Álgebra y geometría analítica

Matemáticas. Complejos. Vectores. Recta. Plano

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Ejercicios de Parcial por Tema

Álgebra y Geometría Analítica

Complejos

1) Calcular el Valor Principal de la siguiente exponencial compleja: z = (-1- i) (1-2i)

2) Resolver la siguiente ecuación en C, obteniendo todos los resultados. Representar éstos gráficamente.

z4 + - i = 0

3) Sean los siguientes números complejos: z1 = -4i; z2 = -1 -i; z3 = 2eiπ/4

a) Calcular en la forma polar (z13/ z2 . z3)

b) Obtener el logaritmo del complejo calculado en el punto anterior para el valor k = 2

4) Calcular el valor principal del siguiente logaritmo en C: z = ln [(e-ei) / (i25 x eiπ)]

5) 1) Sean los siguientes números complejos: z1 = 2+ 2i; z2 = - + i; z3 = 4eiπ/2

a) Calcular en la forma polar (z32/ z1 . z2)

b) Expresar el resultado obtenido en la forma binómica y en la exponencial.

6) Calcular todos los resultados de la siguiente ecuación en C y representarlos gráficamente:

+ x3 = i5

Ejercicios de Parcial por Tema

Álgebra y Geometría Analítica

Vectores

1) Sean los vectores a (6, 2 , -1), b (-2, -1, 3) y c (4, 0, -3)

a.- Investigar si los vectores dados son linealmente independientes

b.- Obtener al menos un vector coplanar con a y b. Justifique el procedimiento adoptado.

2) Sean los vectores a y b. Calcular || a || sabiendo que el ángulo entre los vectores a y b es π/3 radianes, que

|| b || = 4 y que el vector a - b es perpendicular al vector a

3) Sean los vectores a (2,1,-1), b (2,2,1) y c (2,1+k,k)

a.- Investigar para qué valores de k ε R los vectores de k no son coplanares.

b.- Para k = 2, investigar si el vector u (1,2,0) es combinación lineal de a, b y c. ¿Cuáles son las coordenadas de u respecto de los tres vectores dados?

4) Sean los puntos X (-1,2,3); Y (1,3,0) y Z (3,1,0).- Se pide:

a.- Calcular vectorialmente el área del triángulo cuyos vértices son los vectores dados.

b.- Calcular el perímetro del mencionado triángulo.

c.- Hallar el ángulo que forman los vectores y

5) Sean los vectores a (2,-5,-1) y b (0,2,1)

a.- Obtener todos los vectores perpendiculares a a y b de módulo

b.- Investigar si el vector u (6,-7,1) puede obtenerse como combinación lineal de a y b

c.- Calcule el producto mixto entre los vectores a, b y u. ¿Qué conclusiones saca? ¿Cómo interpreta geométricamente el resultado?

6) Sean los vectores x (4,3) e y (t, -2).- Calcular los valores de t ε R tales que la proyección escalar de y sobre x valga 2.

7) Obtener la proyección vectorial y la proyección escalar del vector a (1,3,-3) sobre el vector b (-2,1,-2)

8) a.- Investigar para qué valores de k ε R, los vectores {(1,1,1) (k, k+1, 0) (-1, 0, k)} son coplanares.

b.- Para los valores de k obtenidos en el punto anterior, calcular el vector (1,1,1) como combinación lineal de los dos restantes.

9) Sean los vectores a (3,-5,2) y b (2, -1, 2).- Obtener un vector c paralelo al eje z tal que

|| Proyb (a + c)|| = 5

10) a.- Averiguar para qué valores reales de k los vectores a (1,-6,9); b (2, 3, -2) y c (0, k, 2) representan las aristas de un paralelepípedo de volumen igual a 10 unidades.

b.- Investigue, justificando su respuesta, si para esos valores de k el conjunto de vectores integrado por a, b y c es linealmente independiente.

11) Sean los vectores a (3,1,6); b (1, 4, -1) y c (3,0,1).-

a.- Investigar si dichos vectores son linealmente independientes.

b.- Si así fuera, calcular las coordenadas del vector v (12, -10, 10) respecto de los anteriores vectores.

12) Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son verdaderas, demostrarlas. Si son falsas, demostrarlo o proponer un contraejemplo.

a.- (u - v) . (u + v) = 0 u v

b.- Si u = v x w y a = u x (v x w) a, v y w son coplanares

Ejercicios de Parcial por Tema

Álgebra y Geometría Analítica

Recta y plano

1) Las rectas L: (x-2)/3 = (y + 1)/4 = z/-2 y R: (x-2)/-1 = (y + 1)/3 = z/2 se intersectan, como resulta de la simple observación de las respectivas ecuaciones simétricas, en el punto de coordenadas (2,-1,0). Se pide:

a) Calcular la ecuación del plano que las contiene.

b) Obtener el menor ángulo que forman las rectas

2) a) Hallar la ecuación del plano que contiene al punto (0,0,4) y es simultáneamente perpendicular a los planos: 2x - 3y - 5 = 0 y β: x - 2z - 3 = 0.-

b) Calcular la distancia del punto Q (5,7,1) al plano calculado en el punto anterior.

3) Sean las rectas L: = (1,2,-1) + k (2,3,4) y R: Se pide:

a) Investigar la posición relativa de las dos rectas y calcular, si existe, el punto de intersección.

b) Obtener el menor ángulo que forman las rectas.

4) Calcular la proyección ortogonal del punto A (8, 2,-4) sobre el plano que contiene al punto Po (3, 6, 3) y es perpendicular al vector v (5,2,-4)

5) a) Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto medio del segmento de extremos A (6,0,8) y

B (4,2,-4) y cuyo vector director es simultáneamente perpendicular a los planos α : 2x + 2y -z + 16 = 0 y

β: -x -3y + 3z - 5 = 0

b) Calcular la distancia del origen de coordenadas a dicha recta.

6) Sea la recta L: (x,y,z) = (1,3,2) + λ (k,2,5)

Se pide calcular para qué valores de k ε R, la recta L es paralela al plano π que contiene a los puntos (1,2,1); (3,0,0) y (4,2,-2).

¿Es posible que existan valores de k para los cuales la recta L, en lugar de ser paralela, está contenida en el plano π? Justifique su respuesta.

7) Considere el haz de rectas generado por las rectas L: x - y + 2 = 0 y R: 4x - 3y + 3 = 0

Obtener:

a.- La recta del haz que contiene al punto A (-1, 5)

b.- La recta del haz que es paralela a la recta de ecuación y = 1/3 x - 8

c.- La recta del haz de pendiente -2

d.- La recta del haz perpendicular a la recta 6x + 2y -1 = 0

8) a) Encuentre la distancia del punto M, (-1,3,5) a la recta R que contiene al punto A (6,3,3) y es paralela al vector u (3,-2-2)

b) Obtenga la ecuación del plano que contiene a M y a la recta R

9) Sean las rectas L: x-2 = y; z =5 y R: .-

a.- Calcular la distancia entre las mismas.

b.- Calcular el ángulo entre sus vectores directores. ¿Coincide este ángulo con el ángulo entre las rectas dadas? ¿Por qué?

10) Obtener la ecuación de la recta que resulta de proyectar la recta R sobre el plano

β: x + z = 4

11) Sean las rectas L: (x, y, z) = (0,1,0) + λ(0,-1,1) y R: .- Obtener los valores de t ε R para que la distancia entre L y R sea de 2 unidades.

12) Sean el plano γ: x + y - 3z - 4 = 0 y la recta L: = y = z - 1

Calcular todos los valores de n ε R para que el plano y la recta sean concurrentes. Obtener las coordenadas del punto de intersección para n = 9