Análisis de componentes principales

Estadística. Coeficiente de correlación. Variables. Matriz de datos. Diagonalización. Teorema de Pitágoras. Nube de puntos. Reperesentación plana

  • Enviado por: Marcelo
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
  • 38 páginas
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  • UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTÍSIMA CONCEPCIÓN

  • Facultad de Ingeniería

    ANÁLISIS DE COMPONENTES

  • PRINCIPALES

  • (ACP)

    I. Objetivos del Análisis de Componentes Principales

    I.1. La Tabla de Datos

    El ACP permite analizar la información de una tabla de tipo «individuos x variables cuantitativas».

    Tabla de Datos

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  • 2. Objetivos del ACP

    • Evaluar la semejanza entre los individuos a través de los atributos considerados :

    ¿Existen grupos de individuos semejantes...?

    ¿Se observa una tipología de individuos...?

    • Evaluar la relación existente entre las características consideradas :

    ¿Existen grupos de variables correlacionadas entre ellas...?

    ¿Se observa una tipología de variables...?

  • Comparación de los individuos y relación entre las variables de la tabla en el ACP

  • II.1. Semejanza entre los individuos de la Tabla de Datos

    • La comparación de dos individuos i y j es evaluada con la distancia euclidiana clásica entre i y j :

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    • Como las variables son consideradas con la misma importancia en la comparación, se les atribuye el mismo peso, mk = 1,

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    II. 2. Relación entre las variables de la Tabla de Datos

      • En el ACP, la relación entre las variables k y p es evaluada con el coeficiente de correlación (excepcionalmente : la covarianza) :

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      • Como a los individuos se les atribuye, normalmente, la misma importancia (el mismo peso, mi = 1/n)...

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    III. Transformación de la Matriz de Datos

    Matriz de Datos : X

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    Matriz de Datos Centrada-Reducida : Z

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      • Efectos de esa transformación de la Matriz de Datos

        • Centrando la Matriz de Datos...

      • no se modifica la evaluación de la distancia entre dos individuos cualesquiera de la tabla.

      • no se modifica la evaluación de la correlación entre dos variables cualesquiera de la tabla.

    • La reducción de la Matriz de Datos...

      • no modifica la evaluación de la relación entre dos variables cualesquiera de la tabla.

      • hace que la evaluación de la semejanza entre dos individuos cualesquiera de la tabla sea independiente de las escalas de medida de las variables.

    IV . La nube de puntos-individuos en R3 y en Rk

    • La base (e1,e2,e3) es una base ortonormal, centrada en G.

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    Análisis de componentes principales

    • A la variable le corresponde el eje engendrado por e1 = (1,0,0), y así siguiendo...

    • En R3 el individuo i queda representado por :

      • El punto i , de coordenadas :

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    Análisis de componentes principales

    • El extremo del vector wi , combinación lineal de los vectores de la base ortonormal,

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  • 1. Origen del espacio

    • El origen del espacio representa el «individuo medio».

    • El punto 0, en el espacio original, es el extremo del «vector de medias» de todas las variables.

  • 2. Inercia total de la nube de puntos-individuos

    • Considerando el individuo i en Rk

    Dispersión de Inercia total de

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    • Si representamos al individuo i por un punto en el espacio R3

    • Si representamos al individuo i como el extremo del vector wi

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    ¿Como se define la matriz V...?

  • 3. La matriz de inercia de la nube de puntos-individuos

    • D : métrica de los pesos en Rn

    • Z : matriz X centrada-reducida

    • V : matriz de inercia, es la matriz de correlaciones

  • 4. Contribución a la inercia del individuo i