Álgebra

Matemáticas. Subespacios. Matrices. Diagonizable. Bases ortonormales

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FINAL ÁLGEBRA ENERO 2004

PROBLEMAS:

1.-Sean U, V, W tres subespacios contenidos en , definidos como sigue:

  • Calcular las dimensiones y una base de los espacios tres subespacios U, V, W

  • Obtener las ecuaciones paramétricas e implícitas de y de . ¿Están U y V en suma directa? ¿Son U y W suplementarios?

  • Obtener un subespacio suplementario de V + U

  • 2.- Sea y sea el homomorfismo definido por:

  • Calcular la matriz asociada a la base ordinaria

  • Siendo Calcular tanto en la base ordinaria como en la base B

  • Calcular una base de Kerf y las ecuaciones paramétricas de Imf

  • 3.- En el espacio vectorial de dotado de un producto escalar se considera un base ortogonal tal que , , .

  • Obtener una base ortonormal del subespacio ortoganoal a

  • Descomponer al vector de la forma , donde ,

  • 4.- Dado el endomorfismo definido como:

  • Estudiar si es o no diagonalizable

  • Calcular , siendo A la matriz del endomorfismo en la base canónica.

  • FINAL ÁLGEBRA JUNIO 2004

    PROBLEMAS:

    1.- Estudiar para qué valores reales de la t, la siguiente matriz es diagonalizable en el campo real:

    2.- La productora de cine CINEMA planea la realización de un corto para darse a conocer. Para ello, ha de contratar operarios (de sonido, cámaras,..) Contratar actores “famosillos” y contratar actores de reparto. Para contratar actores, tanto famosillos como de reparto, realiza un casting previo durante 2 días. Necesita 10 días para negociar y contratar los actores famosillos, 5 días para la contratación de los actores de reparto y 5 días para la contratación de los distintos operarios. Una vez contratado todo el personal (operarios y actores) comienza una campaña publicitaria de 5 días de duración. Necesita 10 días para diseñar y preparar las diferentes localizaciones y decorados. Terminando el asunto del decorado y las contrataciones, pero sin tener en cuenta la campaña publicitaria, realizará una serie de ensayos durante 3 días, tras los cuales comenzará a rodarse el corto.¿ Conseguirá empezar a rodar el corto antes e 20 días? Para su comprobación se pide: relaciones de precedencias, grafo PERT asociado, tiempos, duración, holguras y caminos críticos.

    3.- Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales: Sea f el endomorfismo de V que verifica las condiciones siguientes:

  • f(1+x)=2-x

  • El núcleo coincide con la imagen, es decir, Kerf=Imf

  • Se pide:

  • Matriz del endomorfismo en la base B={1,x}

  • Calcular una base de f(W) siendo W el subespacio de ecuación donde son coordenadas en la base B

  • Imagen inversa del conjunto {(1,1),(0,0)}

  • 4.- Sea una base del espacio vectorial euclídeo definida por las condiciones métricas siguientes:

  • Hallar el subespacio ortogonal al subespacio generado por los vectores en la base dada

  • Calcular una base ortonormal para el producto escalar definido

  • EXAMEN FINAL ÁLGEBRA SEPTIEMBRE 2004

    PROBLEMAS:

    1.- Sea v el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 1, con las operaciones usuales: v={ a+bx / a,b ε R}. Sea f el endomorfismo de v, verifica las siguientes condiciones:

    i) f (1+x) = 2-x

    ii) Ker f = Img f

    se pide :

  • matriz f en la base b=(1,x)

  • calcular una base f(w) siendo w el subespacio de ecuación x1 +2 x2= 0 donde x1, x2 es la base B.

  • imagen inversa del conjunto {(1,1),(0,0)}

  • 2.- Estudiar para que valores reales de la T, la siguiente matriz es diagonalizable:

    3.- Sea el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2. Consideremos los siguientes subespacios vectoriales del mismo:

  • Demostrar que, efectivamente, V es un subespacio vectorial de

  • Calcular las bases, dimensiones y ecuaciones paramétricas e implícitas de U, V, W

  • Calcular una base de

  • 4.- Sea una base del espacio vectorial euclídeo definida por las condiciones métricas siguientes:

  • Hallar el subespacio ortogonal al subespacio generado por los vectores en la base dada

  • Calcular una base ortonormal para el producto escalar definido