Álgebra

Matemáticas. Vecotores. Planos. Aplicación lineal incentiva. Teorema de la base

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EXAMEN DE ÁLGEBRA, FEBRERO 2002 PN

TEORÍA:

1.- Razona adecuadamente o proporciona un contraejemplo: Dos planos (subespacios vectoriales de dimensión 2) siempre se cortan (se interceptan) en una recta (subespacio vectorial se dimensión 1)

2.- Sean tres vectores de ninguno nulo, tales que:

>

>

Determinar el rango de los vectores

de

3.- Discutir y calcular el rango de la siguiente matriz en función de los valores de los parámetros de y

4.- Sea una aplicación lineal dada por:

¿ Es usted capaz de encontrar dos vectores distintos u, v tales que f(u)=f(v)=0?. Razone su respuesta..

Sea (E,g) un espacio euclídeo y sea V un subespacio vectorial de E. Se tiene que Luego:

¿Puede usted afirmar que

5.- Defina los siguientes conceptos: base de un espacio vectorial, rango de una matriz, espacio ortogonal a uno dado en un espacio vectorial euclídeo, núcleo de una aplicación lineal.

6.- Demuéstrese que si f es una aplicación lineal entonces f(0)=0

7.- Demuéstrese que si es una aplicación lineal entonces kerf es un subespacio vectorial de

8.- Demuéstrese que una condición suficiente para que una aplicación lineal entre dos subespacios vectoriales de la misma dimensión sea isomorfismo es que f sea inyectiva.

EXAMEN DE ÁLGEBRA FEBRERO 2002 PN

PROBLEMAS

1.- Sea

  • Calcule los valores de a para los que es una aplicación lineal inyectiva y si es posible, una base del Ker f

  • Calcule los valores de a para los que es una aplicación lineal epiyectiva

  • Sean:

  • Calcular ; y

    2.- Sea una aplicación lineal dada por :

    ; ;

  • Factorice por el método L-U la matriz A de la aplicación lineal f cuando consideramos en la base

  • Encuentre un vector de tal que f(a,b,c)=(1,2,3)

  • Sea otra base que se relaciona con la anterior por las fórmulas siguientes: ;

  • Calcule la matriz asociada a f en la base de

    3.- Sea:

  • Calcule los valores propios de la aplicación lineal que tiene la matriz A por matriz asociada

  • Calcule donde es la matriz identidad de orden tres.

  • 4.-Sea un espacio euclídeo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ;

  • Sea V =Calcule las ecuaciones paramétricas de y las ecuaciones implícitas de

  • Dé una base de . ¿Están en suma directa?

  • Calcule una base ortonormal de

  • EXAMEN DE ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2002 PN

    TEORÍA:

    1.- Teorema de la base. Enunciado y demostración.

    2.-Dada la base B, formada por los vectores u=(1,1,2) y v=(2,1,1), amplíese a una base B´ del total utilizando el teorema de Steinitz.

    3.- Defínase el concepto de base. Demuéstrese si los vectores u=(1,-2) y v=(2,1) forman base.

    4.- Defínase el concepto de coordenadas. Calcúlense las coordenadas en la base B={(1,-2),(2,1)} del vector w=(4,7).

    5.- Se considera la matriz A= expresada en la base canónica. Calcúlese dicha matriz en la base B={(2,2),(1,-1)}.

    6.- Demuéstrese que si T es un isomorfismo entonces su matriz asociada es invertible.

    7.- Defínase el rango de una matriz. Calcúlese el rango de A=

    8.- Dados los vectores u=(1,-2) y v=(2,1) determínese a partir de ellos y con el producto escalar usual una base ortonormal.

    EXAMEN DE ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2002 PN

    PROBLEMAS:

    1.- Consideremos los subespacios U, V, W contenidos en , definidos como sigue:

  • Calcular las dimensiones y una base de los espacios V, V W

  • Obtener las ecuaciones paramétricas e implícitas de W U

  • Obtener un subespacio suplementario de V W

  • 2.- Dado el endomorfismo de definido por f(x,y,z)=(x´,y´,z´) donde

    Se pide:

  • Calcular a y b para que (1,1,b) no esté en la imagen de f

  • Calcular todos los valores de a y b para que el Ker f tenga un único elemento

  • Encontrar para a=-1 y b=1 una solución del sistema f(x,y,z)=(1,1,1)

  • 3.- Calcular usando para ello propiedades de diagonalización de:

    4.- Sea un espacio euclídeo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ;

    Sea V =

  • Dar una base de ¿Están estos subespacios en suma directa?

  • Calcule una base ortonormal de