Álgebra y Geometría Analítica

Matemáticas. Hipérbola. Matrices. Transformación lineal. Subespacios vectoriales

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Examen Final - Diciembre 2005

Tema 15 - Teóricos

Apellido y nombres del alumno: .......................................................................................................................

Especialidad:…………………………………………………………………………......................................

La condición para aprobar el Examen Final es tener bien resueltos como mínimo tres de los puntos teóricos propuestos.

T1

T2

T3

T4

T5

Calificación Final

NOTA: Presente en las hojas que entrega el desarrollo completo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No haga el examen con lápiz. Por razones tipográficas, los vectores se indican en el texto en negrita.

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1.- Sea x2/16 - y2/25 = 1 una hipérbola. Se pide:

a.- Obtener la hipérbola conjugada con la anterior.

b.- Calcular las coordenadas de los focos de dicha cónica.

c.- Calcular las ecuaciones de las rectas asíntotas

2.- Demostrar:

a.- Si A es una matriz ε R3x3 / Det (A) = 6 Det (A-1) = 1/6

b.- Si dos rectas en R3 son concurrentes, la distancia entre las mismas es igual a 0.-

3.- Investigar si B = {(1, 3, -1) (2, 4, 0) (-6, -8, -5)} es una base de R3. Justificar el procedimiento adoptado.

4.- Obtener la matriz asociada a una transformación lineal T: R2 → R2 que represente una dilatación de factor 4 en la dirección del semieje positivo de las x.

5.- Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demostrarlas. Si son falsas, demostrarlas o dar un contraejemplo.

a.- Los determinantes de dos matrices semejantes son iguales.

b.- La suma de dos subespacios vectoriales es directa cuando ambos tienen la misma dimensión.

c.- El complemento ortogonal del subespacio W = {x ε R3 / 5x + 2y + 4z = 0} es la recta

L: = =