

SCE = STC- SCT- SCB

Cuadrados Medios

S1²= Cuadrado medio de los tratamientos

S1²=SCT S2²= SCB

k-1 b-1

S² = Cuadrado medio del error

S² = SCE____

(K-1)(b-1)

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadros Medios

Valor de

F

Tratamiento

SCT

K-1

S1²

Error

SCB

b-1

F = S1²/S²

Bloques

STE

(k-1)(b-1)

F2=S2²/S²

Total

STC

B k-1

2.4) Diseño a Cuadros Latinos: El diseño en bloques aleatorios es adecuado cuando una fuente de variabilidad extraña se elimina comparando un conjunto de medias muestrales. Una Característica importante de este tipo de diseño es su balance, que se logra asignando el mismo numero de observaciones a cada tratamiento de cada bloque. La misma clase de balance puede lograrse en otros tipos de diseño mas complicados, en los cuales es conveniente eliminar el efecto de varias fuentes extrañas de variabilidad. Con el fin de comparar tres tratamientos, A, B, C, en presencia de otras fuentes de variabilidad. Por ejemplo, los tres tratamientos pueden ser métodos de soldadura para conductores eléctricos, y las dos fuentes extrañas de variabilidad pueden ser diferentes operadores aplicando la soldadura y la utilización de diversos fundentes para soldar. Si tres operadores y tres fundentes para soldar. Si tres operadores y tres fundentes son considerados, el experimento podría disponerse según el patrón siguiente:

Fund.1 Fund. 2 Fund. 3

A

B

C

C

A

B

B

C

A

Operador1

Operador2

Operador3

Aquí cada método de soldadura se aplica una sola vez por cada operador junto con cada fundente, y si existiesen efectos sistemáticos debido a diferencias entre los operadores o entre los fundentes, dichos efectos estarían presentes de igual manera en cada tratamiento, esto es, en cada método de soldadura.

5x5

A

B

C

D

E

B

A

E

C

D

C

D

A

E

B

D

E

B

A

C

E

C

D

B

A

4x4

A

B

C

D

B

C

D

E

C

D

A

B

D

A

B

C

Un arreglo experimental como el que se describió se denomina cuadrado latino. Un cuadrado latino n x n es un arreglo cuadrado de n distintas, las cuales aparecen solo una vez en cada renglón y en cada columna.

Un experimento de cuadrado latino sin repetición da solo (n-1) (n-2) grados de libertad para estimar el error experimental. Así, tales experimentos son efectuados en contadas ocasiones sin repetición cuando n es pequeña, esto es, sin repetir el patrón completo de cuadrado varias veces.

Modelo Estadístico Lineal

Yij =  + Ti + Bj + rk + Eijk

Yijk = valor de la i-ésima observación ubicada en la k-ésima columna con la j-esima fila usando el i-esimo tratamiento.

= Promedio General

Ti = Efecto del iésimo tratamiento

Bj = Efecto de la j-ésima columna

Rk = efecto de la k-esima fila

Eijk = Variación de las observaciones ubicada en la k-ésima columna, con la j-esima fila, usando el i-esimo tratamiento.

Análisis de Varianza

Hipótesis:

Ho: 1= 2=..... = i

H1: no todas 'is son iguales

Ho: 1= 2=..... = j

H1: no todas 'js son iguales

Ho: 1= 2=..... = k

H1: no todas 'ks son iguales

Nivel de significación:

 = 0.05 ó 0.01

Estadístico de Prueba:

F1= S1²/S² ; F2= S2²/S² ; F3= S3²/S²

Regla de Decisión:

Si f>f  [(r-1) ; (r-2) (r-1)] se rechaza Ho

Tomar una muestra y llegar a una decisión.

Suma de Cuadrados

STC = Suma total de cuadrado

STC = """ Yijk² - ..

SCT = Suma de cuadrados de los tratamientos

SCT = " Yi..² - ..

r r²

SCF = Suma de cuadrados de las filas

SCF = " Y.j² - Y...²

r r²

SCC = Suma de cuadrados de las columnas

SCC = " Y...k² - Y...²

r r²

SCE = Suma de cuadrado del error

SCE = STC- SCT- SCE - SCC

Cuadrados Medios

S1²= Cuadrado medio de los tratamientos

S1²= SCT S2²= SCF S3²= SCC

r-1 r-1 r-1

S² = Cuadrado medio del error

S² = SCE____

(r-2)(r-1)

Fuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadros Medios

Valor de

F

Tratamiento

SCT

r-1

S1²

Filas

SCF

r-1

S2²

F1=S1²/S²

Bloques

SCC

r-1

S3²

F2=S2²/S²

Error

STE

(r-2)(r-1)

F3=S3²/S²

Total

STC

r²-1