Álgebra lineal

Álgebra diferencial. Potenciación. Radicación. Propiedades. Raíz cuadrada. Raíz cúbica. Aproximaciones sucesivas. Número natural, entero, racional, irracional, real, complejo. Cuaternión. Sedeniones. Números hiperreales. Sistema de numeración

  • Enviado por: Vanessa
  • Idioma: castellano
  • País: Guatemala Guatemala
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'Algebra lineal'

POTENCIACION y RADICACION

La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

'Algebra lineal'

'Algebra lineal'

Potenciación

La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:

'Algebra lineal'

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

x1 = x

'Algebra lineal'

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Tabla de contenidos

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

'Algebra lineal'

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

'Algebra lineal'

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

'Algebra lineal'

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

'Algebra lineal'

'Algebra lineal'


En general:

'Algebra lineal'

'Algebra lineal'

En particular:

(a + b)m = am + bm

(a " b)m = am " bm


Se cumple en los siguientes casos:

  • Si m=1.

  • Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.

  • Si a y b son iguales a 0 y m"0.

  • Propiedad conmutativa

    La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.

    En general:

    'Algebra lineal'


    En particular:

    ab = ba

    Si y sólo si a=b.

    Potencia de exponente 0

    Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

    a0 = 1 si se cumple que 'Algebra lineal'

    Potencia de exponente 1

    Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.

    a1 = a

    Potencia de base 10

    Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente.

    101 = 10


    como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente

    106 = 1000000

    104 = 10000

    Gráfico

    gráfico de Y = X2

    El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones

    Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.

    gráfico de Y = X3

    Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.

    Radicación

    La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.

    Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.

    El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.

    Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.

    La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.

    Raíz cuadrada

    1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

    Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64

    2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).

    En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

    3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo

    En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1

    4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

    En nuestro ejemplo nos quedaría 156

    5- después multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raíz.

    En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

    6- A continuación tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero que estamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero será el siguiente numero de la raíz.

    En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raíz seria 23...

    7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queríamos obtener realmente.

    En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27

    8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo

    En nuestro ejemplo: 2701

    9- A continuación repetimos el paso 5

    En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

    10- después repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raíz seria 235...

    11- después repetimos el paso 7

    En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376

    12- A continuación repetimos el paso 8

    En nuestro ejemplo: 37664

    13 A continuación repetimos el paso 5

    En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470

    14- A continuación repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raíz seria 2358

    15- A continuación repetimos el paso 7

    En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.

    Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas

    Este método se debe a Newton

    Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:

    ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)

    Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces:
    a1 = 2
    a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
    a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

    Raíz cúbica

    1- Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha

    Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064

    2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).

    En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

    3- después se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo

    En nuestro ejemplo 23 = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 - 8 = 8

    4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.

    En nuestro ejemplo nos quedaría 8387

    5- después tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:

    3 * (raíz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3

    se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.

    El número a, es el siguiente dígito de la raíz.

    En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625

    6- A continuación restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.

    En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762.

    7- Repetimos el paso 4

    En nuestro ejemplo: 762064

    8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raíz.

    En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 * 10 + 43 = 762064

    9 Repetimos el paso 6

    En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0

    Radicación de números complejos

    La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.

    La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.

    Clases de numeros:

    Número

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Los números se usan con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos.

    Número natural

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Un número natural es cualquiera de los números: 0,1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza.

    Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta.

    Número entero

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
        )

    Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales un subconjunto de los enteros.

    Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.

    Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros.

    Históricamente, durante mucho tiempo fueron rechazados por creer que "no existían" y no fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado.

    Número racional

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
        )

    En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

    En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada. De todas ellas se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí -número racional- son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

    El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números enteros.

    El conjunto de los racionales se denota por 'Algebra lineal'
    , que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.

    Los números racionales

    Número irracional

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
        )

    Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales.

    Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.

    Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse número irracional como decimal infinito no periódico.

    Toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1.4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.

    Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1.4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1.4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

    Debido a ello, los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

  •  (pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

  • e: 'Algebra lineal'

  •  (número áureo): 'Algebra lineal'

  • Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

    1.- Irracionales algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

    Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

    x2 " x " 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.


    2.- Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

    0.193650278443757 ...

    0.101001000100001 ...

    Número real

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

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        )

    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Los números reales se definen de manera intuitiva como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra 'Algebra lineal'
    . El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.

    El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales.

    Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sigue que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.

    Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.

    Número complejo

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
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    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

    Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más dignas de la inteligencia humana.

    Cuaternión

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
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    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Los Cuaterniones son una extensión de los números reales

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
        )

    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Los octoniones son la extensión no asociativa de los cuaterniones. Fueron descubiertos por John T. Graves en 1843, e independientemente por Arthur Cayley, quien lo publicó por primera vez en 1845. Son llamados, a veces números de Cayley.

    Los octoniones forman un álgebra 8-dimensional sobre los números reales y pueden ser comprendidos como un octeto ordenado de números reales. Cada octonión forma una combinación lineal de la base: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7. La forma de multiplicar octoniones está dada en la tabla siguiente:

    ·

    1

    e1

    e2

    e3

    e4

    e5

    e6

    e7

    1

    1

    e1

    e2

    e3

    e4

    e5

    e6

    e7

    e1

    e1

    -1

    e4

    e7

    -e2

    e6

    -e5

    -e3

    e2

    e2

    -e4

    -1

    e5

    e1

    -e3

    e7

    -e6

    e3

    e3

    -e7

    -e5

    -1

    e6

    e2

    -e4

    e1

    e4

    e4

    e2

    -e1

    -e6

    -1

    e7

    e3

    -e5

    e5

    e5

    -e6

    e3

    -e2

    -e7

    -1

    e1

    e4

    e6

    e6

    e5

    -e7

    e4

    -e3

    -e1

    -1

    e2

    e7

    e7

    e3

    e6

    -e1

    e5

    -e4

    -e2

    -1

    Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Octoniones"

    Sedeniones

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
        )

    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    Los sedeniones forman una álgebra 16-dimensional sobre los números reales y se obtienen aplicando la Construcción de Cayley-Dickson sobre los octoniones.

    Como en los octoniones, la multiplicación de sedeniones no es conmutativa, ni asociativa. Pero al contrario que los octoniones, los sedeniones no tienen ni siquiera la propiedad de ser un álgebra alternativa. Sin embargo, tienen la propiedad de ser potencia-asociativos.

    Los sedeniones tienen el 1 como elemento neutro e inversas para la multiplicación, pero no son un álgebra de división, ya que tienen divisores del cero.

    Todo sedenión es una combinación lineal de los sedeniones unitarios 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 y e15, que forman la base del espacio vectorial de los sedeniones. La tabla de multiplicación de estos sedeniones unitarios es la siguiente.

    Números hiperreales


    Los números hiperreales o reales no estándar, son una extensión de los números reales 'Algebra lineal'
    , en dónde se añaden números infinitamente grandes así como números infinitesimales.

    El estudio de estos números, sus funciones y propiedades se llama análisis no estándar el cual, para muchos, es más intuitivo que el análisis real estándar.

    Cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz introdujeron los diferenciales, ellos estaban usando infinitesimales y éstos también fueron usados por Leonhard Euler y Augustin Louis Cauchy.

    Sin embargo, estos conceptos, desde el principio, no fueron muy bien vistos. Hasta la definición del límite con 'epsilon' y 'delta' por Cauchy y Weierstrass no fueron tomados en serio.

    El análisis no estándar fue desarrollado hace unos escasos 30 años.

    El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infintesimales. Estos números, llamados hiperreales ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero eso sí, de un modo totalmente intuitivo. Se siguió empleándolos hasta bien entrado el siglo dieciocho, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que hizo inútil los infinitesimales. El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.

    Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados números infinitos (grandes o pequeños).

    La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Y naturalmente, nunca se logró.

    Porque no era el método adecuado.

    La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción.

    Concretamente, se inventó un nuevo predicato unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es.

    Luego se impusó tres condiciones a este predicato (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estandares con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos. Toda una hazaña.

    Veámoslo más en detalle:

    Una propiedad o proposición es estándar si es clásica es decir que no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Puede parecer paradójico, mas no lo es.

    La propiedad de transferencia es la siguiente:

    • Si para cualquier x estándar, P(x) es cierto (P es una proposición estándar) entonces P(x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):

    'Algebra lineal'

    Está propiedad significa que todas las reglas clásicas, que son ciertas en las matemáticas usuales se generalizan (sin cambio) en los conjuntos no estándares. O sea, no hay que demostrarlos de nuevo. Por ejemplo, sea P(x) la proposición: x>0 y existe y tal que 0<y<x.

    Sabemos que P(x) es siempre cierta en los reales usuales. P es además una proposición clásica (estándar). en consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.

    La propiedad de idealización es la siguiente: (con P una proposición estándar)

    • Si para todo x estándar existe un y tal que P(x, y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x estándar, P(x, y) sea cierta:

    'Algebra lineal'

    Se ha permutado los x y los y, y el nuevo y es ideal en el sentido que funciona con todos los x.

    Por ejemplo, tomemos el P anterior: P(x, y) significa: x>0 y 0<y<x. Sabemos que para cualquier x>o estándar, existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x>0 estándar. En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por definición un infinitesimal.

    De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales infinitos o los cardinales infinitos).

    La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés aquí.

    Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad en el punto x:

    • Expresión clásica:

    'Algebra lineal'

    • Expresión en análisis no estándar:

    'Algebra lineal'

    La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica.

    En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir, bajar la complejidad de las fórmulas.

    Sistema numérico en matemática.

    Conjuntos de Números

    'Algebra lineal'

    Números destacables

      •  (Pi) (3,1415926535...)

      • e (2,7182818284...)

      •  (1,6180339887...)

      • i ('Algebra lineal'
        )

    Números Especiales

    Números con propiedades especiales

    Primos 'Algebra lineal'
    , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

    NUMEROS INFINITO

    El concepto del infinito aparece en varias ramas de la matemática, entre otras en la geometría (punto al infinito de la geometría proyectiva), en el análisis (límites infinitos, o límites al infinito) y en los números (números ordinales y números cardinales) dentro de la teoría de conjuntos.

    Dígito

    Un dígito (palabra proveniente del latín con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un número en un sistema determinado. Ej. 157 en el sistema decimal se compone de los dígitos 1, 5 y 7.

    Véase también: bit, para el sistema binario.

    • En metrología, una unidad de medido basada en el tamaño del dedo humano.

    Sistema de numeración

    Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde:

    • N es el sistema de numeración considerado

    • S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}

    • R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.

    Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeracíon utilizado se añade como subíndice al número).

    Ejemplos:

    • el número 125(10 es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10 no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.

    • el número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8 no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.

    • el número F1E4(16) es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE4(16 no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.

    Número p-ádico

    De Wikipedia, la enciclopedia libre


    Para cada número primo p, los números p-ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897. Fueron usados en la resolución de varios problemas en Teoría de números, a menudo con el principio local-global de Helmut Hasse , que dice, más o menos, que una ecuación puede resolverse en los números racionales sii se puede resolver en los números reales y en los números p-ádicos para todo primo p. El espacio Qp de todos los números p-ádicos tiene la propiedad topológica, deseable, de completitud, que nos permite el desarrollo del Análisis p-ádico, similar al Análisis real.

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