Análisis de datos

Estadística. Contraste de hipótesis. Inferencia. Media muestral. Muestras. Distribución Normal. Pruebas de Bondad del Ajuste. Frecuencia

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INTRODUCCIÓN

La estadística es la disciplina que nos proporciona una metodología para recoger, organizar, resumir, analizar datos y hacer inferencias a partir de ellas.

Puede deducirse de la definición que hay dos ramas claramente diferenciadas dentro de la estadística: La Estadística Descriptiva y La Inferencia Estadística que es el punto a tratar en el presente trabajo.

La inferencia Estadística tiene como función inferir las características de un colectivo a partir de un subconjunto de éste.

Referente al contraste de hipótesis, sabemos que un problema es investigable cuando existen dos o más soluciones alternativas y tenemos dudas acerca de cual de ellas es la mejor. Esta situación permite formular una o más hipótesis de trabajo, ya que cada una de ellas destaca la conveniencia de una de las soluciones sobre las demás. Si nuestro propósito es comprobar una teoría ella misma será la hipótesis del trabajo, pero es importante destacar que al formular dicha o dichas hipótesis no significa que ya esté resuelto el problema, al contrario, que nuestra duda nos impulsa a comprobar la verdad o falsedad de cada una de ellas.

La decisión final partirá de las decisiones previas de aceptar o rechazar las hipótesis de trabajo.

CAPITULO I

Contraste de Hipótesis

Etapas Básicas en Pruebas de Hipótesis.

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoriamente con una probabilidad de 1.05 o menos.

Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.

Tabla 10.1. Consecuencias de las Decisiones en Pruebas de Hipótesis.

Decisiones Posibles

Situaciones Posibles

La hipótesis nula es verdadera

La hipótesis nula es falsa

Aceptar la Hipótesis Nula

Se acepta correctamente

Error tipo II

Rechazar la Hipótesis Nula

Error tipo I

Se rechaza correctamente

Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos.

Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z.

Etapa 6.- Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

Conceptos Básicos para el Procedimiento de Pruebas de Hipótesis.

Hipótesis Estadística:

Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la población aplicada.

Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.

Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Hipótesis Nula:

En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena ( o sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara).

Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. Que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho.

Hipótesis Alternativa.

Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. Por ejemplo: Si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis alternativa podrían ser p = 0,7, p " 0,5 ó p > 0,5.

Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por H1.

Errores de tipo I y de tipo II.

Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido un error de tipo I.

Por otra parte, si aceptamos una hipótesis que debiera ser rechazada, diremos que se cometió un error de tipo II.

En ambos casos, se ha producido un juicio erróneo.

Para que las reglas de decisión (o no contraste de hipótesis) sean buenas, deben diseñarse de modo que minimicen los errores de la decisión; y no es una cuestión sencilla, porque para cualquier tamaño de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompañado de un crecimiento del otro tipo. En la practica, un tipo de error puede ser más grave que el otro, y debe alcanzarse un compromiso que disminuya el error más grave.

La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra que no siempre es posible.

Niveles de Significación.

Al contrastar una cierta hipótesis, la máxima probabilidad con la que estamos dispuesto a correr el riesgo de cometerán error de tipo I, se llama nivel de significación.

Esta probabilidad, denota a menudo por  se, suele especificar antes de tomar la muestra, de manera que los resultados obtenidos no influyan en nuestra elección.

En la practica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 0,01, si bien se une otros valores. Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%) al diseñar una regla de decisión, entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.

Prueba de Uno y Dos Extremos.

Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos prueba de uno y dos extremos o contraste de una y dos colas.

Con frecuencia no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un lado de la media (o sea, en uno de los extremos de la distribución), tal como sucede cuando se contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (lo cual no es lo mismo que contrastar si un proceso es mejor o peor que el otro) tales contrastes se llaman unilaterales, o de un extremo. En tales situaciones, la región critica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.

La siguiente tabla de valores críticos de “z” para contraste de unos o dos extremos en varios niveles de significación.

Nivel de significación 

0.10

0.05

0.01

0.005

0.02

Valores críticos de “z” para Test Unilaterales

-1.28 o 1.28

-1.645 o 1.645

-2.33 o 2.33

-2.58 o 2.58

-2.88 o 2.88

Valores Críticos de “z” para Test Bilaterales

- 1.645 y 1.645

- 1.96 y 1.96

-2.58 y 2.58

-2.81 y 2.81

-3.08 y 3.08

Curva Característica Operativa y Curva de Potencia.

Hemos visto como limitar el error de tipo I eligiendo adecuadamente el nivel de significación.

Es posible evitar el riesgo de cometer error de tipo II simplemente no aceptado nunca hipótesis, pero en muchas aplicaciones prácticas esto es inviable.

En tales casos se suele recurrir a curvas de operación características o curvas de “OC”, que son gráficos que muestran las probabilidades de error de tipo II bajo diversas hipótesis.

Proporcionan indicadores de hasta que punto un test dado nos permitirá evitar un error de tipo II; es decir, nos indicará la potencia de un test a la hora de prevenir decisiones erróneas. Son útiles en el diseño de experimentos porque sugieren entre otras cosas al tamaño de muestra a manejar.

Grados de Libertad.

Para el cálculo de un estadístico, es necesario emplear tanto observaciones de muestra como propiedades de ciertos parámetros de la población. Si estos parámetros son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la muestra el número de grados de libertad de un estadístico, generalmente denotado por “v” se define como el número “N” de observaciones independientes en la muestra (o sea, el tamaño de la muestra) menos el número K de parámetros de la población, que debe ser estimado a partir de observaciones muéstrales.

En símbolos, v = N - k.

Capitulo II

Contraste de hipótesis referentes a la diferencia entre:

Una media muestra y una media población; utilizando la distribución (z)

El uso de la distribución normal z se busca en las mismas condiciones que en el caso de una muestra excepto que ahora se tienen dos muestras independientes. La formula general para determinar el valor de z para probar la diferencia entre dos medidas, dependiendo de sí se conocen los valores  para las dos poblaciones, es:

Análisis de datos

Donde puede procederse a probar cualquier diferencia supuesta (1 - 2)0. Sin embargo la hipótesis nula que generalmente se prueba consiste en que las dos muestras se obtienen de poblaciones con medias iguales. En este caso (1 - 2)0 = 0, y las formulas anteriores se vuelven más simples:

Una media Muestral y una Media Poblacional.

Una distribución poblacional representa la distribución de valores de una población y una distribución muestral representa la distribución de los valores de una muestra. En contraste con las distribuciones de mediciones individuales, una distribución muestral es una distribución de probabilidad que se aplica a los valores posibles de una estadística muestral. Así, la distribución muestral de la media es la distribución de probabilidad de los valores posibles de la media muestral con base en un determinado tamaño de muestra.

Para cualquier tamaño de muestra dado n, tomado de una población con media , los valores de la media muestral varían de una muestra a otra. Esta variabilidad sirve de base para la distribución muestral. La distribución muestral de la media se describe determinando el valor esperado E () o media, de la distribución y la desviación estándar de la distribución de las medias, . Como esta desviación estándar indica la precisión de la media muestral como estimador puntual, por lo general se le denomina error estándar de la media. En general, se define el valor esperado de la media y el error estándar de la media de la siguiente manera:

E

Ejemplo: Suponga que la media de una población muy grande es  = 50.0 y que la desviación estándar es  = 12.0. Se determina la población muestral de las medias para una muestra de tamaño n = 36, en términos del valor esperado y del error estándar de la distribución de la siguiente manera.

E

Cuando se muestra a partir de una población finita, se debe incluir un factor de corrección por población finita en la fórmula para el error estándar de la media. Como regla general, la corrección es despreciable y puede omitirse cuando n < 0.05 N, es decir, cuando el tamaño de la muestra es menos del 5% del tamaño de la población. Muchos textos y programas de computación no incluyen esta corrección porque suponen que la población siempre es muy grande, o quizá de tamaño infinito. La fórmula para el error estándar de le media, incluyendo el factor de corrección por la población finita, es:

Si no se conoce la desviación estándar de la población, puede estimarse el error estándar de la media utilizando la desviación estándar muestral como estimador de la desviación estándar de la población. Para diferenciar este error estándar del que se basa en una o conocida, se le designa mediante el símbolo S (o mediante ô en algunos textos). La fórmula del error estándar estimado de la media es:

La fórmula del error estándar estimado de la media, incluyendo el factor de corrección por población finita es:

Proposiciones Utilizando la definición Chi - Cuadrado (X2).

Una media de la discrepancia existente entre las frecuentes observadas y esperadas viene proporcionada por el estadístico X2 dado por:

Donde si la frecuencia total es N,

Una expresión equivalente a la formula (1) :

Si X2 = 0 Las frecuencias observadas y teóricas coinciden completamente, mientras que si X2 > 0, no coinciden exactamente a valores más grandes de X2, mayor discrepancia entre las frecuencias observadas y esperadas.

La distribución muestral de X2 se aproxima muy bien por la distribución Chi - Cuadrada.

Distribución Chi - Cuadrado para la Bondad de Ajustes:

El Test Chi - Cuadrado puede utilizarse para determinar la calidad del ajuste mediante distribuciones teóricas (como la distribución normal o la binomial) de distribución empíricas (o sea las obtenidas de los datos de la muestra).

Distribución Chi - Cuadrado y Tablas de Contingencia.

Suceso

E1

E2

E3

...

Ek

Frecuencia Observada

01

02

03

...

0k

Frecuencia Esperada

e1

e2

e3

...

ek

En esta tabla las frecuencias observadas ocupan una sola fila y la llamamos tabla de calcificación de entrada única como el número de columnas es K también se llama una tablas 1 x K (Leido 1<<1 por k>>).

Extendiendo estas ideas, podemos llegar a tablas de doble entrada ó tablas h x k, en las que las frecuencias observadas ocupan h filas y k columnas tales tablas se suelen llamar tablas de contingencia.

Correspondiendo a cada frecuencia observada en una tabla de contingencia h x k, hay una frecuencia esperada o teórica que se calcula sujeta a ciertas hipótesis de acuerdo con las leyes de las probabilidades. Estas frecuencias que ocupan las celdas de una tabla de contingencia, se llaman frecuencias de celdas. La frecuencia total de cada fila o en cada columna se llama frecuencia marginal.

Para investigar el acuerdo entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, calculamos el estadístico.

Donde la suma de toma sobre todas las celdas de una tabla de contingencia y donde los símbolos Oj y ej representan respectivamente las frecuencias observadas y esperada de la j - ésima celda.

La suma de todas las frecuencias observadas se denota por N y es igual a la suma de todas las frecuencias observadas se denota por N y es igual a la suma de todas las frecuencias esperadas.

Como antes el estadístico (5) tiene una distinción muestral dada muy aproximadamente por (4), supuesto que las frecuencias esperadas no sean demasiado pequeñas. El número de grado de libertad, v de esta distribución chi - cuadrado viene dado por h > 1 y k >1 por:

1.- v = (h - 1) (k - 1) si las frecuencias esperadas se pueden calcular sin recurrir a estimaciones muéstrales de los parámetros de la población.

2.- v = (h -1) (k - 1) - m. Si las frecuencias esperadas solo se pueden calcular mediante estimación de m parámetros de la población a partir de estadísticas de la muestra.

Los contrastes de significación para las tablas h x k son similares a los de las tablas 1 x k. Las frecuencias esperadas se hallan sujetas a una hipótesis particular h0.

Las tablas de contingencia se pueden generalizar a más dimensiones. Así, por ejemplo, podemos tener tablas h x k x 1, donde están presentes tres clasificaciones.

Muestras.

Es un subconjunto de la población que contiene las mediciones obtenidas mediante un experimento.

Dos varianzas Utilizando la razón de varianzas (f de fisher).

Como hemos visto es importante conocer la distribución de muestreo de la diferencia en medias de dos muestras. De la misma manera, podemos necesitar la distribución de muestreo de la diferencia en varianzas (s21 - s22). Resulta sin embargo, que esta distribución es complicada, por lo que en lugar de eso, consideramos el estadístico s21 / s22, ya que en un cociente grande o pequeño indicará una gran diferencia, mientras un cociente cercano a 1 indica una pequeña diferencia. Su distribución de muestra se llama distribución f, en honor a R. A. Fisher.

Mas correctamente, sean dos muestras 1 y 2 de tamaños N1 Y N2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales (o casi) con varianzas 21 y 22, Definamos el estadístico.

Donde

Entonces la distribución de muestreo de F se llama distribución de F de Fisher o en breve, distribución F, con v1 = N1 - 1 y v2 = N2 - 1 grados de libertad. Esta distribución viene dada por:

Donde C es una constante que depende de v1 y v2 tal que el área total bajo la curva es 1.

La forma de esta curva puede variar considerablemente según los valores de v1 y v2.

Puede probarse que la distribución F es el modelo de probabilidad por el cociente de las varianzas de muestras tomadas en forma independiente de la misma población con distribución normal y que existe una distribución F diferente para cada combinación de grados de libertad (g1) correspondiente al numero de muestra. Para todas las muestras, g1 = n - 1 por ello, la estadística que se utiliza para probar la hipótesis nula con respecto a la diferencia entre dos varianzas es:

F =

Aun cuando esta hipótesis nula sea cierta, no es probable que las varianzas muestras de cualquier par de muestras sean idénticas.

Para datos Apareados y no Apareados.

-. Distribución T Student.

Definamos el estadístico:

Que es análogo al estadístico Z dado por:

Si consideramos muestras de tamaño N tomadas de una población normal (o casi normal) con media  y si para cada una calculamos t, usando la media muestral x y la desviación típica muestral S ó ^s, puede obtenerse la distribución de muestreo para t.

Esta distribución viene dada por:

Donde yo es una constante que depende de N tal que al área total bajo la curva es 1, y donde la constante V = (n - 1) se llama el número de grados de libertad (v es la letra griega nu).

La distribución (2) se llama distribución t de Student en honor de su descubridor, W.S Gosset; para grandes valores de v o de N (ciertamente N " 30), las curvas (2) se ajustan mucho a las curva normal canónica.

Muestras Grandes y Muestras Pequeñas.

Para muestras de tamaño N > 30, llamadas grandes muestras, las distribuciones de muestreo de muchos estadísticos son aproximadamente normales, siendo la aproximación tanto mejor cuanto mayor sea N.

Para muestra de tamaño menor que 30, llamadas pequeñas muestras, esa aproximación no es buena y empeora al decrecer N, de modo que son precisas ciertas modificaciones.

El estudio de la distribución de muestreo de estadísticos para pequeñas muestras se llama teoría de pequeñas muestras, sin embargo un nombre más apropiado seria teoría exacta del muestreo, pues sus resultados son validos tanto para pequeñas muestras como para grandes.

Para datos Apareados y no Apareados.

En muchas situaciones las muestras se extraen como pares de valores, tal como cuando se determina el nivel de productividad de los trabajadores, antes y después de un programa de capacitación. A esta clase de datos se les denomina observaciones apareadas a pares asociados. También a diferencia de las muestras independientes a dos muestras que contienen observaciones apareadas se les denomina dependientes.

El método apropiado para probar la diferencia entre observaciones apareadas consiste en determinar la diferencia “d” entre cada par de valores y después probar la hipótesis nula de que la diferencia poblacional promedio es 0. por ello desde el punto de vista de los cálculos, se aplica una prueba a una muestra de valores “d”.

La diferencia promedio para el conjunto de observaciones apareadas es:

La fórmula de desviación y la abreviada para la distribución estándar y las diferencias entre datos apareados son:

El error estándar del promedio de las diferencias entre datos apareados se obtiene mediante la fórmula del error estándar de la media, excepto que se sustituye el por x:

Como el error estándar del promedio de las diferencias se calcula con base a datos apareados y como por lo general, se supone que los valores “d” tienen una distribución normal, la distribución t resulta apropiada para probar la hipótesis nula de que d = 0.

Una proporción Muestral y una Poblacional:

Muestras Grandes

Distribución Normal (z).

Puede utilizarse la distribución normal como aproximación de la binomial cuando n " 30 y, tanto np " 5 como n (q) " 5, donde q = 1 - p. Sin embargo en el caso de intervalos de confianza se requiere un tamaño de muestra n =100.

En pruebas de hipótesis, el valor del error estándar de la población que se utiliza se basa en el valor hipotético 0.

La formula del error estándar de la proporción que incluye el factor de corrección por población finita es:

La formula para la distribución normal z sería:

Para determinar el tamaño de la muestra que se requiere para probar el valor de una proporción (antes de extraerla) especificando el valor hipotético de la proporción, un valor alternativo especifico de la proporción, de manera que la diferencia con respecto al valor hipotético - nulo resulte considerable; el nivel de significación que debe utilizar en la prueba, y la probabilidad del error tipo II que se permite. La fórmula que determinará el tamaño mínimo de las muestras que se requieren para probar dicho valor de la proporción es:

Donde z0 es el valor critico de z que se utiliza con el nivel especificado de significancía (nivel ) en tanto que z1.

Es el valor que corresponde a la probabilidad designada del error tipo II (nivel ).

Cuando se determina el tamaño de la muestra para probar la media, z0 y z1 siempre tienen signos algebraicos opuestos.

Ejercicios de Aplicación:

Para una Media Muestral y una Poblacional:

La vida útil promedio de una muestra aleatoria de n1 = 10 focos es x1 = 4.600 horas con s1 = 250 horas para otra marca de focos, la vida útil promedio y la desviación estándar para una muestra de n2 = 8 focos son x2 = 4.000 horas y s2 = 200 horas. Se asume que la vida útil de los focos de ambas marcas tiene una distribución normal. El intervalo de confianza de 90% para estimar la diferencia entre las vidas útiles de las dos marcas de focos es:

Utilizando la Distribución Z:

El salario promedio mensual para una muestra de n1 = 30 empleados de una empresa manufacturera grande es x1 = $ 280,000, con desviación estándar muestral de s1 = $ 14,000 ó en otra Empresa grande, una muestra aleatoria de n2 = 40 empleados, tiene un salario promedio de x2 = $ 270,000 con la desviación estándar muestral de s2 = $ 10.000 no se supone que las desviaciones estándar de las dos poblaciones sean iguales. Se prueba la hipótesis de que no existe diferencia entre los salarios promedio mensuales de las dos empresas, utilizando un nivel de significación de 5% de la siguiente manera:

Errores Tipo I y Tipo II.

Ejemplo 1.- La hipótesis nula que se va a probar es que la media de todas las cuentas por cobrar es cuando menos $260.000, y esta prueba se llevará a cabo con un nivel de significancia del 5%. Además, el auditor señala que consideraría que una media real de $240.000 (o menos) constituye una diferencia material importante.

Con respecto al valor hipotético de la media. Al igual que antes,  = $43.000, y el tamaño de la muestra es n = 36 cuentas. Para determinar la probabilidad del error tipo II, se requiere:

1.- Plantear las hipótesis nula y alternativa para esta prueba.

2.- Determinar el valor critico de la media muestral que debe utilizarse para probar la hipótesis nula con un nivel de significancia del 5%,

3.- Identificar la probabilidad del error tipo I; correspondiente al valor crítico que se calculo antes, como base para la regla de decisión.

4.- Identificar la probabilidad del error tipo II correspondiente a la regla de decisión, dada una media alternativa especifica de $240.000.

La solución completa es:

1.-

2.-

3.- La probabilidad del error tipo I es igual a 0.05 (el nivel de significancia que se utiliza para probar la hipótesis nula).

4.- la probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que la media de la muestra aleatoria sea igual o superior a $248,210, dado que la media de todas las cuentas es en realidad $240.000.

En la figura 10 - 4 se ilustra el método que se siguió en el ejemplo 5. En general, el valor crítico de la media que se determina con respecto a la hipótesis nula se “reduce” y se utiliza como valor critico con respecto a la hipótesis alternativa especifica. En el problema 10.13 se ilustra la forma de determinar la probabilidad del error tipo II para una prueba de dos extremos.

Ejemplo 2.- Puede verificarse la probabilidad del error tipo II que se determinó en el ejemplo 5, haciendo referencia a la figura 10 - 5, de la siguiente manera:

Tal como se determinó en el ejemplo 5, 0 = $ 260.000, 1 = $240.00 y x = 7166,67. Por lo tanto, la diferencia entre los dos valores designados de la media en unidades del error estándar es

Con referencia a la figura 10 - 5, la altura de la curva en el valor de 0 - 2.8 x sobre el eje horizontal está justamente sobre el 0.10, tal como se muestra en las líneas punteadas. El valor real calculado en el ejemplo 5 en 0.13.

Al realizar pruebas de hipótesis, el concepto de potencia se refiere a la probabilidad de rechazar una hipótesis nula dado un valor alternativo especifico para el parámetro (en los ejemplos que se han revisado, es la media de la población). Cuando se designa mediante  la probabilidad del error tipo II, se sigue que la potencia de una prueba es 1 - . Con referencia a la figura 10 - 5, puede observarse que la potencia para valores alternativos de la media es la diferencia entre el valor señalado por la curva C0 y 1.0 y , por ello, puede obtenerse una curva de potencia mediante “Substracción” utilizando la curva C0.

Ejemplo 3.- Puede determinarse la potencia de la prueba con el valor alternativo especifico de la media de $ 240.000, de la siguiente manera:

Como  = p (error tipo II) = 0.13 (del ejemplo 5),

Potencia = 1 -  = 1.00 - 013 = 0.87

(Nota: Esta es la probabilidad de rechazar la hipótesis, en la forma correcta, cuando  = $ 240.000).

Ejemplo 4.- Un auditor desea probar la hipótesis nula de que el valor promedio de todas las cuentas por cobrar es de cuando menos $260.000. Considera que la diferencia entre este valor hipotético y un valor especifico alternativo de $ 240.000 (o menos) sería considerable. Los niveles aceptables de los errores tipo I () tipo II () son 0.05 y 0.10, respectivamente. se sabe que la desviación estándar de los montos de las cuentas por cobrar es de  = $43.000. El tamaño de la muestra que debe extraerse, como mínimo, para llevar a cabo esta prueba es

(Nota: Como z0 y z1 siempre tienen signos algebraicos contrarios, se tiene los dos valores zeta siempre se acumulan en el numerador. Si el valor acumulado es negativo, el proceso de elevar al cuadrado da como resultado valores positivos).

Ejemplo 5.- Suponga que el auditor del ejemplo anterior esta preocupado por una discrepancia en cualquier dirección con respecto al valor nulo hipotético de $26.000 en cualquier dirección sería importante. Considerando la otra información y las especificaciones del ejemplo 8, el tamaño mínimo de la muestra que debe analizarse es.

(Nota como las desviaciones con respecto a valor hipotético sólo pueden darse en una dirección, se utilizan el valor de +1.96 o -1.96 como valor de z0, con el correspondiente valor de z1. Al igual que en el ejemplo 8, los dos valores de z se acumulan siempre antes de elevarlos al cuadrado.)

Distribución Student:

Prueba De un valor Hipotético de la media utilizando la distribución de Student

Se ha planteado la hipótesis nula de que la vida útil promedio de los focos de una marca especifica es cuando menos de 4.200 horas. La vida útil promedio para una vida aleatoria de n = 10 focos es x = 4000 horas, con desviación estándar muestral de s = 200 horas. En términos generales, se supone que la vida útil de los focos tiene una distribución normal. Se prueba la hipótesis nula con un nivel de significancia del 5%, de la siguiente manera:

Como -3.16 se encuentra en la región de rechazo del extremo izquierdo (a la izquierda del valor crítico -1.833), la hipótesis nula se rechaza y se acepta la alternativa de que la vida útil promedio es inferior a 4.200 horas.

Una Proporción de la Población Utilizando La Distribución Normal ( Z )

Ejemplo 6.- El director de la bolsa de trabajo afirmaba que cuando menos, el 50% de los egresados habría obtenido empleo hacia el primero de Marzo. Suponga que se entrevista a una muestra de n = 30 egresados, en vez de los 10 del ejemplo 5, y que sólo 10 de ellos señalan haber obtenido empleo hacia el primero de Marzo. ¿puede rechazarse la afirmación del director con un nivel de significancia del 5%?. Se utiliza z como estadística de prueba, de la siguiente manera:

Estadística Aplicada.

Se justifica el uso de la distribución normal porque

Se supone que la muestra es menos del 5% del tamaño de la población, y por ello no se utiliza el factor de corrección por población finita.)

El valor calculado de z de -1.88 es menor que el valor crítico de -1.645 para esta prueba del extremo inferior por eso se rechaza la afirmación del director en un nivel de significancia del 5%.

Proporción Muestral.

Ejemplo 7.- Un legislador desea probar la hipótesis de que, cuando menos, 60% de sus representados están a cierta legislación laboral que se está presentado en el congreso, utilizando el 5% como nivel de significancia con que una discrepancia importante con respecto a su hipótesis consistiría en que sólo el 50% (o menos) de las personas estuvieran a favor de la legislación, y esta dispuesto a aceptar un riesgo del error del tipo II de  = 0.05. El tamaño de la muestra que debe extraer, como mínimo, para satisfacer esas especificaciones es:

Ejemplo 8.- Una muestra de 50 hogares de cierta comunidad arroja que solo 10 de ellos se encuentran viendo un programa especial de televisión. En una segunda comunidad, 15 hogares de una muestra aleatoria de 50 se encuentran observando el programa especial. Se prueba la hipótesis de que la proporción global de televidentes en las dos comunidades no difieren, utilizando el nivel de significancia del 1%, de la siguiente manera:

Pruebas Para La Diferencia Entre Dos Medias Utilizando La Distribución Normal.

Un constructor está considerando dos lugares alternativos para un centro comercial regional. Como los ingresos de los hogares de la comunidad son una consideración importante en esa selección, desea probar la hipótesis nula de que no existe diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades. Consistente con esta hipótesis supone que la desviación estándar del ingreso por hogar es también igual en las dos comunidades. Para una muestra de n = 30 hogares de la primera comunidad, encuentra que el ingreso diario promedio es x = $35.500, con desviación estándar muestral de s1 = $1.800. Para una muestra de n2 = 40 hogares de la segunda comunidad, x2 = $34.600 s2 = $2.400. Probar la hipótesis nula en el nivel de significancia del 5%.

(Se combina las varianzas debido a la suposición de que los valores de las desviaciones estándar de las poblaciones son iguales).

Otras Pruebas De Hipótesis.

El valor calculado de z de +1.72 se encuentra en la región de aceptación de la hipótesis nula. Por ello, no es posible rechazar la hipótesis nula al nivel de significancia del 5%, y se acepta la hipótesis de que el ingreso promedio por hogar de las dos comunidades no es diferente.

Con referencia al problema 11.1, antes de recolectar los datos, el constructor considero que el ingreso de la primera comunidad pudiera ser superior. Con el objeto de someter esta evaluación a una prueba critica, le otorgo el beneficio de la duda a la otra posibilidad y planteo la hipótesis nula H0 : (1 -2)" 0. Prueba esta hipótesis con un nivel de significancia del 5%, con la suposición adicional de que los valores de la desviación estándar para las dos poblaciones no son necesariamente iguales.

El valor calculado z de +1.79 es mayor que el valor critico de +1.645 para esta prueba del extremo superior. Por ello, se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5%, y se acepta la hipótesis alternativa de que el ingreso promedio por hogar es mayor en la primera comunidad que en la segunda.

Con respecto a los problemas 11.1 y 11.2, antes de recolectar los datos, el constructor considero que el ingreso promedio de la primera comunidad excede al promedio de la segunda comunidad en cuando menos $1.500 diarios. En este caso, concediendo a esta evaluación el beneficio de la duda, pruebe esa suposición como hipótesis nula utilizando un nivel de significancia del 5%. No se supone que las desviaciones estándar de las poblaciones son iguales.

La prueba de ji -cuadrada como Procedimiento para Prueba de Hipótesis

Los procedimientos que se describen en este capitulo, implican la comparación de frecuencias muéstrales clasificadas en categorías definidas de datos, teniendo en todos los casos el patrón esperado de frecuencia que se basan en una hipótesis nula especifica. Por ello, los procedimientos son todos de prueba de hipótesis y en los análisis se utilizan datos de muestras aleatorias.

La distribución de probabilidad x2 (ji-cuadrada) se describe en las secciones 9.6 y 11.8. La estadística de prueba que se presenta en la sección siguiente se distribuye como el modelo de probabilidad de ji-cuadrada y, como se trata de pruebas de hipótesis, se aplican también en este capitulo las etapas básicas que se describieron en la sección 10.1.

En este capitulo se cubre el uso de la distribución ji-cuadrada para pruebas de bondad del ajuste, pruebas de la independencia de dos variables y pruebas para hipótesis sobre proporciones. Una de las pruebas de proporciones consiste en probar las diferencias entre varias proporciones, lo cual es una extensión de la prueba para la diferencia de dos proporciones que se describió en la sección 11.7.

Pruebas de Bondad del Ajuste

La hipótesis nula en una prueba de bondad del ajuste en una afirmación sobre el patrón esperado de las frecuencias en un conjunto de categorías. El patrón esperado puede ajustarse a su suposición de igualdad de probabilidades y puede, por ello, ser uniforme. O por otro lado, el patrón esperado puede ajustarse a distribuciones de probabilidad como la binomial, la Poisson y la normal.

Ejemplo 1.- Un distribuidor regional de sistemas de aire acondicionado a subdividido su reglón en cuatro territorios. A un posible comprador de una distribuidora se le dice que las instalaciones de equipo se distribuyen de manera aproximadamente igual en los cuatro territorios. El prospecto de comprador toma una muestra aleatoria de 40 instalaciones colocadas el año anterior de los archivos de la compañía, y encuentra que el numero de las instalaciones en cada uno de los cuatro territorios son los que se enlistan en el primer reglón de la tabla 12.1, (en donde o significa “frecuencia observada”) con base en la hipótesis de que las instalaciones están distribuidas en forma equitativa, en el segundo reglón de la tabla 12.1 se presenta la distribución uniforme esperada de las instalaciones (en donde fe significa “frecuencia esperada”).

Tabla 12.1 Número de Instalaciones de Sistema de Aire por Territorio

Territorio

Total

A

B

C

D

Número Instalado en la Muestra f0

6

12

14

8

40

Número Esperado de Instalaciones, fe

10

10

10

10

40

Para aceptar la hipótesis nula, debe ser posible atribuir las diferencias entre las frecuencias observadas y la esperada a la variabilidad del muestreo y al nivel especificado de significancia. Así la estadística de prueba ji-cuadrada se basa en la magnitud de esta diferencia para cada una de las categorías de la distribución de frecuencia. El valor de ji-cuadrada que se utiliza para probar la diferencia entre un patrón de frecuencia observado y otro esperado es:

Se observa que, si las frecuencias observadas son muy cercanas a las frecuencias esperadas, entonces el valor calculado de la ji-cuadrada estará cercano a 0. Conforme las frecuencias observadas se alejan de las frecuencias esperadas el valor de ji-cuadrada se vuelve mayor. Por ello, se concluye que las pruebas de ji-cuadrada implican el uso de solamente el extremo superior, con el objeto de determinar si un patrón observado de frecuencias es diferente de un patrón esperado.

Ejemplo 2.- El cálculo de la estadística de prueba ji-cuadrada para el patrón de frecuencias observadas y esperadas de la tabla 12.1 es:

El valor que se requiere de la estadística de prueba ji - cuadrada para rechazar la hipótesis nula depende del nivel de significancia que se especifique y de los grados de libertad. En pruebas de bondad del ajuste, los grados de libertad gl son iguales al número de categorías menos el número de estimadores de parámetros y menos 1. Los grados de libertad par una prueba e bondad del ajuste con ji . cuadrada son (en donde k = a número de categorías de datos y m = números de parámetros estimados con base en la muestra):

gl = k - m - 1

Ejemplo 3.- En seguida se presenta un ejemplo completo del procedimiento de prueba de hipótesis para los datos de la tabla 12.1, probando la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5% .

H0: El número de instalaciones están distribuidas de manera uniforme en los cuatro territorios.

H1: El número de instalaciones no esta distribuida de manera uniforme en los cuatro territorios.

gl = k - m - 1 = 4-0-1 = 3

x2 Crítica (gl = 3, = 0.05) = 7.81 (del apéndice 7).

x2 Calculada = 4.00 (del ejemplo 2).

Cómo el valor calculado de ji - cuadrada de 4.00 no es mayor que el valor crítico de 7.81 no puede rechazarse la hipótesis nula de que las instalaciones están distribuidas de forma equitativas entre los cuatro territorios, a un nivel de significancia del 5%.

Pruebas de Bondad de Ajuste

Alguien afirma que los clientes de una tienda de pantalones vaqueros son hombres y mujeres, en proporciones iguales. Se observa una muestra aleatoria de 40 clientes y 25 resultan ser hombres y 15 mujeres. Pruebe la hipótesis nula de que el número global de hombres y mujeres que son clientes en esa tienda es igual, aplicando la prueba de ji - cuadrada, y utilizando el nivel de significancia del 5%.

Tabla 12.10. Frecuencias Observadas y Esperadas para el Problema 12.1.

Clientes

Total

Hombres

Mujeres

Número en la Muestra (f0)

25

15

40

Número esperado (fe)

20

20

40

De la tabla 12.10

H0: El número de clientes hombres y mujeres es igual.

H1: El número de clientes hombres y mujeres no es igual.

gl = k -m-1 = 2-0-1 =1

x2 Crítica (gl = 1,  = 0.05) = 3.84

La estadística de prueba calculada, 2.50 no es mayor que el valor crítico de 3.84. Por lo tanto, no es posible rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia de un 5%.

Ejemplo 4.- Durante mucho tiempo, un fabricante de aparatos de televisión a tenido 40% de sus ventas en aparatos de pantallas pequeñas (de menos de 1 pulgadas), 40% de tamaño mediano (de 14 a 19 pulgadas) y el 20% en la categoría de pantalla grande (de 21 pulgadas y más). Para fijar los programas adecuados de producción para el mes siguiente, se torna una muestra aleatoria de 100 ventas durante el periodo y se encuentra que 55 de los aparatos eran pequeños, 35 medianos y 10 grandes. En seguida, se prueba la hipótesis nula de que el patrón histórico de ventas sigue siendo igual, utilizando el nivel de significancia de 1%.

H0 : Los porcentajes de compras de aparatos de televisión de pantalla pequeña, mediana y grande son 40%, 40% y 20% respectivamente.

H1: el patrón actual de ventas de televisores es diferente del patrón histórico planteado en H0.

gl 0 k - m - 1 = 3-0-1 = 2

X2 Crítica (gl = 2, = 0.01) = 9.21

La X2 calculada (en la tabla 12.2 se encuentran las frecuencias observadas y esperadas) es:

La estadística ji - cuadrada calculada de 11.25 es mayor que el valor crítico de 9.21. Por ello, se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de 1%. Comparando la frecuencias observadas y esperadas de la tabla 12.2, se encuentra que el cambio principal consiste en que se venden más aparatos pequeños y menos grandes, con ciertas reducción en las ventas de los aparatos de tamaño mediano.

Tabla 12.2 Compras Observadas y esperadas de aparatos de televisión, de acuerdo con el tamaño de la pantalla.

Tamaño de la Pantalla

Total

Pequeña

Mediana

Grande

Frecuencia Observada, f0

Patrón Histórico, fe

55

40

35

40

10

20

100

100

Tablas de Contingencia.

Ejemplo 5.- La tabla 12.3 es una reproducción de la sección 5.8 y es un ejemplo del formato más simple posible de una tabla de contingencia, ya que las dos variables (Sexo y Edad) tiene solo dos niveles de clasificación, o categorías. Por ello, se trata de una tabla de contingencia de 2 x2.

Tabla 12.3 Tabla de contingencia para los clientes de la tienda de aparatos de sonidos.

Edad

Sexo

Total

Hombre

Mujer

Menor de 30

60

50

110

30 y más

80

10

90

Total

140

60

200

Si se rechaza la hipótesis nula de independencia para datos clasificados como los de la Tabla 12.3, es señal de que las dos variables son dependientes y que existen una relación entre ellas. Por ejemplo, para la tabla 12.3, esto indicara que existe una relación entre la edad y el sexo para los clientes de la tienda de aparatos de sonido.

Dada la hipótesis de independencia las dos variables, la frecuencia esperada correspondiente a cada una de las celdas de la tabla de contingencia debe ser proporcional al total de frecuencias observadas de columnas y de reglón. Si fr es la frecuencia total de un reglón determinado fx es la frecuencia total de una columna determinada, entonces una formula conveniente para determinar la frecuencia esperada para la celda de la tabla de contingencia que se encuentra en ese renglón y columna es:

La formula general para los grados de libertad correspondiente a una prueba de independencia es:

gl = (r - 1) (k - 1).

Ejemplo 6.- En la tabla 12.4 se presentan las frecuencias esperadas para los datos de la tabla 12.3. Por ejemplo para la celda de renglón 1 y columna 1, el calculo de la frecuencia esperada es:

En este caso, las tres frecuencias esperadas restantes pueden obtenerse mediante substracción de los totales de renglón y de columnas, como alternativas al uso de las formulas (12.3). Esta es una indicación directa de que existe un grado de libertad para una tabla de contingencia de 2x2 y que solo la frecuencia de una celad “tiene libertad” para variar.

Tabla 12.4 Tabla de frecuencia esperadas para las frecuencias observadas que se reportan en la tabla 12.3.

Edad

Sexo

Total

Hombres

Mujer

Menor de 30

77

33

110

30 y más

63

27

90

Total

140

60

200

La estadísticas de pruebas y cuadradas para tablas de contingencia se calcula exactamente de la misma manera que para las pruebas de bondad del ajuste (sección 12.2).

Ejemplo 7.- Enseguida se realiza la prueba de la hipótesis nula de independencia para los datos de la tabla 12.3, utilizando un nivel de significancia del 1%.

H0: El sexo y la edad de los clientes de la tienda es independiente.

H1: El sexo y la edad son variables dependientes (existe una relación entre las variables sexo y edad).

La estadística de prueba calculada de 27.8 excede el valor crítico de 6.63. Por ello, se rechaza la hipótesis nula de independencia a un nivel de significancia del 1%. Con referencia a la tabla 12.3, se observa que es más probable que los clientes de sexo masculino tengan más de 30 años de edad, al tiempo que es más probable que las mujeres tengan menos de 30 años. El resultado de la prueba de ji - cuadrada arroja que no puede pensarse que esa relación observada en la muestra se debe al azar, a un nivel de significancia de 1%.

Ejemplo 8.- El gerente de un apartamento de personal estima que una proporción de  = 0.40 de los empleados de una empresa grande participara en un nuevo programa de inversión en acciones. Se entrevista a una muestra aleatoria de n = 50 empleados y 10 de ellos manifiestan su intención de participar. Se podría probar el valor hipotético de la proporción poblacional utilizando la distribución normal de probabilidad tal como se describe en la sección 11.5. En seguida, se ilustra el uso de la prueba de ji - cuadrada para lograr ese mismo objetivo utilizando un nivel de significancia de 5%.

H0 :  = 0.40 H1  " 0.40

gl = k - m - 1 = 2-0-1 = 1

(Existen 2 categorías de frecuencias observadas, tal como se muestra en la tabla 12.5).

X2 Crítica (gl = 1 = 0.05) = 3.84

La x2 calculada (en la tabla 12.5 se muestran las frecuencias observadas y las esperadas) es:

Tabla 12.5 frecuencia observadas y esperadas para el ejemplo 8.

Participación en los programas

Total

Si

No

Número Observado en la muestra, f0

10

40

50

Número esperado en la muestra fe

20

30

50

La estadística de prueba calculada de 8.33 excede el valor crítico de 3.84. Por ello se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de 5% y se concluye que la proporción de participantes en el programa en toda la empresa no es de 0.40.

Ejemplo 9.- Suponga que se muestren los hogares de cuatro comunidades y se investiga el número en los que se estaba viendo el programa especial de televisión. En la tabla 12.8 se presentan los datos muéstrales observados, y en la tabla 12.9 se presentan las frecuencias esperadas, calculadas con la fórmula (12.3). Enseguida se realiza la prueba de la hipótesis nula de que no existen diferencias entre las proposiciones poblacionales.

H0 : 1 = 2 = 3 = 4 H0 : No todas 1 = 2 = 3 = 4

(Nota: El rechazo de la hipótesis nula no indica que todas las igualdades son falsas si no que cuando menos una es falsa).

Tabla 12.8 audiencia del programa de televisión en cuatro comunidades.

Comunidades

Total

1

2

3

4

Número de Televidentes

10

15

5

18

48

Número de no Televidentes

40

35

45

32

152

Total

50

50

50

50

200

Tabla 12.9 Frecuencias esperadas para los datos de la tabla 12.8.

Comunidades

Total

1

2

3

4

Número de Televidentes

12.0

12.0

12.0

12.0

48

Número de no Televidentes

38.0

38.0

38.0

38.0

152

Total

50

50

50

50

200

El valor calculado de la estadística ji - cuadrada 10.75,no es mayor que el valor crítico de 11.35.Por ello, las diferencias en las proporciones de televidentes en las cuatro comunidades muestreadas no son lo suficientemente grande par rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5%.

Pruebas de Bondad del ajuste.

Alguien afirma que los clientes de una tienda de pantalones vaqueros son hombres y mujeres en proporciones iguales. Se observa una muestra aleatoria de 40 clientes y 25 resultan ser hombres y 15 mujeres. Pruebe la hipótesis nula de que el número global de hombres y mujeres que son clientes en esa tienda es igual aplicando la prueba de ji - cuadrada y utilizando el nivel de significancia del 5%.

Tabla 12.10 Frecuencias observadas y esperadas para el problema 12.1.

Clientes

Total

Hombres

Mujeres

Número en la Muestra (f0)

25

15

40

Número Esperado (fe)

20

20

40

De la tabla 12.10.

H0 : El número de clientes hombres y mujeres el igual.

H1: El número de clientes hombres y mujeres no es igual.

gl = k - m - 1 = 2 - 0 - 1 = 1

X2 crítica (gl = 1,  = 0.05) = 3.84

La estadística de prueba calculada, 2.50, no es mayor que el valor crítico de 3.84. Por lo tanto, no es posible rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia del 5%.

Análisis de datos

Análisis de datos

Análisis de datos

Análisis de datos

F

Y

F F 0.99

0.95