UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Examen Final - Febrero 2005

Tema 7 - Teóricos

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad: …………………………………………………………………………..................................

La condición para aprobar el Examen Final es tener bien resueltos como mínimo completos tres de los puntos propuestos.

IMPORTANTE: Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

TEMAS TEORICOS

1.-Defina, desarrollando cada tema y graficando cuando sea necesario:

a) Cuando una superficie es de revolución

b) Qué condiciones tienen que cumplirse para que una transformación lineal sea inyectiva (monomorfismo) y sobreyectiva (epimorfismo)

c) Qué es la excentricidad de una cónica y qué valores adopta en el caso de una elipse, de una parábola y de una hipérbola

2.- Demuestre que si el conjunto formado por los vectores {a , b , c} es linealmente independiente, el conjunto formado por los vectores {a + c , b + a , c} también el linealmente independiente.

3.- Dada la ecuación x2/a2 - z2 = by; indique cuando sea posible, los valores reales que tienen que adoptar los parámetros a y b para que dicha ecuación represente:

i) Un par de planos perpendiculares

ii) una superficie cilíndrica recta de directriz parabólica

iii) un paraboloide hiperbólico cuya intersección con el plano de ecuación x = a sea una parábola con vértice en el punto (a, 2,0)

4.- En un sistema de ecuaciones lineales de 5 ecuaciones con 6 incógnitas, el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada es 3.

¿Es el sistema de ecuaciones compatible? ¿Puede ser compatible determinado? ¿Existen variables libres, y en caso afirmativo, cuántas? Justifique todas sus respuestas

5.- Defina la condición necesaria y suficiente para que un conjunto sea subespacio vectorial de otro. Aplicando esa definición, ¿es S = {x (x,y,z) ε R3/ x = y = -z} un subespacio vectorial de R3? Desarrolle y justifique.