Análisis de circuitos eléctricos: Red de dos puertos

Electrónica. Ecuaciones. Parámetros de admitancia

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INSTITUTO TECNOLOGICO de Tlalnepantla.

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA Y ELÉCTRONICA.

MATERIA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II

UNIDAD: III

TEMA: REDES DE DOS PUERTOS.

TRABAJO: REDES DE DOS PUERTOS.

REALIZO: ANONIMO

CARRERA: Ing. ELÉCTRICA.

SEMESTRE: 5º.

lunes, 04 de junio de 2001

1. REDES DE DOS PUERTOS

Considérese la red de dos puertos. Convencionalmente se supone que I1 e I2 flu­yen hacia la red como se indica. Las variables son V1, V2, I1 e V2. En la red de dos puertos hay dos variables independientes y dos dependientes, y se puede elegir un conjunto de dos variables inde­pendientes entre los seis conjuntos posibles: (V1, V2), (Ir, `2), (I1, I2), (I1, V2), (V1, I1) y (V2, I2). También se supondrá que los elementos son lineales.

En la tabla 18-1 se resumen las posibilidades entre las variables independientes (de entrada) y las variables dependientes asociadas. En la misma tabla se identifican también los nombres de los seis conjuntos de parámetros asociados del circuito. En el caso de transformadas fasoríales o de Laplace con el circuito de la figura 18-1, se tienen las conocidas ecuaciones de impedancia donde las variables de salida son V1 y V2 como sigue:

Tabla 18-1

Modelos de seis parámetros del circuito

Variables Variables

independientes dependientes Parámetros

(entradas) (salidas) del circuito

I1 , I2 V1, V2 Impedancia Z

V1 ,V2 I1 , I2 Admitancia Y

V1 , I2 I1 , V2 Híbrido g

I1 , V2 V1 , I2 Híbrido h

V2 , I2 V1 , I1 Transmisi6n T
V
1 , I1 V2 , I2 Transmision inversa T

V1 = Z11I1 +Z12I2 (18-9)

V2 =Z21I1 +Z22 I2 (18-10)

Las ecuaciones para las admitancias son

I1 = Y11 V1 +Y22 V2 (18-11)

I2= Y21 V1 + Y22 V2 (18-12)

Si se prefiere, es adecuado utilizar las letras minúsculas z y y para los coeficientes de las ecuacio­nes 18-9 a 18-12. En la tabla 18-2 se resumen las ecuaciones para los seis conjuntos de parámetros de dos puertos.

Cuando los elementos son lineales y no hay fuentes ni amplificadores operacionales dentro de la red de dos puertos, se puede demostrar, mediante el teorema de reciprocidad, que Z12 = Z21 y Y21 = Y12 En la figura 18-7 aparece un posible arreglo de un circuito pasivo como circuito 1. Planteando las dos ecuaciones de malla para esta figura pueden obtenerse fácilmente las ecuacio­nes 18-9 y 18-10. Por tanto, el circuito de la figura 18-7 puede representar los parámetros de impe­dancia. Un posible arreglo de los parámetros de admitancia en forma de circuito FI aparece en la figura 18-8.

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Examinando la ecuaci6n 18-9 se observa que Z11 puede medirse para obtener

V1

Z11 = l2 = 0

I1

Por supuesto, I2 = 0 implica que las terminales de salida están en circuito abierto. Por ello, los pa­rámetros Z suelen llamarse impedancias de circuito abierto.

Los parámetros Y pueden medirse para determinar que

l1

Y12 = V1 = 0

v2

En general, los parámetros de admitancia se llaman parámetros de admitancia de corto­circuito.

Ejemplo 18-3 Determinar los parámetros de admitancia e impedancia de la red 1 que aparece en la figura 18-9.

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Solución: Los parámetros de admitancia utilizan las terminales de salida en cortocircuito y

l1

Y11= V2 = 0

V1

Entonces, los dos resistores de 8 Q están en paralelo y 171 = 281t. Por tanto,

1

Y11 = s

28

Para Y12,

l1

Y12 = V1 = 0

V2

así que se cortocircuitan las terminales de entrada. Se obtiene así el circuito que aparece en la figu­ra 18-10.

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Luego, en forma matricial se tiene I = YV o

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Ahora se calcularán los parámetros de impedancia. Se tiene

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Las terminales de salida están en circuito abierto, como en el circuito de la figura 18-9. Entonces,

Z11= 24 + 8 = 32 ð

De igual modo, Z22 = 16 Q y Z12 = 8 ð. Entonces, en forma matricial se tiene V = ZI o sea

V1 32 8 I1

=

V2 8 16 I2

Los métodos generales para determinar los parámetros Z y Y se resumen en las tablas 18-3 y 18-4, respectivamente.

Tabla 18-3

Método para obtener los parámetros Z de un circuito

Paso La Para calcular Z11 y Z21, conectar una fuente de corriente V1 a las terminales de entrada y poner en cortocircuito las terminales de salida.

Paso IB Calcular I1 y V2 y después Z11 = V1/I1 y Z21 =V2/I1

Paso IIA Para determinar Z22 y Z12, conectar una fuente de corriente V2 en las terminales de salida y poner en cortocircuito las terminales de entrada.

Paso lIB Calcular I2 y V1 y luego Z22 = V2/I2 y Z12 =V1/I2

Nota: Z12 = Z21 solo si no hay fuentes dependientes ni amplificadores operacionales dentro de la red de dos puertos.

Tabla 18-4

Método para obtener los parámetros Y de un circuito

Paso JA Para determinar Y11 y Y21, conectar una fuente de voltaje I1 a las terminales de entrada y poner las terminales de salida en circuito abierto.

Paso IB Calcular V1 e I2 y luego Y11 =I1/V1 y Y21 =I2/V1

Paso IIA Para determinar Y22 y Y12, conectar una fuente de voltaje V2 a las terminales de salida y poner las terminales de entrada en circuito abierto.

Paso lIB Calcular I1 y V2 y luego Y22 =I2 /V2 y Y12 = I1 / V2.

Nota: Y12 = Y21 solo si no hay fuentes dependientes ni amplificadores operacionales dentro de la red de dos puertos.

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1.1 PARAMETROS Z y Y PARA UN CIRCUITO CON 18-6 FUENTES DEPENDIENTES

Cuando un circuito incluye una fuente dependiente, es fácil utilizar los métodos de las tablas 18-3 o 18-4 para determinar los parámetros Z o Y. Cuando en el circuito hay una fuente dependiente, Z21= Z12 y Y12 = Y21.

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Solución: Los parámetros Z se determinan con el método de la tabla 18-3. Se conecta una fuente de voltaje ~`1 y se abre el circuito en las terminales de salida, como aparece en la figura 18-12a.

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La LKC en el nodo a conduce a

I1 - mV2 - I = 0 (18-13)

La LKV en torno al lazo exterior es

V1= 4I~ + 5I (18-14)

Además, V2 = 3I, o sea I=V2/3 ; sustituyendo esto en la ecuación 18-13, se obtiene

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Sustituyendo 1= 172/3 y la ecuación 18-15 en la 18-14,

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Para obtener Z22 y Z12, se conecta una fuente de voltaje ~2 a las terminales de salida y se abre el circuito en las terminales de entrada, como se muestra en la figura 18-12b. Pueden plantearse dos ecuaciones de malla con la dirección supuesta de la corriente, que son

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Además, 14 = mV2, que sustituida en la ecuación 18-18, da

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Sustituyendo 14 = mV2 en la ecuación 18-17, se obtiene

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Nótese que Z21 _ Z12, dado que existe una fuente dependiente en el circuito.

1.2 PARAMETROS HÍBRIDOS Y DE TRANSMISIÓN

Las ecuaciones de los parámetros híbridos de dos puertos se basan en 171 e `2 como variables de sa­lida, de modo que

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Estos parámetros se emplean mucho en modelos de circuitos con transistores. El modelo de cir­cuito híbrido aparece en la figura 18-13.

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Las ecuaciones de los parámetros híbridos inversos son

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I1 = g11V1 + g12I2 (18-22)

V2= g21V1 + g22I2 (18-23)

Los parámetros híbridos e híbridos inversos incluyen tanto los parámetros de impedancia como los de admitancia, de ahí su nombre de híbrido. Los parámetros h11, h12, h21 y h22 represen­tan, respectivamente, la impedancia de entrada en cortocircuito, la ganancia inversa de voltaje en circuito abierto, la ganancia directa de corriente en cortocircuito y la admitancia de salida en cir­cuito abierto. Los parámetros g11, g12, g21 y g22 representan la admitancia de transferencia en cor­tocircuito, la ganancia directa de corriente en circuito abierto, la ganancia directa de voltaje en circuito abierto y la impedancia de salida en cortocircuito, respectivamente.

Los parámetros de transmisión se expresan como sigue:

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Los parámetros de transmisión se utilizan para describir la transmisión por cable, por fibra y por línea. Los parámetros A, B, C y D representan, respectivamente, la razón de voltajes en circuito abierto, la impedancia de transferencia negativa en cortocircuito, la admitancia de transferencia en circuito abierto y la razón de corriente negativa en cortocircuito. Los parámetros de transmi­sión suelen llamarse parámetros ABCD. En este libro, el interés se centrará en los parámetros hí­bridos y de transmisión, dado que se utilizan extensamente.

Ejemplo 18-5

a) Determinar los parámetros h del circuito T de la figura 18-15 en términos de R1, R2 y R3.

b) Evaluar los parámetros cuando R1 = 1ð, R2 =4ð y R3 = 6ð.

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Solución

a) Primero, se calculan h11 y h21 cortocircuitando las terminales de salida y conectando una fuen­te de corriente de entrada I1, como se ve en la figura 18-16a. Por tanto,

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Entonces, usando el principio del divisor de corriente,

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El siguiente paso es redibujar el circuito con I1= O y conectar la fuente de voltaje V2 como se ve en la figura 18-16b. Entonces se puede determinar h12 a partir del principio del divisor de volta­je, como sigue:

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Por último, se determina h22 a partir de la figura 18-16b como sigue:

Una propiedad de un circuito pasivo (sin fuentes entre los dos puertos) es que h12 = - h21. (b) Cuando R1= 1ð, R2= 4ð y Rð= 6ð,

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1.3 RELACIONES ENTRE PARAMETROS DE DOS PUERTOS

Si existen todos los parámetros bipuerto en un circuito, es posible relacionar un conjunto de parámetros con otro, dado que las variables V1, I1, V2 e I2 están interrelacionadas por los paráme­tros. Se examinará primero la relación entre los parámetros Z y Y . La ecuación matricial de los parámetros Z es V = ZI, o sea

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Asimismo, la ecuación de los parámetros Y es 1 = YV, o bien

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Sustituyendo 1 de la ecuación 18-29 en la 18-28, se obtiene

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Así, se puede obtener la matriz Z invirtiendo la matriz Y. Por supuesto, de igual modo puede ob­tenerse la matriz Y si se invierte una matriz Z conocida. Es posible que un bipuerto tenga una matriz Y o una matriz Z, pero no ambas. En otras palabras, en algunas redes pueden no existir Z'oY'.

Si se tiene una matriz Y conocida, la matriz Z se determina calculando el determinante AY de la matriz Y y la adjunta de la matriz Y, que se define como sigue:

donde AY= Y11Y22

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Las relaciones de conversión de dos puertos para los parámetros Z, Y, h, g y T aparecen en la tabla 18-5.

Ejemplo 18-6

•Determinar los parámetros Yy h si

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Solución Primero se determinarán los parámetros Y calculando el determinante como sigue:

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Después, de la tabla 18-5, se obtiene

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Los parámetros h se obtienen de la tabla 18-5,

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1.4 INTERCONEXIONES REDES DE DOS PUERTOS.

En muchos circuitos es común que haya varias redes de dos puertos interconectadas en paralelo o en cascada. La conexi6n en paralelo de dos puertos, que se muestra en la figura 18-17, exige que ~ sea igual para cada uno de ellos.

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De igual modo, en el puerto de salida, V2 es el voltaje de salida de ambas redes. La ecuación matricial que define a la red Na es

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Por tanto, los parámetros Yen la red formada por dos redes de dos puertos en paralelo se describen mediante la ecuación matricial

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Por tanto, para determinar los parámetros Y de la red total se suman los parámetros Y de cada red. En general, la matriz de los parámetros Y de la conexión en paralelo es igual a la suma de las matrices de los parámetros Y de cada una de las redes de dos puertos.

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En la figura 18-18 se muestra la interconexión en serie de dos redes de dos puertos. Se em­plearán los parámetros Z para describir cada red y su combinación en serie. Las dos redes se des­ criben mediante las ecuaciones matriciales

Por tanto, los parámetros Z de la red total son iguales a la suma de los parámetros Z de las dos redes. Cuando la salida de una red se conecta al puerto de entrada de la red siguiente, como aparece en la figura 18-19, se dice que las redes están en cascada. Puesto que las variables de salida de la pri­mera red se convierten en las variables de entrada de la segunda, se utilizan los parámetros de transmisión.

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La primera red de dos puertos, Na, se representa por la ecuación matricial

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Así, los parámetros de transmisi6n de la red total se calculan multiplicando las matrices, obser­vando el orden pertinente.

Todos los cálculos precedentes para redes interconectadas presuponen que la interconexi6n no altera la naturaleza de los dos puertos en las subredes individuales.

Ejemplo 18-7 En la red T de la figura 18-20, a) determinar los parámetros Z, Yy Ty b) determinar los paráme­tros resultantes después de conectar dos bipuertos en paralelo y en cascada. Ambas redes son idénticas a la de la figura 18-1.

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Solución Primero, se calculan los parámetros Z de la red T. Examinando la red, se ve que

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1

Por tanto

(18-15)