Química ambiental

Álgebra en los Reales

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I ) Unidad : Algebra en los Reales

Objetivos Específicos :

Relatar hechos históricos relacionados con el desarrollo del Algebra.

Utilizar propiedades de las razones y proporciones en la resolución de problemas.

Aplicar el concepto de variación proporcional directa, inversa y conjunta en la resolución de problemas con enunciado.

Aplicar propiedades y conceptos de porcentajes en la resolución de problemas con enunciado.

Relacionar los conjuntos numéricos de dimensión uno

Desarrollar ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticos en una o dos variables, orientando su estudio a situaciones reales de la vida laboral.

Emplear el Orden de los Números Reales en la solución de desigualdades e inecuaciones aplicadas a la especialidad.

Aprendizajes esperados:

1.-Resuelvan problemas de proporcionalidad directa e inversa ;los representen utilizando diferentes registros ( tablas de valores , gráficos y expresión algebraica).

2.-Resuelvan ecuaciones con proporciones. y problemas relacionados con el cálculo de %

3.-Analizan y comparan e interpretan gráficos de variación proporcional directa e inversa

4.- Relacionan la constante de proporcionalidad directa con un cuociente constante y la proporcionalidad inversa con el producto constante.

5.-Resuelvan ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado.

6.-Plantean y resuelvan problemas de aplicación con ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

7.-Resuelvan desigualdades e inecuaciones en forma algebraica .

8.-`Plantean y resuelvan problemas de aplicación con desigualdades e inecuaciones

1.1.Historia:

Thales de Mileto ( hacia 625-546 a.. C ),filósofo y matemático griego, calculó la altura de la pirámide de Keops utilizando su bastón. Colocó el bastón de tal manera que la sombra de

éste terminara junto con la sombra de la pirámide , de modo que:

A D

B C

Analice el siguiente gráfico: En un Instituto se instaló una máquina que expende botellas refrescantes de bebidas. Durante un día, la empresa dueña de la máquina hizo un estudio sobre la venta de las bebidas entre las 08:00 horas y las 20:00 horas. Este estudio quedó registrado en el siguiente gráfico.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Responda las siguientes preguntas.

1.-¿Cuántas botellas se vendieron a las 8 de la mañana?

2.-¿en qué período no se ha vendido ninguna botella?

3.-¿Cuántas botellas se vendieron a las 16:00 horas?

4.-¿En que horario se alcanza la máxima venta?

6.-¿En que horario se ha alcanzado la máxima venta?

Interprete y analice el gráfico anterior y junto a sus compañeros proponga sus conclusiones.

DEFINICIONES:

Razón o relación: Una razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades homogéneas. Se puede compara por medio de la diferencia ( llamada razón aritmética ) o por medio del cuociente ( llamada razón geométrica ) En esta ocasión estudiaremos solamente la geométrica

Razón geométrica: Es el cuociente indicado entre dos cantidades homogéneas y se escribe:

Y se lee “ a es a b “ donde a : antecedente y b: es el consecuente

Observación: No se debe confundir una razón con una fracción, aunque se escriban de la misma forma.

Ejemplo : La razón 2 es a 5 se puede escribir de la forma 2:5 o 2 , donde 2 es el

antecedente y 5 es el consecuente.

Observación: La razón no depende de las unidades que se utilicen para establecerlas.

Ejemplo: si comparamos AB con CD ,EF con GM y JK con LM

1.- A B C D 6 = 3

4 2

6 cm 4 cm

2.- E F G H 3 = 3

2 2

3 cm 2cm

3.- J K L M 12 = 3

8 2

12 cm 8 cm

Observación:

Toda razón tiene asociado un valor determinado llamado valor de la razón
Valor de la razón k de dos cantidades homogéneas, es el número que expresa la medida de la primera cuando se toma la segunda como unidad.

Ejemplo .El valor de k es independiente la unidad elegida

1) Valor de la razón 3:6 es k =3:6 = 0,5

2) Valor de la razón 6:3 es k= 6:3 = 2

3) Si tomamos dos envases cilíndricos y buscamos el valor de la razón entre el perímetro y el diámetro , encontraremos un valor constante K . Este valor es un decimal infinito no periódico llamado , cuyo valor aproximado es 3,1416……………

son dos razones iguales , para ambos k = 3,1416. . .

PROPORCIÓN

Definición : una proporción es una igualdad entre dos o más razones y se escribe de la forma : ( entre dos pares en este caso )

a y d se llaman extremos ; b y c se llama medios

Observación : a cada uno de los términos se les llama cuarta proporcional con respecto a los otros términos.

Ejemplos :

5:8 = 10:6

3 = 9

Propiedad fundamental de las proporciones:

En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

En general

TAREA :

Investiga otras propiedades de las proporciones y trae 5 ejemplos de cada uno de ellas.

Ejemplos :

Determine el valor de x , aplicando la propiedad fundamental en los siguientes ejercicios

Definiciones:

MEDIA PROPORCIONAL GEOMÉTRICA

Dado dos términos a y b se llama media proporcional geométrica a un término x , tal que :

Ejemplos :

Hallar la media proporcional geométrica entre

5 y 12

Respuesta:

0,08 y 0,02

Respuesta :

1/2 y 128

Respuesta:

TERCERA PROPORCIONAL GEOMÉTRICA

Dado dos términos a y b , se llama tercera proporcional geométrica a un número x , tal que:

Ejemplos:

Hallar la tercera proporcional geométrica entre :

0,02 y 4

Respuesta:

c)1/2 y 3/5

0,06 y ¾

CUARTA PROPORCIONAL GEOMÉTRICA

Dado tres términos a, b, c se llama cuarta proporcional geométrica a un número x , tal que:

Ejemplos: Hallar la cuarta proporcional geométrica entre:

8 ; 13 y 12

Respuesta:

0,04 ; 0,2 y 3,6

c) ½ ; 0,8 ; 6

1.3 PROPORCIÓN DIRECTA:

Una magnitud variable A varía en forma directamente proporcional a la magnitud de la variación B ( de igual o distinta naturaleza que A ), si y solo si:

A = k·B , k= cte .de proporcionalidad y se escribe A :: B o A B

Observación: se dice que dos o más cantidades son directamente proporcionales , si al aumentar una de ellas aumenta también la otra , o si una disminuye una de las cantidades disminuye también la otra

Gráficamente:

Si tenemos y = k x , k >0 , la gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen , cuya pendiente depende del valor de k .

Observación: cuanto mayor es el valor de k , mayor es el valor de la pendiente.

Y = k x , k >0

Ejemplo

Una Empresa de transportes tiene las siguientes tarifas por número de kilogramos de carga

MAGNITUDES

Peso P :( kilogramos)	Dinero D :( $ ) ; P:D = k	RAZON P:D = K
1	20	1:20
2	40	2:40
3	60	3:60
4	80	4:80
5	100	5:100
6	120	6:120
.	.
.	.
.	.
.	.
p	20p	P:20P

Todas las razones tiene la misma constante de proporcionalidad k = 1/20

Entonces podemos concluir que el precio del flete es directamente proporcional al número de kilogramos que se transportan.

Observación : En una proporción directa, cuando A aumenta, entonces B también aumenta y cuando A disminuye, entonces B disminuye.

PROPORCION INVERSA:

Una magnitud variable A varía en forma inversamente proporcional a la variación de la magnitud B ( de igual o distinta naturaleza de A ) , si y solo sí

A = k· 1 ,k = cte de proporcionalidad , y se escribe A::1 o A 1

B B B

Gráficamente si tenemos Y = k, k > 0 y x > 0, tendrá la forma ilustrada en la figura.

La gráfica de una variación inversa no está definida para x = 0

Y = k / x , k > 0 , x > 0

Ejemplo

Una Empresa Contratista de pinturas tiene una tabla de rendimiento de trabajo de su personal .

MAGNITUDES PRODUCTO

Obreros	tiempo	q · t
1	60	1·60
2	30	2·30
3	20	3·20
4	15	4·15
5	12	5·12
6	10	6·10
.	.
.	.
.	.
.	.
q	t	q· t

Luego 1·60=2·30=3·20=4·15=5·12=6·10=……………q· t = k, k > 0 ;cte de proporcionalidad

Ejemplos:

Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación

Un automóvil que se desplaza con una rapidez promedio de 80 km / hra , demora 12 horas para ir de una ciudad a otra .¿cuánto tiempo invertirá en recorrer el mismo trayecto si se aumenta el promedio a 120 km / hra ?

Solución:

Rapidez Tiempo

A más rapidez se demora menos tiempo en recorrer el mismo trayecto, por lo tanto, es una proporción inversa es decir, 120 =12 120· x = 80·12 entonces , x= 80·12 x = 8 horas

80 x 120

Luego se demora 8 horas en recorrer la misma distancia .cuando ha aumentado la rapidez a 120 km / hra.

Para fumigar ciertos campos se debe utilizar el insecticida diluido en cantidades directamente proporcionales al agua para diluir. ¿qué cantidad de agua es necesaria si se ocupan 15 litros del producto químico y la razón correcta es de 1:4?

Solución:

15 = 1 , x = 15·4 , x = 60

x 4

Luego se necesitan 60 litros de agua para diluir el producto químico

Al aplicar la misma fuerza a dos cuerpos , la aceleración que adquieren es inversamente proporcional a sus masas .

Con una fuerza F , un cuerpo d 5 gramos adquiere una aceleración de 8 cm/seg2.

¿Qué aceleración corresponde a otro de 32 gramos?

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

En muchas situaciones de la vida diaria intervienen más de dos variables , por lo tanto , se pueden se pueden combinar proporcionalidad directas e inversas o ambas

Ejemplo

Si 30 máquinas tejen 5.000 metros de tela en 20 días ¿cuántas máquinas iguales a las anteriores serán necesarias para producir 7.000 metros de tela en 14 días, trabajando la misma cantidad de horas diarias?

Solución:

Lo primero que debemos hacer es organizar nuestros datos

Nº de máquinas	Cantidad de metros de tela	Nª de días
30	5.000	20
x	7.000	14

Si relacionas la variable desconocida con cada una de las otras variables puedes notar que entre el número de máquinas y la cantidad de metros de tela existe una proporcionalidad directa , pues si aumenta la cantidad de máquinas aumenta la cantidad de metros de tela en la misma proporción. Y entre el número de máquinas y el número de días necesarios para hacer el trabajo existe una proporcionalidad inversa, pues si aumenta el número de máquinas, disminuye el numero de días.

Para encontrar el valor de la variable desconocida invertimos solo aquellos valores que corresponden a la s relaciones inversas y planteamos la ecuación de la siguiente forma:

Por lo tanto, se necesitan 60 máquinas para la producción pedida

si 10 ampolletas originan un gasto de $6.000al mes si se encienden 6 horas diarias, ¿cuántas ampolletas se deben apagar para que el gasto sea de $4.000si se encienden 5 horas diarias ?

Solución:

Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 meses trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 2 meses , trabajando 6 horas diarias?

Solución

Tarea

Investiga 5 problemas relacionados con la especialidad

En cada uno de las siguientes situaciones escribe la razón entre el número de alumnas y de alumnos .

A una paseo asistieron 35 alumnas y 45 alumnos

En una competencia de gimnasia participaron 15 alumnos y 20 alumnas

En un curso de computación se matricularon 12 alumnas y 8 alumnos

Escribe la razón simplificada entre los siguientes pares de números

60 y 40

½ y 8

5/8 y 8/5

1,2 y 3

3,9 y 1,3

¾ y 1,5

Identifica, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones ,cuáles de laos siguientes pares de razones forman una proporción.

3/5 y 0,6/1

7/6 y 12/14

2/3 y 5/15

4/9 y2/3

2,5/5 y1/2

9/7:7/3 y 7/9:3/7

Completa el número que falta en cada una de las proporciones siguientes :

Encuentra una razón para formar una proporción con cada razón dada

5/3

3/15

2:7

0,5:1

2,4:6

0,6/7,2

9,6:2

A partir de cada producto dado forma todas las proporciones posibles.

3·4 =2·6

4·1,5=3·2

1,2·0,3=0,6·0,6

6·4=12·2

0,5·20=1·10

2,5·4=0,2·50

Completa la siguiente tabla

a	b	c	d	a/b	c/d	(a+b)/a	(c+d)/c
3	4	9	12
-2	1	-6	3
1	4	13	52
85	20	17	4
-8	-2	-32	-8
1/2	3/4	5/6	15/12

¿Qué puedes concluir?

Comprueba, dando tres ejemplos , las siguientes propiedades de las proporciones

9) Obtiene algunas proporciones aplicando las propiedades

10)

12) Aplicando las propiedades correspondientes, calcular el valor de las incógnitas

'Álgebra en los Reales'

Problemas Propuestos:

APLICACIÓN DE RAZONES Y PROPORCIONES

1.- La población urbana y rural de un país con un total de 16.000.000 de habitantes está distribuidas en la razón de 3:1.

¿Cuantas personas viven en la ciudad y cuantas en el campo?

R: 12.000.000 y 4.000.000

2.- Un fallo arbitral determina dividir un territorio en litigio entre tres naciones en la razón 1:2:3.

Si La superficie del territorio en cuestión es de 900
¿Qué extensión corresponde a cada país?

R: 150, 300, 450

3.- Supongamos que las lenguas o idiomas que se hablan en un país de 20.00.000 de habitantes son: Alemán, flamenco, holandés e inglés.

¿Cuántas personas hablan cada uno de estos idiomas si están en la razón 3:1:2:4, respectivamente?

R: 6.000.000 alemán, 2.000.000 flamenco, 4.000.000 holandés

8.000.000 Inglés.

4.- Un contratista estima que con los obreros terminan la obra en 15 días.

¿Cuántos obreros necesitaría para terminar la obra en 8 días?

R: 120 Obreros

5.- Un agricultor tiene suficiente alfalfa para alimentar 20 vacunos por 30 días ¿Cuánto le durará el alimento sí compra 5 vacas más?

R: 24 días.

6.- Un agricultor ocupa 2 kilos de fertilizantes para un jardín de 125
¿Cuantos kilos necesita para un jardín de 300
?

R: 4,8 K

7.- Un contratista de una empresa de la IV región necesita trasladar 90 toneladas de ripio en 5 viales para empezar una obra. Si debe transporta 144 toneladas,¿Cuántos viajes debe realizar?

R: 8 viajes

8.- En el laboratorio de Química, la cantidad de ácido nítrico diluido con que se cuenta, se puede repartir totalmente en 50 vasos de 0,3 litros.

¿Cuántos vasos de 0,2 litros se podrían ocupar?

¿Cuántos vasos de 0,1 litros se podrían ocupar?

¿Si el ácido viene envasado en recipientes de 1,5 litros, ¿Cuántos recipientes hay?

Registrar los datos calculados en un esquema

Capacidad en litros	0,1	0,2	0,3	1,5
Cantidad de vasos o botellas			50

Representar los datos en un gráfico ¿Qué tipo de proporción Hay?¿Por que?

R: a) 75, b) 100, c)10, e) Inv. Proporc. Al disminuir la medida, aumenta la cantidad de vasos.

9.- Un grupo de 12 estudiantes tienen víveres para 3 semanas de expedición. Por razones climáticas deben permanecer 7 días más ¿Cuántos deben abandonar la expedición y regresar para que el grupo que permanece en la montaña no tenga problemas de alimentación?

10.- Las 8 compuertas de 1
de un represa liberan 96.000 litros de agua por segundo.Se estudian medidas de seguridad y se determina la urgencia de liberar en ciertas oportunidades hasta 288.000 litros por segundo ¿Cuántas compuertas de doble dimensión se necesitarán?

11.- 3 trabajadores han realizado una obra en 8 horas diarias terminando 80 mts. en 10 días ¿Cuántos días necesitaran 5 trabajadores trabajando 6 horas diarias para hacer 60 mts. de la misma obra?

R: 6 días

12.- Un capataz contrata una obra que debe comenzarla el día 1 de junio y terminarla el 5 de julio. El día 1 de junio pone a 20 hombres a trabajar, los cuales trabajan hasta el día 14 inclusive a razón de horas diarias.

Ese día el propietario le dice que necesitan la obra terminada el día 24 de junio .Entonces , a partir del día 15 coloca mças obreros, se trabajan 9 horas diarias en vez de 6 horas y logra complacer al propietario ¿Cuanto obreros aumento el capataz a partir del día 15?

R: 8 obreros

1.4 PORCENTAJES

Un caso particular de proporción directa es el caso del cálculo de porcentajes, en que continuamente se está utilizando en las diferentes disciplinas , como también en publicidad en merketing, en especial cuando se trata de conocer las preferencias de las personas en diferentes productos y para ello se utilizan las encuestas, cuyos resultados se entregan por lo general en porcentajes o tanto por ciento. ¿Qué es el porcentaje?

Si tenemos la siguiente situación :

Para saber que detergente ( líquido o en polvo )es el preferido por la población, se aplicó una encuesta a 100.000 personas .

La encuesta arrojó los siguientes resultados

¿Qué significan estos porcentajes?

Podemos decir que los porcentajes significan que cada 100 personas encuestadas, 46 prefieren el detergente líquido , 43 de 100 prefieren detergente en polvo y 11 no contestan.

¿cuántas de las personas encuestadas prefieren el detergente líquido?

¿cuántas de las personas encuestadas prefieren el detergente en polvo?

¿cuántas de las personas encuestadas no contesta?

Respuesta:

PORCENTAJE

Es el valor que resulta de comparar una parte con un todo en una escala de 1 es a 100

Ejercicios

¿Cuál es el 5% de 400?

Solución

El 5% de 400 es 20

¿Qué tanto por ciento es 2.000 de 8.000?

Solución

¿De qué cantidad es 1500 el 25 %?

PROBLEMAS

Un comerciante compra un artículo y lo vende en $5.000 , ganando el 20 %.¿En cuánto compró el artículo?

Solución: Gana +20%

Calcule el resultado…………………………………………………………………………………………………………………

Un comerciante compra un artículo y lo vende en $5.000 , perdiendo el 20 %.¿En cuánto compró el artículo?

Pierde

-20%

Un comerciante compra un artículo en $5.000 y lo vende ganando el 20%.¿En cuánto vendió el artículo?

Gana +20%

Calcule el resultado………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Un comerciante compra un artículo y lo vende en $5.000 perdiendo el 20 % .¿En cuánto vendió el artículo?

Solución

Ejercicios propuestos:

calcula

20% de 1400

2,5% de 7.500

1,2% de 8.900

¾% de 6700

150% de 55.000

0,7%de8.700

Calcula qué porcentaje es

20 de 80

1.500 de 75.900

350 de 280

3,5 de 78,4

1,2 de 790,26

Calcula:

De qué cantidad es 40 el 20%?

De qué cantidad es 100 el 110%?

De qué cantidad es 13 el 0,3%?

El 20% del 18% de 346?

El 120% del 50% de 128?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN COMERCIAL

En Chile existe un impuesto llamado IVA (Impuesto al Valor Agregado) que se aplica a toda transacción comercial.

Cada producto tiene un valor neto al cual se le debe agregar el IVA, para obtener el precio total. Actualmente el IVA corresponde al 19% del valor neto .Esto quiere decir , que para obtener el precio total debemos hacer la siguiente operación.

Valor neto + 19%· Valor neto = Precio total

Lo que equivale a:

Valor Neto + 19 · Valor Neto = Precio total

El SII ( Servicio de Impuestos Internos ) se asegura del pago de este impuesto a través de documentos específicos, como las boletas de venta y las facturas .

En las boletas de venta, el precio que aparece escrito incluye el IVA. En las facturas , en cambio, aparece escrito en detalle el valor neto, el IVA y el precio total.

Ejemplo: por la compra de una enciclopedia se paga $49.560, incluido el IVA. ¿cuál es el valor neto de ese libro?

Desarrollo…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) En una fábrica se confecciona la siguiente lista con los precios de los artículos que produce:

ARTICULO	Precio Unitario(*)	Precio + I VA
A	$6.845
B	$3.248
C	$4.215
D	$8.932
E	$4.550

Completa la tabla.

Si un cliente desea comprar todos los artículos de la lista .¿cuánto debe pagar?

¿Es lo mismo sumar los precios de los artículos y a esto calcular el IVA ,que calcular el IVA al precio de cada producto y luego sumarlos?

Demuestra que el x% del y% de z es igual al producto de x· y ·z ·10-4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE PORCENTAJES Y FRACCIONES

1.-Se ha solicitado que los libros no paguen impuesto del IVA para motivar la lectura. Si el libro “Sin Familia “ tiene un costo de $3000 sin IVA y se le aplica 18% por este impuesto ¿Cuál es el precio de venta al publico?

2.-Un agenda valía $12.500 y por la liquidación ahora vale $10.000 ¿Cuál fue el % de descuento?

3.-De acuerdo a un estudio económico realizado en el país, se determino que en el logro de 10 años el costo de vida aumento en un 200% ¿Qué significado tiene esta información?

4.-En un reporte del ministerio de hacienda se afirma que el 22% de un determinado presupuesto, se destino a gasto social, un 38% a educación, 25% a salud y 18% a gastos de administración. Describir el error en los datos entregados. Imagine que Ud. es el encargado de arreglar dicha situación ¿Cómo distribuye los % entregados?

5.-Un vendedor de automóviles tiene un sueldo base de $95.000 más el 2% de los $10.000.000 en ventas y el 4% de ventas inferiores a esa cantidad. Si vendió un total de $14.680.000 ¿ Cuanto recibe este mes ?

6.- Imagine que Ud. requiere el % asistencia y promedio para una asignatura de 120 Hrs..El profesor le señala lo siguiente:

Asistió 86 hrs.

Sus notas sumativas parciales son : 4,7 ; 5,1; 3,2; 6,1 y su ponderación 10% , 20%, 30%, 30% respectivamente .

Calcule el % asistencia y nota de presentación para el examen en dicha asignatura.

7-Un profesora realiza un estudio para verificar el estudio de sus alumnos a su asignatura. Para ello relaciona el tiempo (% días) de estudio v/s nota.

-30% entre 5,2 - 6,3

-12% entre 4,5 - 5,1

- 8% entre 3,0 -4,4

Determine la nota aproximada si estudia :

41% de su tiempo

15% de su tiempo

5% de su tiempo

8.-Considerando la siguiente plantilla de sueldo, determinar el sueldo imponible M&M cía Ltda.

Fono -Fax :000000000

Liquidación de sueldos

Fecha

Nombre :

Sueldo Imponible
AFP(12,5%)
Fonasa (7%)
Total descuento
Sueldo Liquido	$177100

R: 220.000

9.-En un tienda de insumos agrícolas , desea pagar al contado 30 sacos de fertilizante, dos palas, un saco de abono y 108 kg de tierra de hoja, sin IVA, a $32.900.

Determine el precio total con IVA incluido

El vendedor le ofrece al cliente un 10% de descuento del precio total

¿Cuánto debería pagar ahora?

c) El cliente pide el descuento antes de agregar el IVA

¿Cuánto debería pagar ahora?

d)¿Qué diferencia hay antes o después de agregar el IVA?

R: a) $38.822 b) $34.940 c)$34.940 d)Ninguna

10.- Se incendia un taller mecánico que estaba asegurado en el 86% de su valor y se cobran us$4.300 por el seguro ¿Cuál era el valor del taller?

R : us$5000

11.- Un microempresario gasta mensualmente el 45% de su sueldo y ahorra us$660 ¿Cuál es us sueldo mensual?

12.- A como tiene que vender un comerciante un producto que le ha costado $680 para ganar el 15% de la venta?

R: $800

13.- Se desea repartir una herencia de us$ 68.000 entre tres hermanos Pedro, Pía y Pablo en la razón 3:5:7. Luego de estudiar su citación personal se cambia de opinión y se reparte en la razón 4:5:7¿Con que % varía la parte correspondiente de Pedro?.

14.-Las cuñas para la suspensión delanteras vienen en espesores de
pulgadas.

Cual es la cuña más pequeña?

Cual es la cuña más grande?

Cual es el tamaño decimal de la cuña de
de pulgada?

15.- El voltaje a través de un elemento con respecto a tierra es -19,4 V. inicialmente y luego cambia a -16,8 V. .Determine el valor absoluto del cambio en voltaje

15.-Cinco ingenieros (A,B,C,D,E) fueron asignados a la misma tarea. Al medio día, A había terminado
de su trabajo; B
del suyo; C
; D y E
. Clasifique a los ingenieros en orden decreciente según la cantidad de tarea que ha terminado cada uno.

16.-El costo total de un computador, incluido el IVA es de $1.290.000. Esto tiene que amortizarse en 48 abonos iguales ¿Cuánto suma cada abono?

R: 26875

1.5 ELEMENTOS DE ALGEBRA

HISTORIA:

La palabra Algebra tiene su origen en el título del libro “Alyebr-mugabala” escrito hacia el año 825 por Mohamed ibnal-Jwarizmi, el matemático y astróno musulmán más importante de la época. Este libro es considerado el primer tratado de álgebra de la historia, y los métodos de resolución de ecuaciones que en él aparecen constituyeron un gran avance para el posterior desarrollo de esta rama de la Matemática.

Del apellido de ese autor deriva la palabra algoritmo

¿En qué utilizamos el álgebra?

Se utiliza en varias disciplinas como la Física, la Química, Astronomía etc, en que podemos representar a través de fórmulas situaciones de la vida diaria.

Así por ejemplo en la siguiente situación si un grupo de alumnos debe elaborar una casa de emergencia, pero sin definir las medidas y precios, pues quizás en el momento de construirla , los valores actuales ya no sean los mismos.

Para fijar el costo de cada casa es necesario calcular el precio de cada pared y techo por separado. Si las letras que aparecen en el plano equivalen a la cantidad de metros, se puede obtener una expresión matemática que represente el problema de costos

SUPERFICIE

Pared = ab + cb + ab + cb

Techo = dc + dc

Si el costo del material de las paredes es $p y del techo es $q por metro cuadrado, el costo final será:

Costo final =p·( 2ab+2cb) + q·( 2dc )

Aquí se esta utilizando el lenguaje algebraico, con el cual podrás plantear situaciones generales para luego reemplazar las expresiones algebraicas por los valores reales .

Como te darás cuenta sirve para generalizar, otra situación se da con los números , ejemplo los números impares 1,3,5,7,9,………..los puedes escribir de la forma 2n-1, n pertenece a los números naturales o que la velocidades el cuociente entre la distancia y el tiempo, escrita en general por
, o la fórmula sobre la teoría de la relatividad E = mc2

Tarea :investiga que significa cada letra y quien creó la fórmula de la relatividad.

Investiga sobre otros personajes involucrados en el Algebra

1.5 Aprendizajes esperados

Operan con expresiones algebraicas
Despejan fórmulas y analizan su aplicación en las diferentes áreas
Desarrollan los productos notables
Factorizan expresiones algebraicas
Valorizan expresiones algebraicas

DEFINICIONES

Término algebraico :Es una expresión compuesta por números y letras

'Álgebra en los Reales'

Expresión algebraica: es un conjunto de términos algebraicos

Ejemplos

Entre las expresiones algebraicas tenemos fórmulas que se utilizan en diferentes áreas y que es muy importante que sepas manejarlas y despejarlas , como por ejemplo

Par describir matemáticamente los físicos han llegado a diferentes fórmulas . Una de ellas corresponde a la altura (h)que se encuentra un objeto con un velocidad inicial (V0 ) y tarda un cierto tiempo ( t ) en caer

, podemos valorar dichas fórmulas .

Ejemplo si una manzana cae de un árbol y queremos calcular la altura desde donde estaba al suelo, la velocidad V0 =0 el tiempo que se demora es t = 0,8 segundos, entonces tenemos

·9,8·0,82, entonces h = 3,136 m

luego la manzana, desde que se suelta ,recorre 3,136m y tarda 0,8 segundos

Si despejamos la variable” V0 ” la velocidad inicial tenemos que:

debemos aislar la variable V0 ,,por lo tanto, sumamos el aditivo inverso de

es decir

h+
=
+
sumamos el aditivo inverso

h+
=
aislamos V0, por tanto multiplicamos por el inverso multiplicativo de t

h+
=
/ ·

(
h+
)·
=
·
multiplicamos

= V0 sumamos las fracciones

Ejercicios

En cada una de las fórmulas que siguen despeja la variable que se indica

1.Fuerza transmitida al efectuar un ensayo en un casco de seguridad:

H = fuerza en kg.

HB = dureza Brinell

D = diámetro de la bolita de ensayo en mm

d = diámetro de la impresión en mm.

Desarrollo:

Cálculo de impuestos está dado por:

“Y”

IM = monto de impuesto

T = tasa del impuesto sobre la renta

Y = ingresos

C = costos

D = depreciación

Desarrollo:

Método de depreciación

depreciación en el período

valor de adquisición

valor de desecho

número de años de vida útil

Desarrollo:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Cantidad de dinero después de un número cualquiera de años

S = suma de dinero al finalizar el año n

C = capital inicial

I = tasa anual de interés que se paga sobre la cuenta

N = número de años que el dinero queda en la cuenta

Desarrollo:

Beneficios netos anuales de cada uno de los años de vida útil de un proyecto

beneficio neto en el año t

beneficios brutos en el año t

costos en el año t

t =1,2,3,..T

T = último año de la vida útil del proyecto

Desarrollo:

Sistema de poleas fija

carga suspendida

rendimiento

Desarrollo:

Cálculo de conicidad:

diferencia de diámetros

altura del tronco del cono

Desarrollo:

Intensidad de corriente :

I = intensidad de corriente

P =potencia

R =resistencia

Desarrollo:

Tasa de riesgo por dias efectivamente perdidos por accidentes y enfermedades (Trap)

Desarrollo:

Velocidad de corte en el taladro

D=diámetro de la broca

N= número de revoluciones por minuto

Desarrollo:

Resistencia eléctrica del conductor

P= resistencia específica del material del conductor

L= longitud total del conductor

S= sección del conductor

Desarrollo:

12.Calcular el valor numérico de las siguientes fórmulas e investiga en que se utilizan.

a)
Si Vi =8m/s ; t =4s ;a =3m/s2

d :distancia

Vi = rapidez inicial

t = tiempo

a = aceleración

b) Ep =m·g·h Si m=0,8kg ; h = 15m ; g = 9,8m/s2

E p : energía potencial

m : masa

h : altura

g : aceleración de gravedad

c)
Si m= 4,5 kg ; v= 10m/s

Ec : energía cinética

m: masa ; v : rapidez

d)
Si a = 13cm ;b = 8cm y h =4,5cm

A: área trapecio

a, b : bases del trapecio

h : altura del trapecio

Si a= 3,2

A : área del triángulo equilátero

Términos semejantes: dos o más términos son semejantes si tienen el mismo factor literal

Ejemplos

'Álgebra en los Reales'

Escriba dos contraejemplos

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

EJERCICIOS DE APLICACIONES

1.-Una ecuación de física que describe un choque elástico es
.Despeje m2 y lleve a cabo las multiplicaciones indicadas.

2.- La constante de radiación,
se define como: 'Álgebra en los Reales'

: emisiones de radiación de las áreas respectivas

: Cte. De stefan-Boltzmann.

Despeje

3.-El área de un rectángulo esta definida por
y la longitud de un lado del rectángulo es x+7.

Determine la longitud de el ancho y el largo si x = 40 mts.

4.-Uno de los medios para controlar la contaminación ambiental es cobrar por los desperdicios sólidos. Los especialistas en asuntos ambientales señalan que si se cobra una cuota por libra de basura, las personas se percatan de la magnitud del problema debido a que los desperdicios sólidos les cuestan y comienzan un programa de reciclaje de papel, aluminio, vidrio y plástico. Si por cada libra de basura a Ud. le cobrasen $0,80 de recargo. ¿Cuánto se le cobra a una persona por su basura, sitiene 10 botellas de vidrio que pesan 0,5 libras, 12 botellas de plástico que pesan 0,25 libras y un total de 7 libras de papel?

5.-La desviación estandar
de un conjunto de datos es una medida de cuanto se apartan los datos de su media, se define como:

'Álgebra en los Reales'
X: valor Individual

n:Nº de datos

Despeje U.

6.- Una pieza rectangular de hojalata mide 16 pulgadas de largo y 12 de ancho. De cada esquina se corta una pieza cuadrada de x pulgadas por lado. Las solapas se doblan para formar un a caja abierta.

Encuentren polinomios que representen el volumen y la superficie exterior de la caja.

R: 'Álgebra en los Reales'

7.-Un reloj atómico que cuenta las emisiones radiactivas del ceso se usa para proporcionar la definición de un segundo.Un segundo es definido como el tiempo que le toma al cesio emitir 9192631770 ciclos de radiación ¿Cuántos de estos ciclos pueden ocurrir en una hora?

R:3.3093x10

8.- Si en 1986 el contribuyente de E.E.U.U. pagaba alrededor de $349.000.000.000 por conceptos de impuestos sobre la renta federal y la población esra de aproximadamente 242.000.000, Dtermine con tres digitos significativos el porcentaje de impuesto que paga cada contribuyente.

R:
dolares por personas.

9.-Si tres resistores eléctricos con resistencias
, se conectan en paralelo, entonces la resistencia total R esta dada por 'Álgebra en los Reales'

Represente la fracción compuesta como fracción simple.

10.-La policía utiliza la formula
para estimar la rapidez S(en millas/horas) a la cual está viajando un automóvil, si derrapa d pies después de aplicar los frenos de manera súbita. El número f es el coeficiente de fricción de la carretera, que mide 10 “ resbaladizo” de la misma . La tabla que sigue da algunos valores típicos estimados para f