Álgebra

Matemáticas. Vectores. Matrices. Subespacios. Dimensiones. Base

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  • Idioma: castellano
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FINAL ÁLGEBRA ENERO 2003

PROBLEMAS:

1.- Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2. Consideremos los siguientes subespacios vectoriales del mismo:

  • Demostrar que, efectivamente, V es un subespacio vectorial de

  • Calcular las bases, dimensiones y ecuaciones paramétricas e implícitas de U, V, W

  • Calcular una base de

  • 2.- Sea la aplicación lineal dada por la matriz cuando consideramos la base canónica en ambos subespacios.

  • ¿Para qué valores de a la aplicación no es epiyectiva?¿Para qué valores de a la aplicación tiene núcleo de dimensión 2?

  • Calcular para a=1 dimensión, bases y ecuaciones implícitas de los espacios Ker e Im

  • Calcular par a=1 la matriz asociada a cuando consideramos la base en ambos subespacios, con

  • 3.- Consideremos los subespacios:

  • Teniendo en cuenta los valores de a , ampliar una base de V a una base de

  • ¿Para qué valores da a V y W están en suma directa?

  • 4.-Sea el producto escalar usual en , sea la base canónica de , y sea la base de definida como sigue:

    con tal que es ortogonal al subespacio y forma un ángulo con

  • determinar a, b, c, d, f para que satisfaga las condiciones anteriores y sea además una base ortonormal de

  • Calcular una base del subespacio ortogonal a

  • Calcular el ángulo que forman los vectores y ; y ; y la proyección de sobre

  • FINAL ÁLGEBRA JUNIO 2003

    PROBLEMAS:

    1.- Consideremos los subespacios U, V, W contenidos en , definidos como sigue:

  • Calcular las dimensiones y una base de los espacios V, V W

  • Obtener las ecuaciones paramétricas e implícitas de W U

  • Obtener un subespacio suplementario de V W

  • 2.- Estudiar para qué valores reales de la t, la siguiente matriz es diagonalizable en el campo real:

    3.-Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales: Sea f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes:

  • f(1+x)=2-x

  • El núcleo coincide con la imagen, es decir, Kerf=Imf

  • Se pide:

  • Matriz del endomorfismo en la base B={1,x}

  • Calcular una base de f(W) siendo W el subespacio de ecuación donde son coordenadas en la base B

  • Imagen inversa del conjunto {(1,1),(0,0)}

  • 4.- Sea un espacio euclídeo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ;

    Sea V =

  • Dar una base de ¿Están estos subespacios en suma directa?

  • Calcule una base ortonormal de

  • FINAL ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2003

    PROBLEMAS:

    1.- La productora de cine CINEMA planea la realización de un corto para darse a conocer. Para ello, ha de contratar operarios(de sonido, cámaras,..)contratar actores “famosillos” y contratar actores de reparto. Para contratar actores, tanto famosillos como de reparto, realiza un casting previo durante 2 días. Necesita 10 días para negociar y contratar los actores famosillos, 5 días para la contratación de los actores de reparto y 5 días para la contratación de los distintos operarios. Una vez contratado todo el personal(operarios y actores) comienza una campaña publicitaria de 5 días de duración. Necesita 10 días para diseñar y preparar las diferentes localizaciones y decorados. Terminando el asunto del decorado y las contrataciones, pero sin tener en cuenta la campaña publicitaria, realizará una serie de ensayos durante 3 días, tras los cuales comenzará a rodarse el corto.¿ Conseguirá empezar a rodar el corto antes e 20 días? Para su comprobación se pide: relaciones de precedencias, grafo PERT asociado, tiempos, duración, holguras y caminos críticos.

    2.- Consideremos los subespacios U, V, W contenidos en , definidos como sigue:

  • Calcular las dimensiones y una base de los espacios V, V W

  • Obtener las ecuaciones paramétricas e implícitas de W U

  • Obtener un subespacio suplementario de V W

  • 3.- Calcular usando para ello propiedades de diagonalización de:

    4.-Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales: Sea f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes:

  • f(1+x)=2-x

  • El núcleo coincide con la imagen, es decir, Kerf=Imf

  • Se pide:

  • Matriz del endomorfismo en la base B={1,x}

  • Calcular una base de f(W) siendo W el subespacio de ecuación donde son coordenadas en la base B

  • Imagen inversa del conjunto {(1,1),(0,0)}