Álgebra

Matemáticas. Números naturales. Subespacios vectoriales. Teorema de Rouché-Fröbenius. Endomorfismo

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EXAMEN DE ÁLGEBRA ENERO 2003 PN

TEORÍA

1.- ¿Tiene el conjunto de los números naturales estructura de grupo con la operación habitual de suma? ¿Y el conjunto de los números enteros con la misma operación, y con la operación habitual de producto? ¿Por qué?

2.- Demuestra que si E es un subespacio vectorial de dimensión n, entonces todo conjunto de n vectores linealmente independientes es una base y que todo conjunto de generadores formado por n vectores es una base.

3.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones, escríbelo en forma matricial y en términos de aplicaciones lineales.

¿Es un sistema homogéneo, porqué?

4.- Demuestra que toda aplicación lineal que transforma bases en bases es un isomorfismo.

5.- Dado el subespacio vectorial calcula el subespacio ortogonal y las ecuaciones implícitas de un subespacio suplementario.

6.- Demuestra el teorema de Rouché-Fröbenius.

7.- Dada la matriz del producto escalar G=, calcular la proyección ortogonal del vector u=(1,-2) sobre el vector v=(2,1)

8.- Dado el endomorfismo cuya matriz asociada es calcula sus valores y vectores propios.

EXAMEN DE ÁLGEBRA ENERO 2003 PN

PROBLEMAS:

1.- Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2. Consideremos los siguientes subespacios vectoriales del mismo:

  • Demostrar que, efectivamente, V es un subespacio vectorial de

  • Calcular las bases, dimensiones y ecuaciones paramétricas e implícitas de U, V, W

  • Calcular una base de

  • 2.- Sea la aplicación lineal dada por la matriz cuando consideramos la base canónica en ambos subespacios.

  • ¿Para qué valores de a la aplicación no es epiyectiva?¿Para qué valores de a la aplicación tiene núcleo de dimensión 2?

  • Calcular para a=1 dimensión, bases y ecuaciones implícitas de los espacios Ker e Im

  • Calcular par a=1 la matriz asociada a cuando consideramos la base en ambos subespacios, con

  • 3.- Consideremos los subespacios:

  • Teniendo en cuenta los valores de a , ampliar una base de V a una base de

  • ¿Para qué valores da a V y W están en suma directa?

  • 4.-Sea el producto escalar usual en , sea la base canónica de , y sea la base de definida como sigue:

    con tal que es ortogonal al subespacio y forma un ángulo con

  • determinar a, b, c, d, f para que satisfaga las condiciones anteriores y sea además una base ortonormal de

  • Calcular una base del subespacio ortogonal a

  • Calcular el ángulo que forman los vectores y ; y ; y la proyección de sobre

    EXAMEN DE ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2003 PN

    TEORÍA

    1.-Dado el conjunto E de , con las operaciones de suma y producto por escalares definidas del siguiente modo:

    Determinar si tiene estructura de grupo.

    2.- Demuestra que la condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente, es que al menos uno de ellos se pueda poner como combinación lineal del resto.

    3.- Dado el endomorfismo T, calcula su matriz asociada y determina si es un isomorfismo:

    4.- Demuestra que si e´ es una solución del sistema (T.e), entonces todas las soluciones pueden ponerse de la forma con

    5.- Define Imagen de una aplicación lineal y demuestra que es un subespacio vectorial.

    6.- Dados los subespacios vectoriales y Determinar si están en suma directa y si son suplementarios. Calcula el subespacio ortogonal a

    7.- A partir de la base B={(2,5),(3,0)}, calcula una base ortonormal con el producto escalar usual.

    8.- Dado el endomorfismo cuya matriz asociada es , estudia si diagonaliza.

    EXAMEN DE ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2003 PN

    PROBLEMAS

    1.- Consideremos los siguientes subespacios de :

  • Calcular las ecuaciones implícitas y paramétricas de los subespacios y

  • Calcular las bases y dimensiones de los subespacios y

  • 2.- Sea el endomorfismo definido por:

    T(x,y,z)=(z,x,y)

  • Calcular la matriz de T con respecto a la base B={ (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) }

  • Usando matrices de cambio de base, calcular la matriz de T respecto de la base canónica

  • Calcular las ecuaciones paramétricas e implícitas, una base y la dimensión del subespacio definido por:

  • 3.- Discutir y resolver -siempre que sea posible- el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los distintos valores que puede tomar el parámetro a

    4.- Consideremos el espacio vectorial dotado de un cierto producto escalar. Sea una base de tal que:

    donde Consideremos además el subespacio vectorial , de tal forma que

  • Calcular la matriz del producto escalar en la base dada

  • Calcular el subespacio ortogonal a , donde