Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

Interpolación de Newton y Lagrange. Aproximación polinómica. Ecuación de una curva. Gauss Jordan. Cramer. Residuos. Ecuación, sistema de ecuaciones

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AJUSTE DE FUNCIONES, (MÉTODO DE MINIMOS CUADRADOS).

INTRODUCCIÓN

Cuando se trata de aproximación polinomial se establecen los métodos de interpolación de Newton y La Grange. Para encontrar la ecuación de la cuna que contiene a todos y cada uno de los n puntos que definen a una fusión tabular dada, como la que se presenta en la tabla siguiente y que se representa con todos los puntos de la figura también siguiente. Esta ecuación resulta ser algebraica de grado (n-1). r

,.j-0.

Obsérvese que en la tabla aparecen n puntos y que en la figura curva continua representa la aproximación polinomial de estos; es decir, la representación geométrica de los métodos de

interpolación. Ahora se trata de encontrar la ecuación de una curva que, aunque no pase por todos los puntos, tenga pocas variaciones (sea suave, como la curva de los trazos de la figura anterior). y pase lo mas ceca posible de todos. Generalmente" lo mas cerca posible se obtiene imponiendo el criterio de los mínimos cuadrados. Antes de aplicar este criterio, debe de escogerse la forma de curva más suave que se va a ajustar al conjunto de puntos dados. La ecuación de esa curva puede obtenerse por conocimiento previo del problema, es decir, o la interpretación física del fenómeno, o en forma arbitraria observando que ecuación conocida describe aproximadamente a esta curva. En lo que sigue, la curva que se va a ajustar, es la gráfica de un polinomio de grado conocido m.

METODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Dada la función tabular definida por la tabla anterior se trata de obtener los valores de los coeficientes de la función:

Y=F(x)=ao+a1X+a2X2+a3X3+ amxn-1........(1)

Cuya gráfica es una curva que se acerca a la mayoría de los puntos (curva de trazos de la figura anterior).

Se llama residuos a la diferencia de ordenadas de la curva para x=xi menos la del punto xi, yi representado por Ri a este residuo, se tiene Ri=f(xi)-yi..t2),es decir:

Ri= a0+a1X+a2X2+a3X3+.....amxn-yi ........ (3) ,donde i=1 ,2,3,..n.

El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los valores de los parámetros a0,a1 ,a2,a3,.....am; de manera que haga mínima la suma de Ios cuadrados de los residuos.Esta suma vale Re=( o+Xj+Xi+Xi+... +mXi-Yi)...... (4)

Se tiene el mínimo de esta igualdad a cero sus primeras derivadas parciales con .

respecto a todo y cada uno de sus parámetros .Derivando con respecto a ai, donde

j=0,1,2,3,...m; se obtiene :

Ri= (a0+a1X+ a2X2+a3X3+.....amxn-yi )2............ (4)

Ri = 2(a0+a1X+ a2X2+a3X3+.....amxn-yi ) Xi

igualando con cero esta derivada a:

a0+a1Xj+1+ a2Xj+2+a3Xj+3+.....amxyi+m ............ (5)

Finalmente, considerando j=0,1,.2,3,....,m; se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales.

na0+a1X+a2X2+a3X3+.....+amxm = y

a0x+a1X2+a2X3+a3X4+.....+amxm = xy

a0X2+a1X3+a2X4+a3X5+.....+amxm = x2y

a0X3+a1X4+a2X5+a3X6+.....+amxm = x3y

a0Xm+ a1Xm+1+a2Xm+2+ a3Xm+3 +..…+amxm = xmy.......... (6)

en donde, por simplicidad se ha omitido los índices de X y Y, y los limites de las sumatorias , pero debe de entenderse que estas son sobre todo los valores de X y Y dados la tabla inicial.

Problema 1.-Encontrar la mejor recta que se ajuste a Ias puntos de la siguiente tabla:

X 0 1 2 3 4 5 6 7

Y 2 4 3 6 5 7 9 8

Y=F(X)=ao+a1X

nao+a1X=Y

aoy+a1X2 = XY

8ao+28 a1 =44

28ao+140a1=193

método de gauss -jordan

8 28 44 1 3.5 5.5 1 0 2.249

28 140 193 0 42 34 0 1 0.929

R1 - R1/8 R2 - R2/42

R2 - R2(-28)R1 R1 - (-35)R2+R1

ao= 2.249

a1= 0.929 ,por lo tanto Y=F(x)= 2.249+.929X

SUMA 

X 0 1 2 3 4 5 6 7 25

Y 2 4 3 6 5 7 9 8 44

X2 0 1 4 9 16 25 36 49 140

Y2 0 4 6 18 20 35 54 56 193

Por regla de cramer se tiene que:

Y=F(X)= 2.250+ .929X

Sustituyendo se tiene que para :

X=0

Y=F(X)= 2.250+ .929(0)=2.250

X=1

Y=F(X)= 2.250+ .929(1)=3.179

X=2

Y=F(X)= 2.250+ .929(2)=4.108

X=3

Y=F(X)= 2.250+ .929(3)=5.037

X=4

Y=F(X)= 2.250+ .929(4)=5.966

X=5

Y=F(X)= 2.250+ .929(5)=6.895

X=6

Y=F(X)= 2.250+ .929(6)=7.824

X=7

Y=F(X)= 2.250+ .929(7)=8.753

Problema 2.- Número de graduados en una escuela durante un periodo de 5 años es el siguiente:

Año: 1 2 3 4 5

Numero: 260 400 420 490 650

a) Encontrar las ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado que mejor se ajusten a los datos.

b) Si:

pc2/cn-m-1)

Es una medida del grado de aproximación ¿cual de las tres ecuaciones se aproxima mas a los datos?

c) Grafique los puntos y las curvas de las tres aproximaciones obtenidas en a).

Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

a) Para el primer grado se tiene la forma general siguiente:

y = f (x) = a0 a1x

*la cual genera el siguiente sistema de ecuaciones.

na0 + a1 x = y

a0 x + a1 x2 =xy

b) Para el segundo grado se tiene:

y=f (x) = a0 + a1x+ a2x2

*la cual genera el siguiente sistema de ecuaciones:

na0 + a1 x+ a2x2= y

a0 x + a1 x2+ a2x3= y

a0 x2 + a1 x3+ a2x4= x2y

C) Para el tercer grado se tiene lo siguiente:

f=(x)= a0 +a1x + a2 x2+a3x3

* y su sistema de ecuaciones será:

na0 + a1 x+ a2x2 a3x3 = y

a0 x + a1 x2+ a2x3 a3x4 = xy

a0 x2 + a1 x3+ a2x4 +a3x5 = x2y

a0 x3 + a1 x4+ a2x5 +a3x6 = x3y

Lo cual genera la función tabular ampliada siguiente:

X y x2 x3 x4 x5 x6 xy x2y x3y

1 260 1 1 1 1 1 260 260 260

2 400 4 8 16 32 64 800 1600 3200

3 420 9 27 81 243 729 1260 3780 11340

4 490 16 64 256 1024 1960 1960 7840 31360

5 650 25 125 625 3125 15625 3250 16250 81250

15 2,220 55 225 979 4425 20515 7530 29730 127410

Sustituyendo los valores de la tabla en el sistema de ecuaciones de primer grado se tiene:

5a0 +15a1=2220

15a0 +55a1=7530

Utilizando el método de eliminación completa de Gauss- Jordan se tiene:

5 15 220 1 3 444

15 55 7530 0 10 870

1 0 183

0 1 87

ao= 183

a1=87

Y=f (x)=183+87x Ecuación de primer grado.

Para la obtención de la ecuación de segundo grado se tiene:

5ao+ 15 a1+ 55a2=2,220

15 ao+ 55 a1+ 255 a2=27,530

55 ao+ 255 a1+ 979 a2=29,730

El método de Gauss Jordan .

5 15 55 2220 1 3 11 444

15 55 225 7530 0 10 60 870

55 225 979 29930 0 60 374 5310

R1/5; R2- 15R1:R3-55R1 R2/10; R1- 3R2:R3-60R2

1 0 -7 183 1 0 0 228,603

0 1 6 87 0 1 0 48,426

0 0 14 90 0 0 1 6,429

R/14; R1+ 7R3:R2-6R3

ao =228,003

a1=48.426

a2=6.429 : .Y=f (x)=228.003+48.426x+6:429

Para la obtención de la ecuación de tercer grado, se obtiene.

5 ao+ 15 a1+ 55 a2 +225 a3 =2,220

15 ao+ 55 a1+ 225 a2 +979 a3 =7,530

55 ao+ 225 a1+ 979 a2+4.425 a3 =29J730

225 ao+ 979 a1+ 4.425 a2 +20.515 a3 =127410

Utilizando el método de Gauss- Jordan, se tiene:

5 15 55 225 2220 1 3 11 45 444

15 55 225 979 7530 0 10 60 304 870

55 225 979 4425 29930 0 60 374 1950 5310

22 5 979 4425 20515 127410 0 304 1950 10390 27510

R1/5; R2- 15R1 R3-55R1; R4-225R1 R2/10; R1- 3R2:~-60R2 :R4-304R2

  • 0 -7 -46.2 183 1 0 0 16.8 228,603

0 1 6 30.8 87 0 1 0 -23.6 48!426

0 0 14 126 90 0 0 1 9 6,429

0 0 126 1148.4 1062 0 0 0 14.4 251,946

R314; R1+ 7R3' :R2-6R3: R4-.,126R3 R4/14.4; R1'f1'78" R4:R2+23.6 R4:R3- 9R4

1 0 0 -65.930 55

0 1 0 461.332

0 0 0 -151.0355

0 0 1 -17.496

a0 =65.930

a1=461.332

a2=151.035

a2;;: 1 7.496

:. Y=f (x)=-65.930+461.332x-151.035~ +17.496x2

Sustituyendo en la ecuación de primer grado se tiene:

Para X=1 Para X=3

Y=f(x)=183+87(1)=270 Y=f(x)=183+87(3)=444

Para X=2 Para X= 4

Y=f(x)=183+87(2)=357 Y=f(x)=183+87(4)=531

Para X=5

Y=f(x)=183+87(5)=618

Sustituyendo para la ecuación de segundo grado se tiene:

Para X=1

Y=f (x)=228.003+48.426(1)+6.429(1)2 =282.858

Para X=2

Y=f (x)=228.003+48.426(2)+6.429(2)2 =350.571

Para X=3

Y=f (x)=228.003+48.426(3)+6.429(3)2 =431.142

Para X=4

Y=f (x)=228.003+48.426(4)+6.429(4)2 =524.571

Para X=5

Y=f (x)=228.003+48.426(5)+6.429(5)2 =630.858

Sustituyendo para la ecuación de tercer grado se tiene:

Para X=1

Y=f (x)=65.930+401.332(1 )-151.035(1 )2 +17.496(1 )3=261.863

Para X=2

Y=f (x)=65.930+401.332(2)-151.035(2)2 +17.496(2)3=392.562

Para X=3

Y=f (x)=65.930+401.332(3)-151.035(3)2 +17.496(3)3=431.143

Para X=4

Y=f (x)=65. 930+401.332(4)-151.035(4)2 +17.496(4)3=482.582

Para X=5

Y = f (x)=65.930+401.332(5)-151.035(5)2 +17.496(5)3=651.855

Como el grado de aproximación esta determinado por ER1/(n-m-1)

Donde: R1 =diferencia de ordenadas o residuos y:

R1 =f(x1) -Y1

f(x1)=EI valor de ordenada de la curva suave.

Año #de egresados ec.de1er grado ec.de2° grado ec.de 3° grado

X y y y y

1 260 270 282.858 261.863

2 400 357 350.571 392.562

3 420 444 431.142 431.143

4 490 531 524.571 482.582

5 650 618 630.858 651.855

Si : R=f(x1)-y1 (valor de la ordenada de la curva a tratar).

yi= Valor de la ordenada de la función tabular.

n=N° de pares ordenados (puntos) de la función tabular.

M= Grado de la ecuación

Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

:. Se observa a través de los resultados obtenidos que la ecuación con mayor grado de aproximación es la del tercer grado, ya que hace mínima la diferencia entre los cuadrados de las diferencias de sus ordenadas con las de función tabular.

C) Aplicando el método de los mínimos cuadrados obtener las expresiones que permitan valuar los parámetros de la curva de ecuación y=a+bx+c/x que mejor se ajusta al conjunto de n

A puntos dados (x1,y,) para ajustar a los puntos:

.X -2 -1 1 2 4

Y -6 -5 9 10 15

Ajuste de funciones. Método de mínimos cuadrados

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